Modelos Hidrológicos

1. Modelos Hidrológicos Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas

2. Programa • Por que modelos hidrológicos • Terminologia • Elementos da modelagem • Classificação • Etapas da modelagem • Modelos no gerenciamento • Evolução dos modelos hidrológicos

3. Modelos Hidrológicos • Por que modelos hidrológicos? O modelo é a representação de algum objeto ou sistema, numa linguagem ou forma de fácil acesso e uso, com o objetivo de entendê-lo e buscar suas respostas para diferentes entradas. O modelo deve ser visto como uma ferramenta não um objetivo Se é possível medir as variáveis hidrológicas por que necessito do modelo? Se eu disponho de um modelo por que necessito medir a vazão de um rio ou outras variáveis hidrológicas?

4. As limitações básicas dos modelos hidrológicos são a quantidade e a qualidade dos dados hidrológicos, além da dificuldade de formular matematicamente alguns processos e a simplificação do comportamento espacial de variáveis e fenômenos. • Nenhuma metodologia cria informações apenas explora melhor os dados existentes

5. Terminologia • Risco e incerteza: o risco de ocorrência de uma determinada variável aleatória é a chance aceita pelo projetista que a variável seja maior que um determinado valor (menor no caso de mínimos). A incerteza refere-se a diferença entre as estatísticas da amostra e da população, que pode ser devido a representatividade da amostra ou devido aos erros de coleta e processamento dos dados da variável aleatória. • Série estacionária ou não-estacionária: uma série é estacionária quando as estatísticas da mesma não se alteram com o tempo. Uma série é não-estacionária no caso contrário. • Parcimônia: a representação adequada do comportamento de um processo ou um sistema por um modelo com o menor número possível de parâmetros é entendido como o princípio da parcimônia.

6. Sistema, modelo e simulação • Sistema é qualquer estrutura, esquema ou procedimento, real ou abstrato, que num dado tempo de referência interrelaciona-se com uma entrada, causa ou estímulo de energia ou informação, e uma saída, efeito ou resposta de energia ou informação. SISTEMA Saída ENTRADA • Exemplos: Bacia hidrográfica, trecho de rio, aqüífero

7. Modelos • Modelo é uma representação do comportamento do sistema tipos de modelos: físicos, analógicos e matemáticos Os modelos analógicos valem-se da analogia das equações que regem diferentes fenômenos, para modelar no sistema mais conveniente, o processo desejado; Os modelos matemáticos: são os que representam a natureza do sistema, através de equações matemáticas, O modelo físico representa o sistema por um protótipo em escala menor, na maior parte dos casos

8. Classificação de Modelo Memória: é o espaço de tempo, no passado, durante o qual a entrada afeta o estado presente do sistema. Memória zero, para um sistema, significa que a entrada afeta o sistema somente no tempo em que ela ocorre. A memória infinita existe quando o sistema depende de todo o seu passado. Uma memória é finita quando o sistema depende da entrada ocorrida dentro de um período finito no passado. Exemplo: a memória de uma bacia hidrográfica (sistema) a uma determinada precipitação é o tempo que a água leva para infiltrar, percolar e escoar até a seção do rio que delimita a bacia.

9. Linearidade Um sistema linear se baseia no princípio da superposição: y1 é uma entrada do sistema que produz a saída x1. Da mesma forma, a entrada y2 resulta na saída x2 do mesmo sistema. O princípio de superposição é válido quando, a entrada y1+y2 produzir a saída x1 + x2 neste mesmo sistema. propriedade de homogeneidade: Se existem n entradas no sistema, de tal forma que y1 = y 2 = y3 .......... = yn o sistema é linear quando n y1 produz a saída n x1

10. Linearidade

11. Sistemas lineares e não-lineares Matematicamente: Linear : quando Ai  f(X) para i = 1,2,...n linear invariante: quando Ai  f(X,t) linear variante : quando Ai  f(X) não-linear: quando pelo menos um Ai = f(X,t) Exemplo:

12. Contínuo e Discreto • um sistema é dito contínuo quando os fenômenos são contínuos no tempo, enquanto que o sistema é discreto quando as mudanças de estado se dão em intervalos discretos. • Um sistema pode se modificar continuamente, mas para efeito de projeto os registros são efetuados em intervalos de tempo. • A escolha deste intervalo é função da economia desejada e da precisão dos resultados, que são conflitantes, já que à medida que o intervalo diminui, o custo para medir os dados da computação aumenta em favor da melhoria da precisão dos resultados. • Exemplos: linígrafo

13. Contínuo e Discreto

14. Concentrado e distribuído • um modelo é concentrado ("lumped") quando não leva em conta a variabilidade espacial. A precipitação média de uma bacia é um exemplo da integração espacial da variável de entrada. Em geral, os modelos concentrados utilizam somente o tempo como variável independente. • distribuído (distributed) quando as variáveis e parâmetros do modelo dependem do espaço e/ou do tempo. Em termos matemáticos, a equação diferencial ordinária possui uma variável independente, neste caso, o tempo, e representa um modelo concentrado

15. Exemplo distribuído concentrado

17. Estocástico e determinístico Se a chance de ocorrência das variáveis é levada em conta, e o conceito de probabilidade é introduzido na formulação do modelo, o processo e o modelo são ditos Estocásticos. Se a chance de ocorrência das variáveis envolvidas no processo é ignorada, e o modelo segue uma lei definida que não a lei das probabilidades, o modelo e os processos são ditos Determinísticos. Quando uma variável de entrada de um sistema é aleatória, a variável de saída também será aleatória, no entanto o sistema pode ter comportamento determinístico ou representado por um modelo determinístico. Exemplo, a vazão de entrada e saída de um reservatório são variáveis aleatórias, mas a determinação da vazão de saída com base na de entrada e nas características do reservatório é um processo determinístico bem conhecido.

18. Estocástico e determinístico

19. Caos Um sistema com comportamento aparentemente aleatório também pode ser determinístico. Quando o sistema é não-linear e altamente dependente das suas condições iniciais, a resposta pode apresentar características de uma variável aleatória e passar pelos testes estatísticos e estocásticos. Este processo é denominado na literatura de "caos determinístico". x (k+1) = r x (k)[ 1 - x(k)]

20. Exemplo

21. Conceitual e Empírico • conceitual, quando as funções utilizadas na sua elaboração levam em consideração os processos físicos. Esta definição é estabelecida para diferenciar os modelos que consideram os processos físicos, dos modelos ditos "caixa-preta". • Os modelos do tipo "caixa-preta" ou empíricos são aqueles em que se ajustam os valores calculados aos dados observados, através de funções que não têm nenhuma relação com os processos físicos envolvidos.

22. Conceitual e Empírico

23. Elementos da Modelagem Fenômeno de interesse Funções governantes ou Variáveis externas Parâmetros Variáveis de estado Processos Parâmetros

24. Elementos da Modelagem • Fenômeno é um processo físico, que produz alteração de estado no sistema. Por exemplo, precipitação, evaporação e infiltração são fenômenos; • Variávelé um valor que descreve quantitativamente um fenômeno, variando no espaço e no tempo. Por exemplo, vazão é uma variável que descreve o estado do escoamento; • Parâmetroé um valor que caracteriza o sistema, o parâmetro também pode variar com o espaço e o tempo. Exemplos de parâmetros são: rugosidade de uma seção de um rio, área de uma bacia hidrográfica e áreas impermeáveis de um bacia.

25. Exemplo Equação da continuidade Relação entre volume e saída Derivando a segunda equação e substituindo na primeira, resulta a equação diferencial do modelo Onde K é o parâmetro, Q a variável dependente e de saída e I a variável de entrada

26. Etapas da Modelagem Definição do problema Simplificação e formulação de hipótese Dedução do modelo Resolução do problema Calibração e validação Aplicação do modelo

27. Etapas da Modelagem Definição do problema Simplificação e formulação de hipótese Dedução do modelo Resolução do problema Calibração e validação Aplicação do modelo

28. Etapas da Modelagem Floração de cianobactérias Eutrofização Cheias Problemas em Hidrologia Extensão de Séries hidrológica Planejamento Regime hidrológico Usos da água Estados alternativos

29. Etapas da Modelagem Definição do problema Simplificação e formulação de hipótese Dedução do modelo Resolução do problema Calibração e validação Aplicação do modelo

30. Etapas da Modelagem Simplificações e formulação de hipóteses Quais são as variáveis? Quais são as hipóteses? Quais são os processos? Essa é a minha proposta!!!

31. Etapas da Modelagem Simplificações e formulação de hipóteses

32. Etapas da Modelagem Simplificações e formulação de hipóteses Produção Taxa constante Luz Temperatura Nutrientes

33. Etapas da Modelagem Simplificações e formulação de hipóteses Complexidade Aproximação Nº ótimo de parâmetros Nº de parâmetros

34. Etapas da Modelagem Definição do problema Simplificação e formulação de hipótese Dedução do modelo Resolução do problema Calibração e validação Aplicação do modelo

35. Modelos Qualidade Água e Hidrodinâmica Derivado aplicação Leias de Conservação Propriedades conservativas intrínsecas internas momentum, calor energia, massa água, massa contaminantes Prediz: Mudanças em propriedades conservativas; Mudanças estado sistema resulta de mudanças em uma ou mais propriedades intrínsecas. Conservação de Energia Balanço Calor e Evaporação Relações de mistura Conservação de Massa Massa água na hidrodinâmica e transporte Massa materiais dissolvidos ou suspensos na água Balanço massa expandido para incluir mudanças cinéticas Conservação de Momento Água: movimento Água: Fluxo As Leis da Natureza!! Acumulação Líquida = Transporte Fonte/Sumidouro (transformações) Fluxo Propriedades Conservativas devido movimento água (advecção, mistura turbulenta, difusão) Funções Forçantes

36. Etapas da Modelagem Dedução do modelo matemático Modelo conceitual

37. Etapas da Modelagem Dedução do modelo matemático

38. Etapas da Modelagem Definição do problema Simplificação e formulação de hipótese Dedução do modelo Resolução do problema Calibração e validação Aplicação do modelo

39. Etapas da Modelagem Resolução do problema Solução das equações diferenciais através de um método numérico: Runge-Kutta Diferenças finitas Euler Elementos Finitos Métodos analíticos Métodos numéricos Método dos Coeficientes Não-determinados Transformadas de Laplace Elementos de contorno

40. Etapas da Modelagem Resolução do problema Método numérico Discretização temporal y Discretização espacial x

41. Etapas da Modelagem Resolução do problema

43. Etapas da Modelagem Definição do problema Simplificação e formulação de hipótese Dedução do modelo Resolução do problema Calibração e validação Aplicação do modelo

44. Etapas da Modelagem Calibração e validação do modelo Observado Calculado A Período de calibração Período de validação

45. Etapas da Modelagem Calibração e validação do modelo

46. Medindo a chuva Pluviômetros:

47. Pluviômetro Fonte : Sabesp

48. Pluviógrafo – pluviômetro de caçamba

49. Estação Pluviográfica

50. Pequenos rios Vazão x velocidade