Aula 8

1. Aula 8 dedução das equações de conservação

2. sistema físico • modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão La transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = hs + hb: profundidade do escoamento hs : espessura da camada de transporte em suspensão hb : espessura da camada de transporte por arrastamento La : espessura da camada de mistura Yb : cota do fundo

3. sistema físico • modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão La transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = hs + hb: profundidade do escoamento hs : espessura da camada de transporte em suspensão hb : espessura da camada de transporte por arrastamento La : espessura da camada de mistura Yb : cota do fundo

4. ausência de fontes ou sumidouros modelo conceptual dada uma grandeza extensiva e • teorema do transporte de Reynolds (#1)

5. modelo conceptual • teorema do transporte de Reynolds (#1)

6. modelo conceptual • teorema do transporte de Reynolds (#1) primeira parcela:

7. modelo conceptual segunda parcela: • teorema do transporte de Reynolds (#1)

8. modelo conceptual segunda parcela: • teorema do transporte de Reynolds (#1)

9. modelo conceptual segunda parcela: • teorema do transporte de Reynolds (#1)

10. modelo conceptual somando as duas parcelas: • teorema do transporte de Reynolds (#1) • teorema do transporte de Reynolds (#2) volume de controlo não coincide com o sistema em t = t0 + t velocidade do fluido relativamente à fronteira do volume de controlo

11. modelo conceptual • teorema do transporte de Reynolds (#2)

12. modelo conceptual • teorema do transporte de Reynolds (#2) notar que: se

13. modelo conceptual • teorema do transporte de Reynolds (#2) por definição:

14. conservação da massa na camada [1] modelo conceptual exemplo: sedimentos transportados em suspensão fronteiras fixas transporte em suspensão fronteiras móveis La transporte por arrastamento camada de mistura substrato considerando que não há fontes ou sumidouros e que e = s(1) (massa volúmica aparente dos sedimentos transportados em suspensão)

15. modelo conceptual • conservação da massa na camada [1] sedimentos transportados em suspensão • conservação da massa de sedimentos transporte em suspensão La transporte por arrastamento camada de mistura substrato fluxo fronteira fixa 2 taxa de variação local fluxo fronteira fundo fluxo fronteira fixa 1 B largura do canal

16. modelo conceptual • conservação da massa na camada [1] sedimentos transportados em suspensão considerando que e integrando no tempo, fica note que, porque não há segregação entre os sólidos transportados em suspensão e o fluido,

17. modelo conceptual • conservação da massa na camada [1] sedimentos transportados em suspensão eliminando a largura do canal, B, e a massa volúmica dos grãos, (g), e considerando que regra de Leibnitz que teorema fundamental do cálculo e que

18. modelo conceptual • conservação da massa na camada [1] equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma integral considerando que o espaço de integração é não nulo equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma diferencial cumprindo um processo idêntico ao anterior, a equação da massa de água na camada de transporte em suspensão é notar que massa volúmica aparente da água é

19. modelo conceptual • conservação da massa na camada [2] sedimentos transportados por arrastamento • conservação da massa de sedimentos transporte em suspensão La transporte por arrastamento camada de mistura substrato equação de conservação dos sedimentos transportados por arrastamento na camada [2] como os sedimentos grosseiros e a água têm velocidades diferentes (há segregação) “depth-averaging” e “flux-averaging” são conceitos diferentes! nota:

20. modelo conceptual • conservação da massa na camada [2] consequências da segregação de sedimentos grosseiros transportados por arrastamento prova-se que em que e, para concentrações baixas, que

21. sedimentos água modelo conceptual • conservação da massa na camada [2] súmula de equações de conservação da massa sedimentos grosseiros sedimentos finos água • conservação da massa no leito

22. modelo conceptual • conservação da massa total massa total na camada [1] massa total na camada [2] massa total no leito massa total no sistema

23. modelo conceptual • conservação da quantidade de movimento exemplo: camada [1] taxa de variação temporal da quantidade de movimento (forças de inércia) forças no contorno forças de massa forças de pressão (normais) forças tangenciais força da gravidade variação local variação convectiva : aceleração da gravidade : pressão : tensões tangenciais hipótese fundamental: as camadas são meios contínuos água sólidos

24. modelo conceptual • conservação da quantidade de movimento [1] - forças de inércia - forças de pressão - força da gravidade - forças de resistência La - outras forças tangenciais membro esquerdo, segundo x:

25. modelo conceptual • conservação da quantidade de movimento [1] membro direito, segundo x: força da gravidade forças de pressão forças de resistência

26. modelo conceptual • conservação da quantidade de movimento [1] eliminando a largura do canal (canal prismático ou cilíndrico) a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial obtém-se considerando que o espaço de integração é não-nulo e que

27. modelo conceptual • conservação da quantidade de movimento [2] seguindo um procedimento idêntico ao anterior obtém-se a eq. cons. na forma integral a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial é

28. modelo conceptual • súmula das equações de conservação das camadas de transporte e do leito nota: entre eq. de conservação dos sedimentos (S), a eq. de conservação da água (W) e a eq. de conservação da massa total (T) só 2 equações são independentes (T=S+W). usa-se a eq. de conservação da massa total e não a da água. massa total massa de sedimentos, leito massa de sedimentos, fracção k, camada [1] massa de sedimentos, fracção k, camada [2] nota: sempre que as fracções correspondentes não segregarem. quantidade de movimento da mistura, camada [1] quantidade de movimento da mistura, camada [2]

29. deposição modelo conceptual • camada de mistura Hipóteses: - não há movimento longitudinal - fluxos de massa são exclusivamente verticais - existe mistura instantânea do material entrado nesta camada La nota: a camada de mistura age como um filtro fluxo da fracção k através da fronteira superior acumulação da fracção k erosão fluxo da fracção k através da fronteira inferior

30. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média na camada de transporte em suspensão [1] : velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2] : cota do fundo : concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [1] : concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [2] : percentagem da fracção granulométrica k na camada de mistura 4 + 3(k-1) variáveis dependentes para 4 + 3(k-1) equações!

31. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho equações de fecho: : fluxo da fracção k entre o fundo e a camada de transporte [1] : fluxo da fracção k entre as camadas de transporte [1] e [2] : velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2] : tensão de arrastamento de [2] para [1] : tensão de arrastamento de [1] para [2] : tensão de arrastamento junto ao fundo : espessura da camada de mistura : percentagem da fracção k entre a camada de mistura e o fundo : espessura da camada de transporte por arrastamento

32. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho equações de fecho, exemplos: : coeficiente de resistência; calcular com uma fórmula apropriada de resistência e.g., só resistência do grão (tipo Keulegen, Einstein, etc...), ou resistência do grão e de forma (Garde e Raju, Brownlie, Ackers et al., Van Rijn). : espessura da camada de transporte por arrastamento com ou sem formas de fundo. : espessura da camada de mistura com ou sem formas de fundo.

33. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho equações de fecho, exemplos: : caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte (e.g., Einstein, Meyer-Peter & Mueller, Van Rijn, etc...). nota: deve incorporar um critério de sobreexposição/ocultamento (exposure/hiding). exemplo, na fórmula de Meyer-Peter & Mueller: mobilidade indiferente:  = 0 equilíbrio: deposição: erosão:

34. modelo conceptual • granulometria uniforme, equações de conservação massa total conservação da massa de sedimentos do leito massa de sedimentos, camada [1] massa de sedimentos, camada [2] quantidade de movimento da mistura, camada [1] quantidade de movimento da mistura, camada [2]

35. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #2 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média na camada de transporte em suspensão [1] : velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2] : cota do fundo : concentração de sedimentos em [1] : concentração de sedimentos em [2] 6 variáveis dependentes para 6 equações

36. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #2 equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1] : fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2] : velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2] : tensão de arrastamento de [2] para [1] : tensão de arrastamento de [1] para [2] : tensão de arrastamento junto ao fundo : espessura da camada de transporte por arrastamento exemplo:

37. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média massa total conservação massa sedimentos, leito massa de sedimentos, camada [1] massa de sedimentos, camada [2] quantidade de movimento da mistura

38. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #3 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média na totalidade da “coluna de água” : cota do fundo : concentração de sedimentos em [1] : concentração de sedimentos em [2] 5 variáveis dependentes para 5 equações

39. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #3 equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1] : fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2] : velocidade média na camada de arrastamento : tensão de arrastamento junto ao fundo : espessura da camada de transporte por arrastamento exemplo: : velocidade média na camada de arrastamento, água e sedimentos velocidade média dos sedimentos velocidade média da água

40. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações massa total conservação da massa de sedimentos no leito massa de sedimentos em movimento quantidade de movimento da mistura porque:

41. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #4 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média do escoamento : cota do fundo : concentração total de sedimentos 4 variáveis dependentes para 4 equações

42. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #4 equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e o escoamento : tensão de arrastamento junto ao fundo exemplo: : caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

43. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura

44. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #5 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média do escoamento : cota do fundo 3 variáveis dependentes para 3 equações

45. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #5 equações de fecho: : concentração de sedimentos (igual à capacidade de transporte) : tensão de arrastamento junto ao fundo exemplo: em que qS é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

46. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura

47. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #6 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média do escoamento : cota do fundo 3 variáveis dependentes para 3 equações (1 eq. algébrica)

48. modelo conceptual • variáveis dependentes e equações de fecho, #6 equações de fecho: : concentração de sedimentos : tensão de arrastamento junto ao fundo exemplo: em que qS é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

49. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente se se desprezar a acumulação de sedimentos na coluna de água, i.e., note-se que a equação de conservação da quantidade de movimento é, ausência de descontinuidades no escoamento, equivalente à equação de Bernoulli

50. modelo conceptual • granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente considerando que que e que obtém-se e, portanto