Pertemuan 1 Metnum 2011 Bilqis

1. Pertemuan 1 Metnum2011Bilqis

2. MateriMingguIni • PengertianKomputasiNumerik • Pengertian “BilanganBerarti” • PengertianAkurasi & Presisi • AturanPembulatan • Pengertian “Kesalahan” • Deret Taylor • Tugas I KomNum

3. ApaItuKomputasiNumerik?(1) Komputasi Numerik : memformulasikanmasalahkemudiandiselesaikandengancaramatematika Hubunganantaradunianyata –model – solusi Dunianyata model solusi masalah model fisik matematis analisis numerik KomNum

4. ApaItuKomputasiNumerik?(2) Model untuk : • Memudahkandalamanalisamasalah • Menghematwaktu • Mengurangiresiko • Menirukanhal-hal yang adadidunianyata • Dapatdiulangkapanpun Contoh : • Simulasipesawat • Simulasibom atom • Perhitungansimulasibisamenggunakanmetnum KomNum

5. ApaItuKomputasiNumerik?(3) • Menghitungsesuatu : - analisis : hasilsebenarnya - numerik : hasilmendekatisebenarnya - aproximasi - pendekatan • Contoh : V = km/jam sebenarnyakecepatanjuga dipengaruhiolehangin  menggunakanpendekatan karenaadanyafaktorluar sebenarnya pendekatan KomNum

6. ApaItuKomputasiNumerik?(4) Seorang penerjun yang memiliki bobot 68.100 gr meloncat dari sebuah pesawat terbang. Jika diketahui koefisien tahanan udara c adalah 12.500 gr/dt dan konstanta gravitasi sebesar 980 cm/dt2. Hitung kecepatan penerjunan tepat sebelum penerjun membuka payungnya. Permasalahan di atas adalah contoh sebuah persoalan yang dapat diselesaikan melalui 2 pendekatan : • Analitis • Numeris Now let’s see each approaches playing their roles! KomNum

7. ApaItuKomputasiNumerik?(5) Pendekatan Analitis V(t) = gm/c . [1 – e-(c/m)t] Jika F = m.a Dan a = dv/dt Maka F = m dv/dt Jika F = FD + FU Dan FD = m.g Dan FU = -c.v Maka m dv/dt = mg – cv Atau dv/dt = g – (c/m).v KomNum

8. ApaItuKomputasiNumerik?(6) Pendekatan Numeris Jikadv/dt = [ v(ti+1) – v(ti) ] / (ti+1 – ti) Maka [ v(ti+1) – v(ti) ] / (ti+1 – ti) = g – (c/m).v(ti) atauv(ti+1) = V(ti) + [ g – (c/m).v(ti) ] . (ti+1 – ti) taksiran (solusi numerik) pasti (solusi analitis) KomNum

9. BilanganBerarti Secara umum, sebuah bilangan dapat dibedakan menjadi 2 : • Bilangan Eksak (π, √2, e, … ) • Bilangan Pendekatan (3,1416 , 1,4142 , 2.7183 , …) • Sementara, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0 masing-masing • adalah bilangan BERARTI, kecuali : • jika 0 hanya digunakan untuk menentukan titik desimal • contoh : 0,0069 hanya 6 dan 9 bilangan berarti-nya • jika 0 digunakan untuk mengisi tempat dari digit yang dapat dibuang (dapat tidak ditulis). • contoh : 46.300 4,63 x 104 atau 4,630 x 104 • bilangan berarti : 4 6 3 dan 4 6 3 0 KomNum

10. AkurasidanPresisi(1) Perhatikan gambar di bawah. Apa pendapat anda mengenai istilah “Akurasi” dan “Presisi” ? KomNum

11. AkurasidanPresisi(2) • Akurasi : mendekatiakurat / kebenaran • Presisi : konsisten / tetaphasilberikutnyabedasedikitdarihasilsaatini ≠ a ≠ p ≠ a p a p a ≠ p Metnum 01-T.Informatika-ITS 11

12. AturanPembulatan(1) • Angka < 5, bulatkankebawah • Angka > 5, bulatkankeatas • Angka = 5 • dikiri 5 ganjil, bulatkankeatas ex : 2,215 2.22 • dikiri 5 genap, bulatkankebawah • ex : 2,225 2,22 KomNum

13. Pengertian “Kesalahan”(1) Et = Error true (sebenarnya) Ea = Error aproximate (perkiraan) KomNum

14. Pengertian “Kesalahan” (3) contoh :Pengukuranpanjangsebuahjembatandansebuahpensilmemberikanhasil masing-masing 9.999 cm dan 9 cm. Jikapanjangeksakjembatanadalah 10.000 cm danpensil 10 cm, hitunglah kesalahantrue. Kesalahansebenarnya (true) Jembatan : Et= (10.000 – 9.999)/10.000 x 100% = 0.01% Pensil : Et= (1/10) x 100% = 10% Dari penghitungankesalahansebenarnyadapatdisimpulkanbahwahasilpengukuranterhadapjembatanlebihmemuaskandibandinghasilpengukuranpadapensil. KomNum

15. Deret Taylor (1) Deret Taylor sering dipakai sebagai dasar untuk menyelesaikan banyak permasalahan numerik (khususnya yang berkaitan dengan persamaan diferensial). Dengan menggunakan nilai dan turunan fungsi f(x) di sekitar titik xi, deret Taylor dapat memberikan rumusan untuk meramalkan harga suatu fungsi f(x) pada titik (xi+1). Bentuk umum deret Taylor adalah sebagai berikut : f(xi+1) = f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) + f’’(xi)/2! . (xi+1 – xi)2 + … + fn(xi)/n! . (xi+1 – xi)n + Rn dengan Rn = [ f(n+1)(ξ) / (n+1)! ] . (xi+1 – xi)n+1 dimana : f(xi) = fungsi di titik xi f(xi+1) = fungsi di titik xi+1 f’, f’’, … = turunan fungsi f Rn = kesalahan pemotongan ξ = harga x yang terletak di antara xi dan xi+1 KomNum

16. Deret Taylor (2) Deret Taylor sangat baik digunakan untuk melakukan pendekatan terhadap sebuah fungsi yang belum kita ketahui karakteristiknya Deret Taylor memiliki suku tak berhingga, sehingga kita dapat melakukan pemotongan pada sebarang suku untuk mempelajari perilaku deret tersebut dalam membentuk dan memaknai suku-sukunya. KomNum

17. Deret Taylor (3) Jadi jika deret Taylor dapat ditulis seperti berikut : f(xi+1) = f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) + f’’(xi)/2! . (xi+1 – xi)2 + … + fn(xi)/n! . (xi+1 – xi)n + Rn Maka orde ke-0 (zero order) adalah : f(xi+1) ≈ f(xi) Orde ke-1 (first order) adalah : f(xi+1) ≈ f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) Orde ke-2 (second order) adalah : f(xi+1) ≈ f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) + f’’(xi)/2! . (xi+1 – xi)2 Dan orde ke-3 (third order) adalah : f(xi+1) ≈ f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) + f’’(xi)/2! . (xi+1 – xi)2 + f’’’(xi)/3! . (xi+1 – xi)3 KomNum

18. Deret Taylor (4) contoh :Gunakanperluasanderet Taylor orde ke-0 hinggaordeke-2untukmenaksir fungsi : f(x) = -0,1x4 – 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2 jikatitik basis perhitungan x = 0 hitungnilaitaksiranfungsipadax = 1. solusi : perilaku fungsi di atas adalah seperti berikut : untuk x = 0 → f(0) = 1,2 untuk x = 1 → f(1) = 0,2 jadi tugas kita sekarang adalah melakukan perhitungan numerik untuk mendekati nilai 0,2 tersebut. perlu diingat bahwa pada banyak kasus, perilaku fungsi yang asli seringkali tidak diketahui! KomNum

19. Deret Taylor (5) Orde ke-0 (n = 0) : f(xi+1) = f(xi) F(Xi) = f(0) = 1,2 F(xi+1) = f(1) = f(0) ≈ 1,2 berartikesalahantruenya adalah: Et= (0,2 – 1,2)/0,2 x 100% = 500% Orde ke-1 (n = 1) : f(xi+1) = f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) F(Xi) = f(0) = 1,2 F’(Xi) =f’(0) = -0,4(0.0)3 – 0,45(0,0)2 – 1,0(0,0) – 0,25 = - 0,25 f(xi+1) = f(1) = 1,2 – 0,25(xi+1 – xi) f(1) = 0,95 berartikesalahan truenya adalah: Et= (0,2 – 0,95)/ 0,2 x 100% = 375% KomNum

20. Deret Taylor (6) Orde ke-2 (n = 2) : f(xi+1) = f(xi) + f’(xi)(xi+1 – xi) + [ f’(xi)/2! ](xi+1 – xi)2 F(Xi) = f(0) = 1,2 F’(Xi) =f’(0) = -0,4(0.0)3 – 0,45(0,0)2 – 1,0(0,0) – 0,25 = - 0,25 F’’(Xi) = f’’(0) = - 1,2(0,0)2 – 0,9(0,0) – 1,0 = - 1,0 f(xi+1) = f(1) = 1,2 – 0,25(xi+1 – xi) – 0,5(xi+1 – xi)2 f(1) = 0,45 berartikesalahan truenya adalah : Et= (0,2 – 0,45) / 0,2 x 100% = 125% KomNum

21. Deret Taylor (7) f(1) = 1.2 – 0.25(1) – 0.5(1)2 – 0.15(1)3 – 0.10(1)4 = 0.2 KomNum

22. Tugas 1 (kerjakan 2 saja) 1. Gunakanperluasanderet Taylor orde ke-0 sampaiorde ke-4 untukmenaksirnilai f(2) darifungsi : f(x) = e-x Gunakantitik basis perhitungan x = 1. Dan hitungkesalahantrue untuksetiaplangkah Gunakanperluasanderet Taylor orde ke-0 sampaiorde ke-3 untukmenaksirnilai f(3) darifungsi : f(x) = 25x3 – 6x2 + 7x – 88 Gunakantitik basis perhitungan x = 2. Dan hitungkesalahantrue untuksetiaplangkah Gunakanperluasanderet Taylor orde ke-0 sampaiorde ke-4 untukmenaksirnilai f(4) darifungsi : f(x) = ln x Gunakantitik basis perhitungan x = 2. Dan hitungkesalahantrue untuksetiaplangkah KomNum