ring dan ring bagian n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Ring dan Ring Bagian PowerPoint Presentation
Download Presentation
Ring dan Ring Bagian

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 28

Ring dan Ring Bagian - PowerPoint PPT Presentation


  • 174 Views
  • Uploaded on

Ring dan Ring Bagian. Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat , bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan .

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Ring dan Ring Bagian' - radwan


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2

Sistembilangan yang telahdikenalsepertibilanganbulat, bilanganrasionaldanbilangankompleksmempunyaiduaoperasi yang didefinisikanpadanyayaitupenjumlahandanpergandaan.

  • Di bawahoperasipergandaanhimpunanbilangan-bilangantersebutdiatasmerupakangrupabelian.
  • Sistemaljabardenganduaoperasisepertidiatastermasukdalamsistemaljabar yang dinamakanring.
slide3
RING
  • Ring adalahsistemaljabar yang terdiridarihimpunananggotaAdenganduaoperasiyaitupenjumlahan (+) danpenggandaan (.) danmemenuhihukum-hukum.

< A , +> grupabelianterhadapoperasipenggandaan

(a) hukumtertutup : jikaa, bdalamAmakaabdalamA.

(b) hukumassosiatif : (ab)c = a(bc) untuksemuaa, bdancdalamA.

(c) hukumdistributifkanan : a(b + c) = ab + acuntuksemuaa, bdancdalamA.

(d) hukumdistributifkiri : (a + b)c = ac + bcuntuksemuaa, bdancdalamA.

slide4

Contoh XI.1

  • DapatdibuktikanbahwahimpunanA yang terdiridari 2 elemenyaitu { 0, a } denganoperasi yang didefinisikandengan

0 + 0 = a + a = 0

0 + a = a + 0 = a

0 0 = 0 a = a 0 = 0

aa = a

merupakan ring. Sebagaicontohnyata Z2 = { 0, 1 } denganoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 2 merupakanhimpunan yang mempunyaisifattersebut.

slide5

Contoh XI.2

  • DapatdibuktikanbahwahimpunanA yang terdiridari 2 elemenyaitu { 0, a } denganoperasi yang didefinisikandengan

0 + 0 = a + a = 0

0 + a = a + 0 = a

0 0 = 0 a = a 0 = aa = 0

merupakan ring.

Dalamhalini, himpunanA = { 0, 2 } denganoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 4 merupakanhimpunan yang mempunyaisifattersebut.

slide6

Contoh XI.3

  • DapatdibuktikandenganmudahbahwahimpunanbilanganbulatZ, himpunanbilangan real R, himpunanbilanganrasionalQdanhimpunanbilangankompleksCmerupakan ring terhadapoperasipenjumlahandanperkalianaritmatika.
teorema xi 1
Teorema XI.1

DiketahuiAsebarang ring dana, b, csebaranganggotaA.

Sifat-sifatberikutiniberlaku :

0 . a = a . 0 = 0

(-a) b = a (-b) = - (ab)

- (-b) = b

(-a) (-b) = ab

a(b – c) = ab – ac

(a – b)c = ac – ab

slide8

Dalammempelajarisebarangtipealjabarselaludigunakancara yang umumuntukpenelaahannya.

  • Setelahdiberikandefinisidasarcontoh-contoh yang berkenaandenganistilahbarujugaditelititentangsistembagian, sifat-sifatdasar, sistemlebihbesar yang mengandungsistembagian yang lebihkecil, hormomorfismayaitufungsiantaraduasistemsehinggamengawetkanoperasidansistemsepertiG/S yang diturunkandarisistimasalGdenganmembentukkoset.
  • Penelaahanselanjutnyabiasanyaditunjukkanuntuksifat-sifat yang lebihkhususdarisistemaljabartersebut.
ring bagian
RING BAGIAN
  • Dalamcontohterdahulutelahdikenalbahwa ring Zterkandungdalam ring Qdan ring RterkandungdalamC.
  • Dalamhalinidapatdilihatbahwaoperasidari ring yang lebihkeciladalahoperasidari ring yang lebihbesardandibatasipada ring yang lebihkecil.
  • Sebagaicontohdalam ring Coperasipergandaandidefinisikansebagai

(a + bi ) ( c + di ) = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i

sedangkanoperasiitudibatasipadaRberartioperasi yang samadenganpembatasanpadaRsehinggaberbentuk

( a + 0 i ) ( c + 0 i ) dandidapat

(a + 0 i ) ( c + 0 i ) = ( ac – 0 . 0 ) + ( a. 0 + 0 . c ) i

= ac + 0i

yang bernilaisamadenganac.

slide10

Definisi XI.2

  • MisalkanShimpunanbagiandariA.
  • HimpunanSdinamakanring bagiandariAjikamemenuhi

(1) S ring

(2) OperasipenjumlahandanpergandaandariSadalahoperasipenjumlahandanpergandaandariA yang dibatasipadaS.

Definisitersebuttidakefisienuntukmengecekapakahsuatuhimpunanbagiandari ring Amerupakan ring bagiandariAsehinggadiperlukanteoremaberikutini.

slide11

Teorema XI.2

  • DiketahuiShimpunanbagiandari ring A.
  • HimpunanSmerupakan ring bagiandariAjikadanhanyajikaStertutupterhadappergandaandantertutupterhadappengurangan.
slide12

Contoh XI.3

  • HimpunanbilangangenapEmembentuk ring bagiandarihimpunanbulanganbulat Z.

Bukti :

  • E = { 2 k | k Z } jelashimpunan yang tidakkosong. TinggaldibuktikanbahwaEtertutupterhadapoperasipergandaandanpengurangan.
  • Tertutupterhadapoperasipergandaan.
  • Hasil kali (2m)(2n) = 2(m.2n) denganm.2nbilanganbulatsehinggadenganmenggunakanhukumassosiatifpergandaanmakahasilkalinyamasihdalamE.
  • Tertutupterhadappengurangan.
  • Karena (2m)-(2n) = 2(m.2n) danm-nbilanganbulat (Z tertutupterhadapoperasipengurangan) sehinggadalam E.
slide13

Contoh XI.4

  • BiladidefinisikanQ(√2 ) = { a + b √2 │a, bdalamQ } makaakandibuktikanbahwaQ(√2 ) merupakan ring bagiandariR.
  • KarenaQhimpunan yang tidakkosongmakajelasbahwaQ(√2 ) jugahimpunan yang tidakkosong.
  • Terhadapoperasipergandaanbersifat
  • ( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2 bd ) + ( ad + bc ) √2
  • danterhadapoperasipenguranganbersifat
  • ( a + b √2 ) – ( c + d √2 ) = ( a – c ) + ( b – d ) √2 .
  • Karenaac + 2bd, ad + bc, a – cdana – dtetapdalamQmakahasilpergandaandanhasilpengurangannyatetapdalamQ (√2 ).
  • OlehkarenaituQ(√2 ) merupakan ring bagiandariR.
slide14

Contoh XI.5

  • DiketahuiA ring danbanggotatertentudariA.
  • JikadidefinisikanCb = { xdalamA│bx = xb } makaakandibuktikanCbring bagiandariA.
  • HimpunanCbtidakkosongkarenabkomutatifdengandirinyasendiri.
  • Misalkanx, ydalamC.
  • Karena ( xy )b = x ( yb ) = x ( by ) = ( xb ) y = ( bx ) y = b ( xy ) danjuga
  • ( x – y )b = xb – yb = bx – by = b ( x – y )
  • makaberartixydanx – ykomutatifdenganbsehinggamerupakananggotaC.
  • OlehkarenaituCbtertutupterhadapoperasipenjumlahandanoperasipergandaandanakibatnyaCbring bagiandariA.▀
slide16

Soal XI.1

  • ApabilaAmerupakan ring bagiandari ring B, sedangkanBmempunyaielemensatuan, apakahAjugaharusmempunyaielemensatuan? Berikancontoh.

Jawab

  • Tidakperlu ring bagianAmempunyaielemensatuan. SebagaicontohAadalahhimpunanbilangangenap yang merupakan ring bagiandarihimpunanbilanganbulatB. HimpunanAtidakmempunyaielemensatuansedangkanelemensatuandalamBadalah 1 .
slide17

Macam – macam Ring

  • Sepertidalamteorigrup, sifat – sifatdasardari ring dapatdigunakanuntukmengklasifikasikan ring dengantujuanuntukmembedakanantara ring – ring yang tidakisomorfisdenganmenunjukkanperbedaansifat – sifatnya.
  • Tujuanlainnyaadalahuntukmengurutkan ring - ring kedalamkelas - kelas yang anggotanyamempunyaisifat – sifat yang mengijinkantipetertentudarisuatumasalahdapatterselesaikan.
  • Sebagaicontoh, kelas ring apa yang selaludapatmencaripenyelesaianpersamaanax + b = 0 dengana, bdalamAdenganpenyelesaiannyadalamA ?
  • Untukkelas ring apa yang setiapanggotanyadapatdifaktorkansecaratunggal ?
slide20

Definisi XI.4

  • (1) Ring Adinamakanring komutatifjikaab = bauntuksemuaa, bdalamA.
  • (2) Ring Adinamakan ring dengananggotasatuan

( unity) jikaAmengandungidentitasterhadappergandaan.

  • (3) Ring Adinamakandaerah integral (integral domain) jikaA ring komutatifdengananggotasatuandantidakmempunyaipembagi nol.
  • (4) Ring Adinamakan field jikaA ring komutatifdansetiapangota yang tidaknolmempunyaiinvers.
latihan
latihan
  • Himpunan { 0, 6 } tertutupdibawahoperasipergandaantetapibukan ring bagiandari Z10.
  • Jelaskanmengapa Z6 bukan ring bagiandariZ12 .
  • BuktikanbahwaZ [ √5 ] = { a + b √5 │a , bdalamZ } merupakan sub ring dariR.
  • BuktikanbahwaZ [√-1 ] = z [ i ] = { a + bi │a , bdalamZ } merupakan ring bagiandariC.
  • JikaadalamZnmakabuktikanbahwahimpunan (a) ring bagiandariZndanbukanhanyabagiansiklikdariZn.
  • DiketahuiA ring danbanggotatertentudariA.

DidefinisikanNb= { xdalamA│xb = 0 }.

BuktikanbahwaN bmerupakan ring bagiandariA.

( Nbdinamakan annihilator kiridariA ).