Datenanalyse und deskriptive Statistik

1. Datenanalyse und deskriptive Statistik • Einleitung • Explorative Datenanalyse • Kennwerte statistischer Verteilungen • Statistik in der Messtechnik Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

2. Einleitung Statistik: Zweig der angewandten Mathematik zerfällt in • Deskriptive Statistik: Beschreibt Datenmengen • Induktive Statistik: Schließt von kleinem Ausschnitt auf das Ganze (siehe Kapitel 8 ) Ziel: Verständnis der statistischen Konzepte Vorgangsweise: Empirische Betrachtung anhand geodätischer Messungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

3. Aufgaben der deskriptiven Statistik Wir beschreiben die ‚Wirklichkeit‘ oft mit Zahlen, z.B. • Jahresbilanz eines Unternehmens • Verhältnis Waldflächen – Gesamtfläche eines Landes • … Mit deskriptiver Statistik stellen wir die Zahlen zusammen  Aussagen über Struktur und Gesetzmäßigkeiten Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

4. Beispiel 1 Distanz mehrfach mit einem Maßband gemessen Was können wir herauslesen? Häufigkeit der Einzelwerte Minimum/Maximum Lücke? Bessere Ergebnisse bei mehr Messungen? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

5. Beispiel 1 Fortsetzung 80 Messungen Minimum ist kleinergeworden Lücke schmaler Problem bleibt: welchen Wert verwenden wir zum Rechen? Aus der Praxis möglicherweise bekannt: Mittelwert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

6. Beispiel 2 Strecke mit 3Geräten ge-messen CharakterisierenderWert? Mittelwert574,751 m Ausreißer? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

7. kategorisch metrisch repräsentieren physikalische Größen Skalenniveaus • Nominalskala: Identität • Ordinalskala: Ordnungsrelation • Intervallskala: Differenzen • Rationalskala: Quotienten • Absolutskala: natürliche Maßeinheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

8. Nominalskala Werte dienen nur zur Benennung z.B. Beruf, Geschlecht, Blutgruppe Erfüllt sind folgende Bedingungen • Reflexivität: a= a • Symmetrie: a = b b = a • Transitivität: a = bb = c a = c Sortieren nicht erlaubt! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

9. Ordinalskala Reihung der Werte z.B. Resultat eines Wettbewerbs, militärischer Rang, akademischer Grad Keine Aussage über die Abstände der Klassen Erfüllt sind folgende Bedingungen • Konnexivität: es gilt immer a > b oder a < b oder a = b • Transitivität: a > bb > c a > c Spezialfall: Rangskala – jeder Wert genau einmal vertreten Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

10. Intervallskala Differenzen von Werten sind vergleichbar Aber: Kein absoluter Nullpunkt, Verhältnisse sind also nicht sinnvoll z.B. Temperatur in Grad Celsius, geogr. Länge Zusätzliche Operationen: Addition, Subtraktion  Mittelbildung möglich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

11. Verhältnis-/Rationalskala Besitzt absoluten Nullpunkt z.B. Temperatur in Kelvin, Distanz zwischen zwei Punkten Multiplikation und Division möglich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

12. Absolutskala Entspricht einer Rationalskala, aber: Es gibt eine natürliche Maßeinheit Maßeinheit meist: Stück (im weitesten Sinne) z.B. Anzahl der Teilnehmer Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

13. Skalenniveaus in Vermessung und Geoinformation Vermessung: i.A. metrische Daten (also Intervall- oder Rationalskala) GIS: Metrische Daten möglich (z.B. Straßen-breite, Lichtintensität einzelner Bildpunkte)Oft aber auch kategorische Daten (Bodenbedeckung, Eigentümer, …) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

14. Methoden der explorativen Datenanalyse Ausgangspunkt: Ungefähre Vorstellung, wie unsere Datenmenge aussehen sollte (stochastisches Modell) Daten, die nicht ins Modell passen, sollen eliminiert werden: Ausreißer Im Beispiel 2: Messwert 574,173m (Messfehler, Schreibfehler???) Nachträgliches Ändern von Daten problematisch  Eliminieren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

15. Erster Schritt Überblick verschaffen Urliste muss also anschaulich dargestellt werden 2 Möglichkeiten • Tabellarische Darstellung • Grafische Darstellung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

16. Tabellarische Darstellung Einteilung der Daten in Klassen Zu jeder Klasse werden Häufigkeiten angegeben (wie viele Werte sind in der Klasse) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

17. Klassenbildung Aufteilung des Wertebereiches in Teil-bereiche (Klassen) – Vollständige Überdeckung des Wertebereiches Wenige Klassen: Übersichtlich aber großer Informationsverlust Faustformeln: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

18. Klassengrenzen Klassenbreite: Bei offenen Klassen liegen die xmin und xmax in den offenen Klassen (erste und letzte Klasse) Arithmetischer Mittelwert der Klassengrenzen: Klassenmitte Oft nur mehr Klassenmitte und Häufigkeit gegeben Werte auf Klassengrenze fallen halb in jede Klasse Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

19. Häufigkeitstabellen (1) Anzahl der Elemente pro Klasse Unterscheidung • absolut – relativ • Häufigkeit – Häufigkeitssumme Absolute Häufigkeit ki – Probe Absolute Häufigkeitssumme: Anzahl der Werte, die einen bestimmten Wert nicht übersteigen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

20. Häufigkeitstabellen (2) Relative Häufigkeiten hi – Probe Relative Häufigkeitssumme: Absolute Häufigkeitssumme dividiert durch Gesamt-zahl der Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

21. Häufigkeitstabellen (3) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

22. Darstellung als Funktion (empirische) Verteilungsfunktion Ordnet jedem Beobachtungswert die absolute (relative) Häufigkeit(ssumme) zu z.B. Die Sprungstellen lassen sich vermeiden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

23. Graphische Darstellungen • Histogramm • Kurvendarstellung • Stamm-und-Blatt-Plan Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

24. Histogramm Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

25. Kurvendarstellung Direkte Darstellung der Werte möglich, aber: Sortierung notwendig! sonst: anderes Ergebnis Entspricht: Häufigkeitssummenkurve Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

26. Relative Häufigkeitssummenkurve Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

27. Stamm-und-Blatt-Plan Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

28. Kennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen (1) Häufigkeitsverteilung: Zusammenhang zwischen Beobachtungswerten und Häufigkeiten • Einzelnes Merkmal: univariate Verteilung • Zwei Merkmale: bivariate Verteilung • Sonst: multivariate Verteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

29. Kennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen (2) Kenngrößen charakterisieren • Lage • Streuung • Form Jeder Messwert hat Rangzahl (Ordnungs-nummer in der Folge der Beobachtungen) Üblicherweise berechnet aus großen Beobachtungsreihen (n=10 absolutes Minimum, oft n>100) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

30. auch: Perzentil Lagekennwerte (1) • Minimaler/maximaler Wert • Arithmetisches Mittel • Geometrisches Mittel • Quantile: Zerlegt die Datenmenge in zwei Bereiche – a-Quantil trennt a% der Daten ab (z.B. 0,1-Quantil oder 10%-Quantil) • Median: 0,5-Quantil – Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

31. Lagekennwerte (2) • Quartile: 0,25- und 0,75-Quantil • Modalwert: Am häufigsten vorkommender Wert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

32. Streuungskennwerte • Spannweiten • SpannweiteD=xmax-xmin • QuartilsspannweiteD0,25=x3/4-x1/4 • Empirische Varianz: • Empirische Standardabweichung: • Empirischer Variationskoeffizient: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

33. Zentrieren und Standardisieren • Zentrierter Beobachtungswert • Standardisierter Beobachtungswert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

34. Form-Kennwerte • Schiefe: 3. Potenz der standardisierten Beobachtungswerte3. standardisierte zentrale Moment • Wölbung (Kurtosis): 4. standardisierte zentrale Moment • Exzess: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

35. Eigenschaften • Resistenz: Verhalten bei Ausreißern – Median hohe Resistenz, Mittelwert niedrige • Optimalitätseigenschaften: Lagekenn-werte sollen die Datenmenge ‚optimal‘ repräsentierenerfüllte Kriterien: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

36. Statistische Begriffe in der Messtechnik (1) • Wahrer Wert: Tatsächlicher Wert des Merkmals (ist leider unbekannt, kann aber explizit vorge-geben sein – Winkelsumme) • Quasi-wahrer Wert: Hochgenaue Messung, deren Abweichung vom wahren Wert so gering ist, dass sie im vorliegenden Fall vernachlässigt werden kann (auch: richtiger Wert, Sollwert) • Erwartungswert: Mittelwert aller theoretisch möglichen Messwerte (Schätzwert: empirischer Mittelwert) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

37. Statistische Begriffe in der Messtechnik (2) • Abweichung: Differenz Messgröße (Ist-Wert) – Bezugsgröße (Soll-Wert) • Wahre Abweichung: Bezugsgröße ist der wahre WertSystematischer + zufälliger Anteil • Systematische Abweichungen: Mathe-matisches/physikalisches Modell nicht richtig • Zufällige Abweichungen: Nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Einflüsse (stochastische Einflüsse) • Grober Fehler: Irrtümer (durch Kontrollen eliminiert) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

38. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

39. Deskriptive Statistik im Vermessungswesen Unterschied systematische – zufällige Abweichungen schafft Probleme Elimination zufälliger Abweichungen durch Mittelbildung Elimination systematischer Einflüsse durch • Messanordnung (z.B. 2 Fernrohrlagen, Nivellement aus der Mitte) • rechnerische Korrektur (z.B. atmosphärische Korrekturen, Prismenkonstante) Annahme im weiteren Verlauf der Vorlesung: Keine systematischen Einflüsse vorhanden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

40. Erwartungswert bekannt, ich verbrauche also keine Messung um einen Erwartungswert zu bestimmen. Bekannter Erwartungswert Quasi-wahrer Wert m bekannt (z.B. Messung des Nullwinkels) Zufällige Abweichungen: ei = xi – m in Vektor e zusammengefasst Maß für die Streuung: (theoretische) Standardabweichungauch: mittlerer Fehler(Statistik: empirisch) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

41. negative Abweichung Diesmal n-1, da wir den Schätzwert für den Erwartungswert bestimmen müssen! Empirische Schätzung des Erwartungswertes Schätzwert für den Erwartungswert: arithmetisches Mittel Verbesserung Empirische Standardabweichung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

42. Weitere Kennwerte • Arithmetisches Mittel der Verbesserungs-Absolutbeträge (durchschnittlicher Fehler) • Median der Verbesserungs-Absolutbeträge (wahrscheinlicher Fehler) • Bei großem n gilt: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

43. Weitere übliche Fehlermaße • Relativer Fehler: Standardabweichung in Relation zur Messgrößez.B. Strecke von 1km und s=5mm  • Helmert‘scher Punktlagefehler: Standardabweichung der Koordinaten bekannt: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

44. Genauigkeit – Präzision - Richtigkeit • Genauigkeit: Wie genau stimmen die Messdaten mit dem Bezugswert überein?Zusammengesetzt aus Präzision (innere G.) und Richtigkeit (äußere G.) • Präzision: Wie gut ist die Wiederholbar-keit der Messungen? • Richtigkeit: Wie gut stimmen Erwartungs-wert und wahrer Wert überein? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

45. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

46. Zusammenfassung • Datenmengen werden mit Kenngrößen charakterisiert • Darstellung erfolgt meist graphisch (Histogramm oder Häufigkeitssummenkurve) • Oft wird eine Klasseneinteilung vorgenommen • Physikalische Größen haben einen unbekannten ‚wahren Wert‘ • Die Abweichungen werden Fehler genannt (zufällig, systematisch, grob) • Zufällige Fehler auch Verbesserungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil