oppervlakten berekenen n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Oppervlakten berekenen PowerPoint Presentation
Download Presentation
Oppervlakten berekenen

Loading in 2 Seconds...

  share
play fullscreen
1 / 12
rae-garza

Oppervlakten berekenen - PowerPoint PPT Presentation

132 Views
Download Presentation
Oppervlakten berekenen
An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... 6de jaar – 3 & 4u wiskunde Pedro Tytgat: Aanpassing Ronny Vrijsen

  2. Vraagstelling • We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x², de X-as en de verticale rechte met vergelijking x = 3. • Hiervoor is er echter geen bestaande formule... • We benaderen m.b.v. oppervlakten die we wel kennen: rechthoeken. opp = hoogtebreedte

  3. x1 x2 x3 Een eerste benadering • We verdelen [0, 3] in 3 deel-intervallen. • De breedte van elk rechthoekje noemen we x.Bij 3 deelintervallen is x = 1. • De hoogte van elk rechthoekje vinden we door het eindpunt van elk interval in te vullen in de functie: • x1 = 1  f(x1) = 1 • x2 = 2  f(x1) = 4 • x3 = 3  f(x3) = 9

  4. x x x x1 x2 x3 Waarde van de eerste benadering • Totale benaderde oppervlakte: • f(x1) x = 1 1 = 1 • f(x2) x = 4 1 = 4 • f(x3) x = 9 1 = 9 • opp(3) = • opp(3) = 14

  5. x2 x4 x6 x1 x3 x5 Een betere benadering • Verdelen we [0, 3] in 6 deel-intervallen, dan wordt de benadering al iets beter. • Elk rechthoekje is nu half zo breed: x = 0,5. • De hoogte van elk rechthoekje: • x1 = 0,5 : f(x1) = 0,25 • x2 = 1 : f(x2) =1 • x3 = 1,5 : f(x3) = 2,25 • ... • x6 = 3 : f(x6) = 9

  6. x x x x x x x2 x4 x6 x1 x3 x5 Een betere benadering: waarde • De totale benaderde oppervlakte is nu: • f(x1) x = 0,25 0,5 = 0,125 • f(x2) x = 1  0,5 = 0,5 • f(x3) x = 2,25 0,5 = 1,125 • f(x4) x = 4 0,5 = 2 • f(x5) x = 6,25 0,5 = 3,125 • f(x6) x = 9 0,5 = 4,5 • opp(6) = • opp(6) = 11,375

  7. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 Nog meer deelintervallen • Nemen we 12 deelintervallen, dan is x = 0,25 en moeten we 12 hoogtes f(xi) berekenen, waarbij i= 1, 2, 3, ..., 12. • We krijgen nu een som met 12 termen van de vorm: f(xi) x. • Beknopt: • Waarde: opp(12) = 10,15625

  8. f(xi) n deelintervallen! • Voor n deelintervallen (een willekeurig aantal). • n rechthoekjes met • vaste breedte: xen • hoogte: f(xi), met i= 1, 2, ..., n. • Formule: opp(n) = xi

  9. Oneindig veel deelintervallen • Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot +, nadert opp(n) tot de exacte oppervlakte S. • Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: S = 9

  10. De bepaalde integraal • Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: • Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als:

  11. Oppervlakte op een interval [a, b] • Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. • Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b:S = Of dus: a b

  12. Algemene uitdrukking • Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met • a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de Y-as) of • a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de Y-as). • Besluit: