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Ensino Superior. Matemática Básica. Unidade 14 - Circunferência. Amintas Paiva Afonso. CIRCUNFERÊNCIA. TEORIA PROPRIEDADES – PROBLEMAS RESOLVIDOS. Amintas Paiva Afonso. amintas@matematiques.com.br.

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  1. Ensino Superior Matemática Básica Unidade 14 - Circunferência Amintas Paiva Afonso

  2. CIRCUNFERÊNCIA TEORIA PROPRIEDADES – PROBLEMAS RESOLVIDOS Amintas Paiva Afonso amintas@matematiques.com.br

  3. CIRCUNFERÊNCIA- É um lugar geométrico de um conjunto de infinitos pontos que equidistam de um ponto situado no centro.

  4. Seguimento de reta N Q  Corda PQ Reta secante M P  Raio A B Arco BQ Centro Diâmetro ( ) AB T  Reta tangente Punto de tangencia ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 

  5. L R PROPRIEDADES BÁSICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 01- Raio traçado ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.

  6. P N M R Q 02- Raio ou diâmetro perpendicular a uma corda bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).

  7. A B C D 03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes entre as paralelas.

  8. A C Cordas congruentes Arcos congruentes B D As cordas equidistam do centro 04- A cordas congruentes em uma mesma circunferência lhes correspondem arcos congruentes.

  9. R r POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 01- CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro. d = Zero; d: distancia

  10. R r R r Distância entre os centros (d) 02- CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES - Não tem ponto em comum. d > R + r

  11. Ponto de tangência R r R r Distância entre os centros (d) 03- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um ponto comum que é a de tangência. d = R + r

  12. Ponto de tangência R r R d 04- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um ponto en comum que é a de tangência. d = R - r d: Distância entre os centros

  13. R r Distância entre os centros (d) 05- CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comuns que são as intersecções. ( R – r ) < d < ( R + r )

  14. R r Distância entre os centros (d) 06- CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são perpendiculares no ponto de intersecção. d2 = R2 + r2

  15. R r d 06- CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES - Não têm pontos comuns. d < R - r d: Distância entre os centros

  16. A R  P  R B PROPRIEDADES DAS TANGENTES 1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode traçar dois raios tangentes que determinam dois seguimentos congruentes. AP = PB

  17. A B R r r R D C 2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes AB = CD

  18. A D R r r R B C 3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes. AB = CD

  19. raio b Circunraio a r R R c TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma das comprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais o dobro do raio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

  20. b Quadrilátero circunscrito c a d TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos são iguais. a + c = b + d

  21. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

  22. A r C  r B  = mAB 1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida do arco que se opõe.

  23. D A  C B 2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à semisoma das medidas dos arcos opostos

  24. A B  C 3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do arco oposto.

  25. A C  B 4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSRITO - É igual à medida do arco oposto.

  26. 1 - MEDIDA DO ÂNGULO EX-INSCRITO - É igual à metade da medida do arco ABC. A  B C

  27. A C  O B  + mAB = 180° 6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos: a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.

  28. B C  O D A b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à semidiferença da medida dos arcos opostos.

  29. B  O C A c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra secante - É igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.

  30. PROBLEMAS RESOLVIDOS

  31. De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam a tangente PQ e a secante PRS, se o arco RS mede 140º e o ângulo QPS mede 50º. Calcule a medida do ângulo PSQ. Se traça a corda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 01 RESOLUÇÃO Pelo ângulo semi-inscrito PQS PSQ = x Substituindo: 2X No triângulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolvendo a equação: 140° X = 30°

  32. De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as tangentes PQ e PR, logo no maior arco QR se localiza um ponto “S”, se traça RH perpendicular à corda QS, se mHRS = 20º; calcule mQPR. Q mQR = 140° H S 70° X P 20° R Problema Nº 02 RESOLUÇÃO No triângulo retângulo RHS PSQ = x m  S = 70º Pelo ângulo inscrito 140° É propriedade, que: 140° + X = 180° Resolvendo: X = 40°

  33. De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as secantes PBA e PCD tal que as cordas AC e BD sejam perpendiculares entre si; calcule a medida do ângulo APD, se o arco AD mede 130º. Medida do ângulo interior A mBC = 50° B Medida do ângulo exterior x P C D Problema Nº 03 RESOLUÇÃO APD = x 130° 50° Resolvendo: X = 40°

  34. Em uma circunferência, o diâmetro AB se prolonga até um ponto “P”, desde o qual se traça um raio secante PMN tal que o comprimento de PM seja igual ao raio, se o arco AN mede 54º. Calcule a mAPN. N M x x A P o B Problema Nº 04 RESOLUÇÃO Se traçaa o raio OM: APN = x Dado: OM(raio) = PM Logo triângulo PMO é isósceles 54° Ângulo central igual ao arco x Medida do ângulo exterior Resolvendo: X = 18°

  35. Em um triângulo ABC se inscreve uma circunferência tangente aos lados AB, BC e AC nos pontos “P”, “Q” e “R” respectivamente, se o ângulo ABC mede 70º. Calcule mPRQ. B 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 70° Q P x C A R Problema Nº 05 RESOLUÇÃO Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes: PRQ = x 110° Medida do ângulo inscrito: Resolvendo: X = 55°

  36. A 70° X P B Resolução Problema Nº 06 Calcule a medida do ângulo “X”.

  37. C A mAB=140º 70° X P B RESOLUÇÃO 140º Medida dol ângulo inscrito: Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes: X = 40º Resolvendo: 140º + x = 180º

  38. A P X 130º B Resolução Problema Nº 07 Calcular a medida do ângulo “x”

  39. C A P X 130º mAB = 260º mACB = 100º 260º + mACB = 360º B mACB + x = 100º RESOLUÇÃO 260º Medida do ângulo inscrito: Na circunferência: Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes: X = 80º

  40. B 2 A C 5 5 Resolução Problema Nº 08 Calcule o perímetro do triângulo ABC.

  41. B a b 2 A C 5 5 (1) (2) RESOLUÇÃO Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 (2p) = 14 + 10 Substituindo (1) em (2)

  42. De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam a tangente PQ e a secante PRS de modo que os arcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco QR mede 80º, calcular mQPR . Q a P X R S Resolução a Problema Nº 09 ABORDAGEM 80º

  43. 80º Q a P X R S a RESOLUÇÃO Na circunferência: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida do ângulo exterior: X = 30º

  44. Em um quadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traça a diagonal PR. Os raios dos triângulos PQR e PRS medem 3 cm e 2 cm respectivamente. Se o perímetro do quadrilátero PQRS é 22 cm. Calcule o comprimento de PR Q 3 R P 2 Resolução S Problema Nº 10 ABORDAGEM

  45. a b Q c 3 d + R P 2 22 = 2PR + 10 S RESOLUÇÃO Dado: a + b + c + d = 22 cm Teorema de Poncelet: PQRa + b = PR+2(3) PSRc + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6 cm

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