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A irracionalidade das raízes inexatas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Curso de Licenciatura em Matemática à Distância. A irracionalidade das raízes inexatas. Analisando um caso particular. √2 é irracional?. Suponhamos que √2 fosse racional, então teríamos p, q Є Z

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A irracionalidade das raízes inexatas

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  1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULCurso de Licenciatura em Matemática à Distância A irracionalidade das raízes inexatas

  2. Analisando um caso particular... √2 é irracional? Suponhamos que √2 fosse racional, então teríamos p, q Є Z com mdc (p,q) = 1 tais que √2 = p/q (definição de número racional).

  3. Daí: √2= p/q ↔ 2 = p2 / q2 ↔ 2q2 =p2 Isso mostra que p2 é par. Então p é par.

  4. Digamos p = 2k, com K Є Z . Substituindo na equação anterior (p2 =2q2) temos: (2k)2 = 2q2↔ 4k2 = 2q2↔ q2= 2k2 Isso mostra que q2 é par, então q é par. Mas então p e q são ambos divisíveis por 2. Absurdo!!! Pois mdc (p,q) = 1.

  5. Portanto √2 não é racional. Logo é irracional.

  6. Será que qualquer raiz inexata é um número irracional? ?

  7. Esta demonstração é similar à anterior. Analisando √p onde p é número primo e p>1... Se √p fosse racional, teríamos √p = m/n, com m e n primos entre si. Então:√p= m/n ↔ p = m2 / n2 ↔ pn2 =m2

  8. Isso mostra que m2 é divisível por p. Logo, m também é divisível por p, ou seja, m=rp. (r Є Z) Daí:p2r2 = pn2 ↔ pr2 = n2 Significando que n também é divisível por p. O que é absurdo, pois m e n seriam ambos divisíveis por p e desta forma, m/n não seria fração irredutível.

  9. Portanto, √p não é racional. Logo, é irracional.

  10. Como todo número inteiro tem sua fatoração em números primos concluímos que toda raiz quadrada inexata é um número irracional. Podemos continuar o raciocínio para provar que toda raiz inexata é irracional.

  11. Exemplos: • √18 = √32.2 = √32 .√2 = 3√2 • √50 = √52 .2 = √52 . √2 = 5 √2 • √21 = √7.3 = √7 . √3 • Raiz cúbica de 2 • Raiz quinta de 7

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