Kružnice

1. Kružnice

2. Kružnice Množina všech bodů, které mají od středu (S) stejnou vzdálenost r. X[x; y] libovolný bod na kružnici r poloměr kružnice S[m; n] střed kružnice

3. Kružnice X y x

4. Kružnice y r y-n . x-m x

5. Určete obecnou rovnici kružnice, která je dána body A[2;1], B[3;0], C[0;5]. Obecná rovnice kružnice má předpis x2+ y2 + ax + by + c = 0. Do této rovnice můžeme dosadit zadané body. A získáme tři rovnice o třech neznámých: Dosadíme bod A: • 5-4m-2n+p=0 Dosadíme bod B: 9-6m+p=0 Dosadíme bod C: 25-10n+p=0 Vyřešením této soustavy rovnic dostaneme výsledek [m;n;p] = [9;7;45]. Rovnice dané kružnice je tedy x2+y2-18x-14y+45=0. Střed kružnice má tedy souřadnice S[9;7] a poloměr je roven .

6. Kružnice r2 = (x –m)2 + (y – n)2 Středová rovnice kružnice x2 + y2 + ax + by + c = 0 a = -2m b = -2n c = m2 + n2 – r2 Obecná rovnice kružnice

7. Kružnice Určete středovou rovnici kružnice se středem v počátku S[0; 0] a poloměrem r = 1. Řešení: (x-m)2 + (y-n)2 = r2 Dosadíme bod S a poloměr r: (x-0)2 + (y-0)2 = 12 x2 + y2 = 1

8. Kružnice Rozhodněte, zda na této kružnici leží bod A[2; 2]. Řešení: Dosadíme souřadnice bodu A do rovnice kružnice: x2 + y2 = 1 Dosadíme bod A: 22 + 22 = 1 Spočítáme rovnici 8 ≠ 1 Jelikož se nula nerovná jedné, bod A na kružnici neleží. Zkusíme otestovat ještě jeden bod B[0; 1]: x2 + y2 = 1 02 + 12 = 1 1 = 1 Jelikož rovnice platí, leží B na kružnici.

9. Kružnice Určete poloměr a souřadnice středu kružnice k: x2 + y2 - 4x + 4y + 4 = 0. Začneme s tím, že určíme souřadnice kružnice. Souřadnice středu m, n jsou podle obecného předpisu obsaženy pouze v jednom členu a proto není problém je zjistit: -2m = -4 m = 2 -2n = 4 n = -2 S[2;-2]

10. Kružnice Nyní, když jsme úspěšně určili souřadnice středu, musíme určit poloměr. Ten je obsažen v proměnné c (c = m2 + n2 - r2). Jelikož už známe hodnoty proměnných c, m, n, není problém vypočítat poloměr: c = m2 + n2 - r2 4 = 22 + (-22) - r2 4 = 8 - r2 -4 = -r2 r = 2 Daná kružnice má střed o souřadnicích S[2;-2] a poloměr r = 2.

11. Kružnice Převeďte kružnici (x-1)2+(y-1)2 = 1 na obecný tvar kružnice. Řešení (x-1)2+(y-1)2 = 1 x2- 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 1 x2+ y2 - 2x - 2y + 1 = 0 Daná kružnice přepsaná do obecného tvaru vypadá: x2+y2-2x-2y+1=0.

12. Kružnice Převeďte kružnici x2+y2-2x-2y+1=0 do středového tvaru. Pro to, abychom dokázali napsat středovou rovnici kružnice potřebujeme znát dvě věci: souřadnice středu a poloměr. Obě Hodnoty se dají celkem lehce získat z obecné rovnice kružnice. Začneme tím, že určíme souřadnice středu: -2m = -2 m = 1 -2n = -2 n = 1 S[1;1]

13. Kružnice Poloměr se dá určit z rovnice c = m2 + n2- r2: c = m2 + n2 - r2 1 = 12 + 12 - r2 -1 = -r2 r = 1 Středová rovnice má předpis (x-m)2 + (y-n)2 = r2 a proto bude mít v tomto případě podobu (x-1)2+(y-1)2=1.

14. Kružnice Zjistěte, zda je rovnice x2+y2-4x+7=0 obecnou rovnicí kružnice. Střed kružnice najdeme lehce; má souřadnice S[2;0]. Nyní zkusíme najít poloměr: c = m2 + n2 - r2 7 = 4 - r2 3 = -r2 r2= -3 Odmocnina ze záporného čísla není v množině reálných čísel definována a proto daná rovnice není obecnou rovnicí kružnice.