Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

1. Luento 8 Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x) = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p2/2m. Koska hiukkasella on määrätty energia, se on stationäärisessä tilassa. Mikä on sen aaltofunktio? Määritellään ”kulmataajuus”  ja ”aaltoluku” k mekaniikan aaltoliikkeen tapaan: Mekaniikassaliikkuvaaaaltoa kuvataan funktiolla Tämä on itse asiassa myös vapaan hiukkasen aaltofunktio kvanttimekaniikassa, kun vakiot A ja B valitaan sopivasti, nimittäin B = iA. Tällöin voimme näet kirjoittaa* Eulerin kaavat:

2. Aikaisemmin todettiin, että stationäärisen tilan aaltofunktio on muotoa (x)e-iEt/ = (x)e-it. Edellä oleva aaltofunktio on tätä samaa muotoa; siinä ajasta riippumaton osa on Sijoitetaan tämä Schrödingerin yhtälön vasemmalle puolelle ja otetaan huomioon, että vapaan hiukkasen tapauksessa potentiaalienergia on U(x) = 0: Koska vapaan hiukkasen energia on E = p2/2m, voimme todeta, että aaltofunktio (x) = Aeikx toteuttaa vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälön. Kun aaltoluku k = p/ on positiivinen, aaltofunktio (x) = Aeikx esittää positiivisen x-akselin suuntaan liikkuvaa vapaata hiukkasta, kun k on negatiivinen se esittää negatiivisen x-akselin suuntaan liikkuvaa vapaata hiukkasta. Schrödingerin yhtälö toteutuu on liikemäärä p mitä tahansa, joten vapaan hiukkasen energia ei ole kvantittunut vaan se voi saada kaikki arvot. Myöhemmin nähdään, että jos hiukkanen ei ole vapaa eli vuorovaikutukseen liittyvä potentiaali-energia U(x) ei häviä, vain tietyt kvantittuneet energiat ovat mahdollisia. Schrödingerin yhtälö antaa mahdolliset energian arvot ja niitä vastaavat aaltofunktiot.

3. Esimerkki On helppo nähdä, että myös funktio toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja myös siihen liittyy energia E=p2/2m. Silloin tietenkin myös kaikki seuraavaa muotoa olevat aaltofunktiot toteuttavat saman Schrödingerin yhtälön: jossa A1ja A2ovat mielivaltaisia kompleksilukuvakioita.Ensimmäinen termi kuvaa x-akselin positiiviseen suuntaan (liikemäärä p > 0) ja toinen termi negatiiviseen suuntaan (liikemäärä –p < 0) etenevää hiukkasta. Aaltofunktion kuvaamalla hiukkasella ei ole hyvin määriteltyä liikemäärää. Sillä on kuitenkin hyvin määritelty energia, E=p2/2m. Aaltofunktio on kahden eri liikemäärään liittyvän aaltofunktion superpositio, ja se kuvaa seisovaa aineaaltoa. Jos vapaalla hiukkasella on määrätty liikemäärä, on liikemäärän epämääräisyys p = 0. Epämääräisyysperiaatteen mukaan hiukkasen paikka on silloin täysin tuntematon, x  . Paikan tn-tiheys on Hiukkanen voi olla samalla todennäköisyydellä kaikkialla avaruudessa.

4. Huomaa, että Tuloksen pitäisi olla = 1, mutta se ei tässä ääritapauksessa toteudu. Käytännössä tarkasteltavien hiukkasten paikka tunnetaan jollakin tarkkuudella eli hiukkanen on lokalisoitunut. Silloin eo. integraalissa on äärelliset integroimisrajat ja kokonaistodennäköisyydeksi saadaan 1, kun aaltofunktio normitetaan sopivasti eli valitaan A:lle sopiva arvo. Tässä tapauksessa liikemäärä ei ole tarkasti tunnettu vaan p  0. Aaltofunktio on silloin usean tietyyn liikemäärätilaan liittyvän aaltofunktion (osa-aallon) yhdistelmä eli superpositio. Painottamalla eri osa-aaltoja sopivasti, saadaan aikaan aaltopaketti: Se kuvaa johonkin avaruuden osaan tai osiin paikallistunutta eli lokalisoitunutta hiukkasta. Kahdesta osa-aallosta muodostunut superpositio, jossa aaltoluvut poikkeavat hieman toisistaan.

5. Useanvapaata hiukkasta kuvaavan aaltofunktion eräs superpositio. Mukana on suuri määrä eli aaltolukuja (liikemääriä), ja tuloksena on x levyiselle alueelle keskittynyt aaltopaketti, jossa aallonpituus on eräänlainen keskiarvo osa-aaltojen aaltoluvuista. Aaltopaketilla on sekä hiukkasmainen (lokalisoituminen) että aaltomainen luonne. Mitä kapeammalta aaltolukualueeltaosa-aallot ovat, sitä leveämpi paketti. Jos aaltopaketissa on osa-aaltoja laajalta aaltolukualueelta, paketti on vastaavasti tarkemmin lokalisoitunut.

6. 4. Kvanttimekaniikka • Hiukkanen laatikossa • Aaltofunktioiden muodostaminen ja normitus • Potentiaalikuoppa • Potentiaalivalli, tunneloituminen • Harmoninen oskillaattori, molekyylien värähtely • Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa

7. Hiukkanen laatikossa Tässä luvussa tarkastellaan sidottujen tilojen kvanttimekaniikkaa. Tarkastellaan hiukkasia, jotka ovat vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa. Kappaleeseen vaikuttaa voima, ja voima ilmenee potentiaalienergiana U(x) Schrödingerin yhtälössä. Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen eli aaltofunktioiden ja energioiden selville saaminen ei ole niin suoraviivaista kuin vapaan hiukkasen tapauksessa, mutta kuitenkin mahdollista useiden potentiaalien tapauksessa. Tarkastelemme pääasiassa yksiulotteisia tilanteita. Laatikkopotentiaalilla tarkoitetaan tilannetta, jossa hiukkanen on pakotettu liikkumaan tietyllä äärellisellä osalla x-akselia, jossa siihen ei vaikuta voimia eli U(x) = 0. Alueen ulkopuolella U(x) = . Laatikon ulkopuolella eli kun x < 0 tai x > L Schrödingerin yhtälöllä on vain ratkaisu (x) = 0. Todennäköisyyslöytää hiukkanen sieltä on 0, koska todennäköisyystiheys | (x) |2 = 0.

8. Laatikon sisällä eli kun 0  x L hiukkasen Schrödingerin yhtälö on Tämä on vapaan hiukkasen yhtälö, mutta nyt tilanne poikkeaa aikaisemmasta reunaehtojen takia. • Jotta aaltofunktion itseisarvon neliö | (x) |2 voidaan tulkita • todennäköisyysteheydeksi, aaltofunktion tulee täyttää • seuraavat reunaehdot • (x) on jatkuva funktio. • (x) = 0 alueilla, joissa hiukkanen ei voi liikkua. • (x)  0, kun x + ja x -. • (x) on normalisoituva funktio. Jatkuvuusehto merkitsee laatikkopotentiaalin tapauksessa, että Selvästi vapaan hiukkasenratkaisut eikxja e-ikxeivät toteuta tätä ehtoa. Entä niiden superpositio? Eulerin kaavojen avulla tämä voidaan esittää muodossa

9. Reunaehdot alueiden rajoilla toteutuvat, kun kertoimet A1ja A2valitaan sopivasti. Pisteessä x = 0 saadaan Tästä seuraa, että aaltofunktio on jossatuntematon kompleksiluku 2iA1on korvattu lyhyyden vuoksi kompleksiluvulla C. Pisteessä x = L reunaehto on Tämä toteutuu silloin, kun sini sattuu olemaan 0 (C = 0 ei käy, sillä silloin aaltofunktio häviäisi kaikkialla). Sini häviää silloin, kun sen argumentti on jokin :n monikerta: Laatikkopotentiaalissa liikkuvan hiukkasen aaltoluku ja aineaallon aallonpituus voivat siis olla vain Mahdollisialiikemääriä ovat siis

10. Laatikkopotentiaalissa hiukkasella voi olla seuraavatenergiat: Energiatasot laatikkopoten-tiaalissa Näitä energiatasoja vastaavat aaltofunktiot ovat Kuvassa vasemmalla ovat viiden ensimmäisen tilan aaltofunktiot (ne piirretty selvyyden vuoksi päällekkäin; katkoviivat tarkoittavat aaltofunktion arvoa 0). Oikealla ovat näitä tiloja vastaavat energiatasot. Huomaa, että

11. Aaltofuntioiden normittaminen Aaltofunktioissa esiintyy kompleksinen vakio C. Se pitää valita niin, että todennäköisyystulkinnan asettama ehto Normitusehto toteutuu. Tätä kutsutaan aaltofunktion normittamiseksi. josta seuraa C = (2/L)1/2. Voimme valita C:n reaaliseksi, jolloin normitetuiksi aaltofunktioiksi laatikon alueella 0 < x < L saadaan Laatikkopotentiaalissa olevan hiukkasen aaltofunktio. Laatikon ulkopuolella (x) = 0. Hiukkasen paikan todennäköisyysjakautuma saadaan laskemalla ||2. Kuvassa on paikan tn-jakautuma laatikkopotentiaalin kolmen alimman energiatilan tapauksessa. Huomaa, että alinta tilaa lukuunottamatta laatikossa on kohtia, joissa hiukkanen ei ole koskaan.