1 / 36

Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT

Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT. TRADITION Gottlob Frege. *1848 Wismar. Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. †1925 Bad Kleinen. Mathematiklehre - Dilemma. Wissensexplosion – Stofffülle

phyllis-chen
Download Presentation

Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT Bremen, Oktober 2005

  2. TRADITION Gottlob Frege *1848 Wismar Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. †1925 Bad Kleinen Bremen, Oktober 2005

  3. Mathematiklehre - Dilemma • Wissensexplosion – Stofffülle • Innovation – neue Hilfsmittel • großeStreuung der Eingangskenntnisse • begrenzter Stundenumfang • begrenztes Lehrpersonal • Geldmangel - Imageproblem Bremen, Oktober 2005

  4. Mathematiklehre - Anspruch • modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden) • wissenschaftlich (Theorie, Hochschule) • anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft) • motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung) • international (Globalisierung, Austausch, Kooperation) Bremen, Oktober 2005

  5. Mathematiklehre - Struktur Eingangs- prüfung Zusatzangebote Praxisprobleme Literatur- Quellen Internetkurse Fachliteratur Grundlagen allg. Prinzipien und Denkweisen Projekte interdisziplinär kooperativ angewandt Kerncurriculum Kritikfähigkeit kleine Auswahl aktueller Gebiete Modellieren Werkzeuge Hilfsmittel Computer Software Selbststudium Problemlösen Bremen, Oktober 2005

  6. Praxis-Problem Modell Modellkorrekturen Mathematisches Modell Algebra Analysis Numerische Methoden Anwendung in der Praxis INFORMATIK Expertensystem • Fehler-Analyse • Fallstudien • Experimente • Wechsel der Verfahren • Interpretation Grafik Computer Software Verifikation mathematische Lösung Lösung Verifikation Bremen, Oktober 2005

  7. Interdisziplinäre Vernetzung • Mathematik – Lösungsmethoden • Physik – naturwissenschaftliche Modelle • Informatik – Software, Grafik • Technik – Apparate, Geräte • Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion • Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung Bremen, Oktober 2005

  8. Projekte - Funktionen • Praxisrelevanz • Interdisziplinarität • Modellierung • Kooperation, Kreativität, Konkurrenz • Computer, Software, Programmierung • Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung) • Selbststudium (Quellen) Bremen, Oktober 2005

  9. Projekte - Beispiele • Bildrekonstruktion (CT) • Schwingungen (Pendel) • Ökologische Modelle (Räuber-Beute) • Strategische Spiele • Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen) • Fraktale Geometrie Bremen, Oktober 2005

  10. Computermathematik • Computeralgebra, Numerik, Grafik • Softwarekenntnisse (MATLAB) • Standardfunktionen (Expertensystem) • Programmierung (Funktionen, Oberflächen) • grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion) • Experimente, Simulationen (Strategie) • anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis Bremen, Oktober 2005

  11. Computertomographie - Modell • Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel) • Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum) • Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion • Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D Bremen, Oktober 2005

  12. Computertomographie - Modell Schwächung Objektschnitt mit Strahl Physikalisches Gesetz L: Gerade : Objekt Q: Quadrat f: Dichte I: Intensität I0 L Q  f(x,y) Mathematisches Modell I RADON - Integralgleichung Bremen, Oktober 2005

  13. Calculating projections sperpendicular distance from origin to lineL(, s)  angle of the normal of the line L(, s) Bremen, Oktober 2005

  14. Calculating projections Rotate the x-y axis by angle  Bremen, Oktober 2005

  15. Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem • Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation) • Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung) • Mathematik (Radonsche Integralgleichung) • Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen • Informatik (Implementierung der Algorithmen) • Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme • Ingenieurwissenschaften (Computertomograph) • Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung) • Wirtschaft (Aufwand und Nutzen) Bremen, Oktober 2005

  16. Diskretisierung der Integralgleichung Strahlennetz m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li) Pixelraster Q Quadrat Q mit n = k2 Pixeln Qj Wert - Farbe f1 Q1 Qj Wert - Farbe fj Funktion f konstant über Qj: f | Qj=: fj Li aij Schnittlänge von Li in Qj,oft aij=0 Bremen, Oktober 2005

  17. Numerisches Modell:Lineares Gleichungssystem Diskretisierung, Approximation Bremen, Oktober 2005

  18. Lineares Gleichungssystem (LGS) Pseudoinverse Regularisierung Defekt- Min. Fehler!!! Kleinste-Quadrate-Lösungen LGS mod. LGS Lösungen viele Lösungen eine Lösung keine Lösung Verfahren Computer- Lösung Größe allgemeine Lösung (Struktur, Parameter) spezielle Lösung (Zusatzbedingungen) Geometrische Bedeutung Verfälschung von Werten und Struktur Bremen, Oktober 2005

  19. Lösungskonzept • A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n) • m Messdaten, n Pixel • m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel) • m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel) • A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar • spezielle Speichertechniken • verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse) • Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise) • Regularisierung: (AT A +  E) f = ATg (Parameter  > 0 klein) Bremen, Oktober 2005

  20. Lösungsverfahren: spezielle Iteration Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937) H1 Spezialfall m=n=2 H2 Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,... Bremen, Oktober 2005

  21. Lösungsverfahren:Modifikationen Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970 Unter-Relaxation Kleinste-Quadrate-Lösungen Konvergenz- Beschleunigung H Parameter-Optimierung Regularisierung Über-Relaxation A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten Bremen, Oktober 2005

  22. Methodologie Rekonstruktionsproblem Fehler Physikalische Gesetze Messdaten math. Modell Radonsche Integralgleichung Approximation Diskretisierung Untersuchungen Experimente Lineares Gleichungssystem Lösungskonzept Kleinste Quadrate Regularisierung Lösungsverfahren Gauss, Konj. Grad., ART Interpretation Verifikation Implementierung Computer Software Berechnung einer Lösung Programmierung Bremen, Oktober 2005

  23. Teilprogramme Phantom- Modell Messgeometrie Messdaten Funktion Skelett Matrixgenerator Datengenerator Matrix Vektor 2D Lineares Gleichungssystem Grafik 3D Lösungsverfahren Interpolation Funktion Vektor Skelett Bremen, Oktober 2005

  24. Bedienoberfläche - Wand Bremen, Oktober 2005

  25. Bedienoberfläche - Dose Cylindric rise Bremen, Oktober 2005

  26. Bedienoberfläche - Maus Bremen, Oktober 2005

  27. Objekt Kopfschnitt Bremen, Oktober 2005

  28. Objekt Autobild Bremen, Oktober 2005

  29. Untersuchungen - Experimente • Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz • Approximation von f - Raum für Lösungen • Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation) • Bestimmung von A (Effizienz, Fehler) • Berechnung von g (Pseudo-Messdaten) • Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.) • Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte • Gütemaß Original – Rekonstruktion • Bedienoberfläche • Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret) Bremen, Oktober 2005

  30. Strahlennetze Parallel beams Fan beams Bremen, Oktober 2005

  31. Strahlen als Streifen Bremen, Oktober 2005

  32. Struktur von Strahlennetzen p = 32 q= 32 m = 1024 Bremen, Oktober 2005

  33. Besetztheit von B = A‘A Bremen, Oktober 2005

  34. Dieter Schott Mit diesem Buch meistern Sie die Herausforderungen! Auf Ihre Zukunft! ISBN 3-446-22043-7 ISSN Bremen, Oktober 2005

  35. Doppelspitze Rekonstruktion Bremen, Oktober 2005

  36. Wellen mit Spitze Rekonstruktion Bremen, Oktober 2005

More Related