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Ensino Superior. Matemática Básica. Unidade 8 – Função Logarítmica. Amintas Paiva Afonso. Logaritmos. Logaritmo. Logaritmando. Base do logaritmo. Condição de Existência. Logaritmos. Logaritmo. Logaritmando. Base do logaritmo. Logaritmos. Logaritmo. Logaritmando. Base do logaritmo.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 8 – Função Logarítmica

Amintas Paiva Afonso

slide2

Logaritmos

Logaritmo

Logaritmando

Base do logaritmo

Condição de Existência

slide3

Logaritmos

Logaritmo

Logaritmando

Base do logaritmo

slide4

Logaritmos

Logaritmo

Logaritmando

Base do logaritmo

slide5

Logaritmos

Consequência da definição

slide6

Logaritmos

Propriedades Operátórias

slide7

Logaritmos

Mudança de Base

slide8

Logaritmos

(UDESC 2006-1) Se , e , pode-se afirmar que:

slide9

Logaritmos

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a solução da equação 11x – 130 = 0 é:

a)

b)

c)

d)

e)

slide10

Função Logarítmica

Definição

Domínio

Imagem

slide11

Função Logarítmica

Representação Gráfica

slide12

Função Logarítmica

Representação Gráfica

slide13

Função Logarítmica

Representação Gráfica

slide14

Função Exponencial

y = ax

0 < a  1

y = ax

a > 1

y

Ex:

y = (1/2)x

Ex:

y = 2x

1

x

slide15

Função Logarítmica

y = loga x

0 < a  1

y

y = log1/2 x

1

x

y = loga x

a > 1

y = log2 x

slide17

Função Inversa

y = ax

y

f(x) = axf -1(x) = loga x0 < a  1 Decrescente

y = x

y = loga x

1

x

1

slide18

Exercício

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a inversa da função

é:

a)

b)

c)

d)

e)

slide22

Exercício

(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão

verdadeira é:

C.E

slide23

Exercício

(UDESC 2006-1) Se , então o valor de x é:

C.E

slide26

Inequação Logarítmica

+ + +

+ + +

– – – – – –

slide27

Inequação Logarítmica

C.E

+ + +

+ + +

– – – – – –

slide28

Inversa

Funções inversas

  • De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo, veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.
  • A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é a reflexão de y = ax com relação a reta y = x.
  • Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é uma função de crescimento muito lento.
slide29

Exemplo

Uma aplicação da função logarítmica

  • A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o logaritmo decimal;
  • Os valores desta escala são chamados de magnitudes;
  • Durante um terremoto um sismógrafo registra essa magnitude durante um certo intervalo de tempo;
slide30

Exemplo

  • Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:
  • Onde:

Ms: magnitude na escala Richter;

A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);

f: freqüência da onda (medida em hertz).

slide31

Exemplo

  • Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude

A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse terremoto é:

  • Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a destruição total das construções de uma grande cidade.
  • Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.
  • O valor acima é considerado moderado.
slide32

Exemplo

O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no século XX.

slide33

Exemplo

Funções inversas

  • A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25 anos.
  • Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg. Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, então:
slide34

Exemplo

Funções inversas

  • Portanto, a função para este caso é:
  • Como a função logarítmica inversa dessa função é:
  • Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5 mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:
slide35

Funções Logaritmos Neperianos

Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo o eixo y como assíntota vertical.

1) Construir o gráfico de y = lnx;

slide36

Funções Logaritmos Neperianos

2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico y = ln(x-2);

slide37

Funções Logaritmos Neperianos

3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter y = ln(x - 2) -1;

m todos de c lculo i
Métodos de Cálculo I
  • Assíntotas
    • Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
m todos de c lculo i2
Métodos de Cálculo I
  • Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical é a função logaritmo natural y=lnx.
  • O eixo y funciona como uma assíntota.
m todos de c lculo i3
Métodos de Cálculo I
  • Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como assíntota horizontal.
  • Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando

x  0-, t - , portanto:

slide43

Responda

a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E decrescente?

b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?

c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função logarítmica?

d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?

slide44

2y - 1

Decrescente se

Crescente se

Respostas

exerc cios
Exercícios
  • O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?
exerc cios1
Exercícios
  • Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?
exerc cios2
Exercícios
  • Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento estimado para um período de 24 anos?
exerc cios3
Exercícios
  • Resolva a equação 3x = 5.
  • Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
exerc cios4
Exercícios
  • Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N = N0.er.t, em que é o número inicial (quando t = 0) e r a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa decrescimento é de 5% ao minuto?
slide50

Exercícios

  • Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-r.t, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
exerc cios5
Exercícios
  • Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
exerc cios6
Exercícios
  • Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1.300,00? Use uma calculadora para fazer os cálculos.
exerc cios7
Exercícios
  • O dono de uma concessionária de veículos usa a expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t anos de uso. Para o cálculo do valor de um automóvel de outra marca, é usada a expressão V1 = 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine após quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de mercado.