Definice

1. Matice 2 -1 3 -1 1 0 2 1 3 -2 -1 -8 1 0 2 1 0 -1 –1 3 0 0 1 1 Matice je množina prvků zobrazená v obdélníkovitém tvaru. Nejznámější je její využití při řešení lineárních rovnic. Píše se do závorek. Soustavu rovnic Příklad k definici LEVÁ STRANA 2x - y + 3z = -1 x + 2z = 1 3x - 2y - z = - 8 Definice Zapíšeme takto: PRAVÁ STRANA HLAVNÍ DIAGONÁLA Matice se označuje velkým písmenem a definuje se počtem řádků a počtem sloupců. Tato matice bude tudíž zapsána např. takto:A (3,4)Pokud má matice levou a pravou stranu nazýváme ji rozšířenou maticí. • Přepsání soustavy do matice • Řešení matice  převedení do Gaussova tvaru • Dosazení proměnných Gaussův tvar matice Je když jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny nule. Způsob řešení soustavy lineárních rovnic • Při převádění matic do Gaussova tvaru jsou povoleny tyto úpravy: • Výměna umístění řádků pozn.: Ideální je, když 1. řádek začíná jedničkou • Přičtení násobku jiného řádku k jinému • Libovolný řádek matice můžeme vynásobit číslem různým od nuly • Vynechat můžeme řádek ze samých nul, pokud to není jediný řádek v matici • Vynechat můžeme řádek, který je násobkem jiného Matice je homogenní když jsou prvky na pravé stranně rovny nule. Nehomogenní jsou ty ostatní.

2. 1 -1 3 -1 0 3 2 1 0 0 0 -2 • Počet řešení soustavy rovnic se stanovuje pomocí Gaussovy eliminační metody. Hodnost matice h definujeme počtem řádků. Hodnost rozšířené matice zapisujeme jako hr. Pokud počet neznámých v soustavě označíme jako n, tak platí, že soustava má • jedno řešení když h = hr = n • nekonečně mnoho řešení když h = hr < n • nemá žádné řešení když h se nerovná hr (logika věci říká, že 0x + 0y + 0z nemůže být -2 Toto se zjišťuje, až když je matice v Gaussově tvar. Zjištění počtu řešení soustavy rovnic x + 3y + 2z + t = 2 Přepsání soustavy do matice 1 3 2 1 2 Řešení matice  převedení do Gaussova tvaru x + 2y -2t = -1 1 2 0 -2 -1 x + 4y + 5z + 7t = 6 1 4 5 7 6 1 2 0 -2 -1 1 2 0 -2 -1 Prohodím 1. a 2.řádek K 2.řádku přičtu násobek –1 řádku 1 K 3.řádku přičtu násobek –1 řádku 1 1 3 2 1 2 0 1 2 3 3 1 4 5 7 6 1 4 5 7 6 Podrobně řešený příklad soustavy lin. rovnic 1 2 0 -2 -1 1 2 0 -2 -1 K 3.řádku přičtu násobek –2 řádku 2 0 1 2 3 3 0 1 2 3 3 0 2 5 9 7 0 0 1 3 1 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení, a tak z neznámé např t uděláme parametr g (nemůžeme použít ty neznámé, které mají v posledním řádku nulu). Dosazovat začínáme od posledního řádku. z + 3t = 1  z + 3g = 1  z = 1 – 3g  Dosadíme do 2. řádku y + 2z + 3g = 3  y + 2 – 6g + 3g = 3  y = 1 + 3g  Dosadíme do 1. řádku x + 2y – 2g = -1  x + 2 + 6g – 2g = -1  x = -3 – 4g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 1, 1, 0] + g ( -4, 3, -3, 1) Výsledek příkladu 8.1. Vyšel dobře podle zkoušky i výsledků ve scriptech.

3. x – 2y – z + 3t = 0 3x – 5y – 2z + 7 t = 0 -x + 2y – 2z – 2t = 0 K 2.řádku přičtu –3 násobek řádku 1 Přepsání soustavy do matice 1 -2 -1 3 0 1 -2 -1 3 0 3 -5 -2 7 0 0 1 1 -2 0 -1 2 -2 -2 0 -1 2 -2 -2 0 K 3.řádku přičtu řádek 1 1 -2 -1 3 0 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Parametr gučiním z neznámé z. Dosazovat začínáme od posledního řádku. Homogenní matice – příklad 8.2 0 1 1 -2 0 0 0 -3 1 0 -3z + t = 0  -3g + t = 0 t = 3g  Dosadíme do 2. řádku y + z – 2t = 0  y + g – 6g = 0  y = 5g  Dosadíme do 1. řádku x - 2y – z + 3t = 0  x – 10g - g + 9g = 0  x = 2g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 0, 0, 0, 0] + g ( 2, 5, 1, 3) Výsledek je správně podle zkoušky, ale rozdílný od výsledku ve scriptech.  Správně to mám já. K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 1 Přepsání soustavy do matice x – 5y – 3z + 3t = -5 2y + 2z – t = 3 2x – 3y + z – t = -3 1 -5 -3 3 -5 1 -5 -3 3 -5 Nehomogenní matice – příklad 8.3 0 2 2 -1 3 0 2 2 -1 3 2 -3 1 -1 -3 0 7 7 -7 7 3.řádek vykrátím a prohodím s druhým K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 2 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Parametr gučiním z neznámé z. 1 -5 -3 3 -5 1 -5 -3 3 -5 0 1 1 -1 1 0 1 1 -1 1 0 2 2 -1 3 0 0 0 1 1 Dosazovat začínáme od posledního řádku. t = 1  Dosadíme do 2. řádku y + z – t = 1  y + g – 1 = 1  y = 2 - g  Dosadíme do 1. řádku x - 5y – 3z + 3t = -5  x – 10 + 5g - 3g + 3 = -5  x = 2 - 2g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 2, 2, 0, 1] + g ( -2, -1, 1, 0) Výsledek je správně podle zkoušky, ale je nepatrně rozdílný od výsledku ve scriptech.  Správně to mám já.

4. x + y – 3z + t = 4 -x + 3z + t = -1 x + 2y – 3z + 3t = 7 1 1 -3 1 4 Přepsání soustavy do matice k 2.řádku přičteme 1.řádek 1 1 -3 1 4 -1 0 3 1 -1 0 1 0 2 3 1 2 -3 3 7 1 2 -3 3 7 k 3.řádku přičteme –1 násobek řádku 1 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. 1 1 -3 1 4 Vynechám třetí řádek 1 1 -3 1 4 Příklad 8.4 0 1 0 2 3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 3 Parametr gučiním z neznámé t. Dosazovat začínáme od posledního řádku. y + 2t = 3  y + 2g = 3  y = 3 - 2g  Dosadíme do 1. řádku x + y – 3z + t = 4  [z neznámé z učiním parametr p] x + 3 – 2g – 3p + g = 4  x = 1 + g + 3p Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 1, 3, 0, 0] + g ( 1, -2, 0, 1) + p ( 3, 0, 1 ,0 ) Výsledek O.K. k 2.řádku přičteme –2 násobek řádku 1 x + y – z = 4 2x + 2y - z = 6 x + 3y + z = 10 1 1 -1 4 1 1 -1 4 Prohodím 2.řádek za třetí Přepsání soustavy do matice 2 2 -1 6 0 0 1 -2 Příklad 8.5 1 3 1 10 1 3 1 10 k 2.řádku přičteme –1 násobek řádku 1 1 1 -1 4 1 1 -1 4 1 1 -1 4 h = hr = n  rovnice má 1 řešení. Vykrátím 2.řádek 1 3 1 10 0 2 2 6 0 1 1 3 0 0 1 -2 0 0 1 -2 0 0 1 -2 Dosazovat začínáme od posledního řádku. z = -2  Dosadíme do 2. řádku y + z = 3  y – 2 = 3  y = 5  Dosadíme do 1. řádku x + y – z = 4  x + 5 + 2 = 4  x = -3 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, 2] Výsledek O.K.

5. det Ax det A det Ax det A Zde se nedovíte, proč jsou operace s použitím determinantu pravdivé (permutace, inverze), ale jen konstatování že determinant matice je jákási hodnota matice vyjádřená číslem. Tuto hodnotu – determinant počítáme podle tzv. Sarrusova pravidla. Toto pravidlo používáme jen u matic typu 2*2 a 3*3 prvků. Řešení přiblížím tak, že do matice zakreslím diagonály vedoucí zprava doleva dolů a diagonály vedoucí z leva doprava dolů. Prvky ležící na každé diagonále budu násobit. Násobky z diagonál zleva doprava budu k sobě přičítat a násobky z diagonál zprava doleva budu odčítat. Determinant - nástin definice Determinant (budeme označovat det) se u této matice bude rovnat. 2 * 4- (-1) * 1 = 9 Pokud máme matici s hodností 3 opíšeme první dva řádky pod třetí, aby diagonály byly tzv. kompletní. 2 * 4 * (-1) + 1 * (-2) * 3 + 3 * (-1) * 2 – 3 * 4 * 3 – 2 * (-2) * 2 – (-1) * (-1) * 1 = (-8) + (-6) + (-6) – 36 – (-8) – 1 = -49 Před samotným výpočtem se mohou matice elementárně upravovat (vykrátit, prohodit řádky, … ) 2 -1 1 4 - + 2 -1 3 1 4 2 3 -2 -1 2 -1 3 1 4 2 + - Způsob řešení soustavy lineárních rovnic pomocí determinantu Při řešení soustavy lin. rovnic pomocí matic se potkáváme s tzv. rozšířenými maticemi o hodnosti H´. Protože při řešení budeme používat Sarrusovo pravidlo, tak zdůrazním, že řešíme matice o hodnosti H = 2 nebo H = 3, kdy počet řádků této nerozšířené matice je roven počtu sloupců. počítá s tím, že pro každou neznámou si zapíše novou matici prohozením sloupců. Pro názornou ilustraci označím sloupce symboly. Pak bude platit: Cramerovo pravidlo ? @ * ? @ * * @ * @ ? * ? * A je levá strana rozšířené matice. Ax = Ay = x = y =

6. Az = Ax = Ay = det Az det A det Ay det A det Ax det A ? @ ° * ? @ ° * ? @ ° * ? @ ° ? @ ° ? @ ° * @ ° * @ ° * @ ° ? * ° ? * ° ? * ° ? @ * ? @ * ? @ * A = Ax = Ay = Az = Cramerovo pravidlo - pokračování Slovy bych to vyjádřil asi takto: Matici pro neznámou x zapíši tak, že sloupec s neznámými x nahradím sloupcem z pravé strany rozšířené matice. 1 1 -1 2 2 -1 1 3 1 1 1 -1 2 2 -1 x + y – z = 4 2x + 2y – z = 6 x + 3y + z = 10 = 1 * 2 * 1 + 2 * 3 * (-1) + 1 * 1 * (-1) – (-1) * 2 * 1 – (-1) * 3 * 1 – 1 * 1 * 2 = 2 – 6 – 1 + 2 + 3 – 2 = -2 A = 4 1 -1 6 2 -1 10 3 1 4 1 -1 6 2 -1 Ax = 4 * 2 * 1 + 6 * 3 * (-1) + 10 * 1 * (-1) – (-1) * 2 * 10 – (-1) * 3 * 4 – 1 * 1 * 6 = 8 – 18 – 10 + 20 + 12 – 6 = 6  x = det Ax : det A = 6 : (-2) = -3 Ax = Příklad 10.1 1 4 -1 2 6 -1 1 10 1 1 4 -1 2 6 -1 Ay = 1 * 6 * 1 + 2 * 10 * (-1) + 1 * 4 * (-1) – (-1) * 6 * 1 – (-1) * 10 * 1 – 1 * 4 * 2 = 6 – 20 – 4 + 6 + 10 – 8 = -10  y = det Ay : det A = (-10) : (-2) = 5 Ay = 1 1 4 2 2 6 1 3 10 1 1 4 2 2 6 Az = Az = 1 * 2 * 10 + 2 * 3 * 4 + 1 * 1 * 6 – 4 * 2 * 1 – 6 * 3 * 1 – 10 * 1 * 2 = 20 + 24 + 6 – 8 – 18 – 20 = 4  z = det Az : det A = 4 : (-2) = -2 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, -2] Výsledek O.K. Kdybych si mohl vybrat způsob řešení soustavy lineárních rovnic, tak bych dal určitě přednost řešení pomocí determinantu před dosazovací metodu a klasickým zpracováním matice kvůli nejmenší pravděpodobnosti udělání chyby.

7. 2x + 7y + 5z = 8 -3x + y + 4z = 11 7x + 7y + z = -2 2 7 5 -3 1 4 7 7 1 2 7 5 -3 1 4 = 2 * 1 * 1 + (-3) * 7 * 5 + 7 * 7 * 4 – 5 * 1 * 7 – 4 * 7 * 2 – 1 * 7 * (-3) = 2 – 105 + 196 – 35 – 56 + 21 = 23 A = 8 7 5 11 1 4 -2 7 1 8 7 5 11 1 4 Příklad 10.2 Ax = 8 * 1 * 1 + 11 * 7 * 5 + (-2) * 7 * 4 – 5 * 1 * (-2) – 4 * 7 * 8 – 1 * 7 * 11 = 8 + 385 – 56 + 10 – 224 – 77 = 46  x = det Ax : det A = 46 : 23 = 2 Ax = 2 8 5 -3 11 4 7 -2 1 2 8 5 -3 11 4 Ay = 2 * 11 * 1 + (-3) * (-2) * 5 + 7 * 8 * 4 – 5 * 11 * 7 – 4 * (-2) * 2 – 1 * 8 * (-3) = 22 + 30 + 224 – 385 + 16 + 24 = -69  y = det Ay : det A = -69 : 23 = -3 Az = 2 * 1 * (-2) + (-3) * 7 * 8 + 7 * 7 * 11 – 8 * 1 * 7 – 11 * 7 * 2 – (-2) * 7 * (-3) = - 4 – 168 + 539 – 56 – 154 – 42 = 115  z = det Az : det A = 115 : 23 = 5 Ay = 2 7 8 -3 1 11 7 7 -2 2 7 8 -3 1 11 Az = Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, -2]  O.K. 4 1 5 2 -3 -1 5 -4 0 4 1 5 2 -3 -1 4x + y + 5z = 15 2x - 3y – z = -3 5x - 4y = 3 = 4 * (-3) * 0 + 2 * (-4) * 5 + 5 * (-1) * 1 – 5 * (-3) * 5 – (-1) * (-4) * 4 – 0 * 1 * 2 = 0 – 40 – 5 + 75 – 16 – 0 = 14 Příklad 10.4 A = Ax = 15 * (-3) * 0 + (-3) * (-4) * 5 + 3 * 1 * (-1) – 5 * (-3) * 3 – (-1) * (-4) * 15 – 0 * 1 * (-3) = 0 + 60 – 3 + 45 – 60 + 0 = 42  x = det Ax : det A = 42 : 14 = 3 15 1 5 -3 -3 -1 3 -4 0 15 1 5 -3 -3 -1 Ax = 4 15 5 2 -3 -1 5 3 0 4 15 5 2 -3 -1 Ay = 4 * (-3) * 0 + 2 * 3 * 5 + 5 * 15 * (-1) – 5 * (-3) * 5 – (-1) * 3 * 4 – 0 * 15 * 2 = 0 + 30 – 75 + 75 + 12 – 0 = 42  y = det Ay : det A = 42 : 14 = 3 Ay = 2x – 3y – z = -3  2 * 3 – 3 * 3 – z = -3  0 = z Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 3, 3, 0] Výsledek O.K.

8. Pak tu máme ještě jednu omezující podmínku, a to, že Počet sloupců v matici A se musí rovnat počtu řádků v matici B a počet řádků v matici A se musí rovnat počtu sloupců v matici B. A(m,n) * B(k,l)  musí platit, že m=l a n=k Násobení a dělení reálným číslem je to nejprimitivnější co nás může potkat 8 7 2 1 3*8 3*7 3*2 3*1 Máme-li matici A a násobek 3, pak jejich součin bude Operace s maticemi Sčítání a odečítání matic je také velmi jednoduché. 1 2 3 4 5 6 7 8 1+5 2+6 3+7 4+8 6 8 10 12 Ještě vykrátit Máme-li matici A a matici B pak jejich součet bude: = U násobení matic se setkáváme s jednou zvláštností. Na rozdíl od násobení reálných čísel, kdy nám vyjdou stejné výsledky, ať už násobíme číslo A číslem B, tak u matic to neplatí  A * B se nerovná B * A Násobení matic Pro znázornění zapíši matice pomocí indexů A1*B1+ A1*B2+ A2*B3 A2*B4 A3*B1+ A3*B2+ A4*B3 A4*B3 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 * = 1.řádek A* 1.řádek A* 1.sloupec B 2.sloupec B 2.řádek A* 2.řádek A* 1.sloupec B 2.sloupec B Pravidlo o tom, že A * B se nerovná B * A má jednu vyjímku (na další straně)

9. -1 Inverzní matice A je maticí obrácenou k matici A. Pokud násobíme matici A maticí A dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme matici A maticí A. Inverzní matici A vypočteme za pomoci matice jednotkové E, a to tak že budeme řešit rozšířenou matici jejíž levou stranu bude tvořit matice A a pravou stranu matice E. Elementárními úpravy matice docílíme toho, že se jednotková matice E přesune na levou stranu rozšířené matice. Potom pravá strana matice bude rovna matici A , tedy matici inverzní k matici A. V tomto případě tedy platí, že A * A = A * A = E , ale také E * A = A * E -1 -1 -1 Inverzní matice -1 -1 -1 Je taková matice, která má na své hlavní diagonále samé jedničky, a všechny ostatní prvky jsou nuly 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matice, ke které existuje inverzní matice nazýváme maticí regulární. Matice, ke které neexistuje inverzní matice nazýváme maticí singulární. Inverzní matice existují pouze u matic typu nxn, pro které platí, že determinant A musí být různý od nuly a hodnost matice A musí být rovna počtu řádků n E = 3 1 2 2 2 3 1 1 2 1) Začneme zapsáním rozšířené matice ve tvaru ( A | E ) Zkušební příklad: Zjistěte inverzní matici k matici A = Jednotková matice 3 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 1 K 2.řádku přičtu –3 násobek řádku 1 1 1 2 0 0 1 Proházím si řádky 2 2 3 0 1 0 3 1 2 1 0 0 0 -2 -4 1 0 -3 1 1 2 0 0 1 2 2 3 0 1 0 2 2 3 0 1 0 K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 1 1 1 2 0 0 1 K 1.řádku přičtu ½ násobek řádku 2 1 0 0 ½ 0 -½ 3.řádek vynásobím -1 0 -2 -4 1 0 -3 0 -2 -4 1 0 -3 0 0 -1 0 1 -2 0 0 -1 0 1 -2 K 2.řádku přičtu 4 násobek řádku 3 1 0 0 ½ 0 -½ 1 0 0 ½ 0 -½ 2.řádek vydělím -2 1 0 0 ½ 0 -½ 0 -2 -4 1 0 -3 0 -2 0 1 -4 5 0 1 0 -½ 2 -2,5 0 0 1 0 -1 2 0 0 1 0 -1 2 0 0 1 0 -1 2 ½ 0 -½ Zkoušku provedeme tak, že vynásobíme A * A . Pokud nám vyjde E, tak je vše v pořádku. -1 -1 A = -½ 2 -2,5 0 -1 2

10. -1 E = A * A -1 -1 A = A = Postup • Odvodíme vzorec pro výpočet neznámé matice X • Při odvozování vzorce používáme vzorce, které známe z řešení matic inverzních • Vypočítáme všechny potřebné matice • Dosadíme do vzorce a vypočítáme matici X Maticové rovnice -1 1) Rozšíření maticí X A * A * X = B * A X = B * A 2 1 3 1 2 3 AX = B, kdy A= B = -1 -1 1 -1 1 4 5 6 1 0 1 7 8 9 -1 -1 2) Spočítám matici A 2 1 3 1 0 0 1 0 1 0 0 1 Proházím řádky, a 2.řádek vynásobím -1 K 2.řádku přičtu 1.řádek 1 -1 1 0 1 0 -1 1 -1 0 -1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 3 1 0 0 1 0 1 0 0 1 K 3. řádku přičtu –2 násobek řádku 1 1 0 1 0 0 1 K 3. řádku přičtu –1 násobek řádku 2 Příklad 11.8 0 1 0 0 -1 1 0 1 0 0 -1 1 2 1 3 1 0 0 0 1 1 1 0 -1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 -1 3 -1 -1 3 K 1. řádku přičtu –1 násobek řádku 3 0 1 0 0 -1 1 0 1 0 0 -1 1 0 -1 1 0 0 1 1 1 -2 0 0 1 1 1 -2 1 0 -2 3) Dosazení do rovnice 1 2 3 -1 -1 3 2 -3 -1 X = * = 4 5 6 0 -1 1 2 -9 3 7 8 9 1 0 -2 2 -15 19 Sice mi to nevyšlo, ale už s matikou končím, protože v principu to chápu.