1 / 56

第二章　谓词逻辑　 Predicates Logic

第二章　谓词逻辑　 Predicates Logic. 主要内容： 1 、谓词的基本知识（概念、表示、公式与翻译） 2 、量词（存在、全称） 3 、变元的约束、前束范式 4 、谓词演算的等价式与蕴含式 5 、推理理论. 例如 : 苏格拉底三段论（古罗马哲学家） 1 、 P: 所有的人总是要死的， Q: 苏格拉底是人。所以 R: 苏格拉底是要死的。（苏格拉底三段论） P ∧Q  R. 在命题演算中 , 原子命题是演算的基本单位，不再对原子命题进行分解。故无法研究命题内部的成分，结构及其逻辑特征。它不能反映命题之间的共同特征、之间的关系及推理。

perdy
Download Presentation

第二章　谓词逻辑　 Predicates Logic

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第二章　谓词逻辑　Predicates Logic 主要内容： 1、谓词的基本知识（概念、表示、公式与翻译） 2、量词（存在、全称） 3、变元的约束、前束范式 4、谓词演算的等价式与蕴含式 5、推理理论

  2. 例如:苏格拉底三段论（古罗马哲学家） 1、 P:所有的人总是要死的，Q:苏格拉底是人。所以R:苏格拉底是要死的。（苏格拉底三段论） P ∧Q  R 在命题演算中, 原子命题是演算的基本单位，不再对原子命题进行分解。故无法研究命题内部的成分，结构及其逻辑特征。它不能反映命题之间的共同特征、之间的关系及推理。 实际上，原子命题还可以做进一步的分析，某些原子命题常常具有一些共同的特性。例如：张三是大学生，李四是大学生。 谓词逻辑是对原子命题的成分、结构和原子命题间的共同关系作进一步分析。

  3. §2－1　谓词的基本概念和表示 一、谓词的概念 命题逻辑中将命题作为最小的研究单位。谓词逻辑中将命题（句子）继续细分，一般地，命题是由主语和谓语两部分组成的。 1、个体（客体） 主语是名词，称为个体词，可以是具体的或抽象的。 在句子中如含有宾语，它也是名词，它也是个体词。 个体域：个体的取值范围。 例1：P:范冰冰是演员。 Q: 赵薇是演员。 在命题逻辑中就无法表示两句的联系。 若用A(x)：x是大学生。a:范冰冰。b:赵薇。 则A(a):范冰冰是演员。A(b):赵薇是演员。 例2：姚明比田亮高。 用H(x,y)表示x比y高。a:姚明。b:田亮。 则H(a,b):姚明比田亮高。而H(b,a):田亮比姚明高。

  4. 2、谓词　用于刻画客体的性质或多个客体之间关系的词称为谓词　2、谓词　用于刻画客体的性质或多个客体之间关系的词称为谓词　 • 二、谓词的表示 • 谓词一般用大写字母表示，而小写字母用来表示客体的名称，如A(x)、P(x, y)，所以要用谓词表达命题，一般有2部分组成，即谓词和客体2部分。 • 一元谓词：一元谓词是用来刻画个体的性质的，如C(x)。 • 多元谓词：多元谓词是用来刻画多个客体之间的关系的，如：T（x, y），(x>y)。L（a, b, c）可表示为a位于b和c之间。

  5. 表示字母表 (1)个体常量：a,b,c,……a1,a2,a3,…. (2)个体变量：x,y,z,……,x1,x2,x3…… (3)函数符号：f,g,h……,f1,f2,f3,…… (4)谓词符号：P,Q,R, (5)量词符号：， (6) 逻辑符号： ，∧， ， ， 

  6. §2－2　命题函数与量词 一、命题函数 一个谓词，如A(x):x是动物。并不是一个命题。只有当（x）中的x被确定具体的内容后才成为一个命题。因此得到命题函数的概念。 定义：由一个谓词和若干个客体变元组成的表达式称为简单命题函数。如P(x, y, z)。n元函数就是有n个客体变元的命题函数，如 P（x1,x2,…xn） 由一个或多个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称为复合命题函数。如：P(x, y)∧Q(x, y)→R(x). 2、命题函数与谓词的关系 　　由定义知：n元谓词就是n个客体变元的命题函数，特别当n=0时，称为0元谓词，它本身就是一个命题。如S(张)。

  7. 3、命题函数与命题的关系 • 　　命题函数并不是一个命题，只有当其中所有的个体变元都分别代之以确定的个体域中的个体时才表示命题，所以命题是n元谓词的特殊情况。 • 　　例：P(x)：2x-3=0，它是一个命题函数，但并不表示命题，但若x取一个具体的值（实数范围）时，它就表示一个命题。若x取其它如英文字母或人类，则该式无意义，它不能成为命题。 4、命题函数与函数区别： 定义域、值域，映射，形式相似。 5、命题与谓词的关系：命题是n元谓词的的一个特殊情况，但一个谓词的具体情况（具体客体），但并一定是命题。 • 　　例：p(x)：x2+1=0，是一个谓词，若x取为具体的复数，才是命题；若x取为具体的实数，则是一个矛盾式。

  8. 二 量词 1、全称量词“ ”（ arbitrary）：用(x)表达“所有的x”、“每一个x”、“对任一个x”等。x表示个体，是全称量词的作用变元。 例：(x)P(x)的真值为T当且仅当对于x的论域中的任意个体a都有P(a)为T。 例1：将下列命题符号化。 （1）所有人都要呼吸。 （2）每个人都是要死的。 解：设M(x):x是人。H（x）:x要呼吸。D(x):x是要死的。 则命题（1）可符号化为： (x)（ M(x) →H（x）） 命题（2）可符号化为： (x)（ M(x) →D（x））

  9. 2、存在量词“”（ existentialquantifier）：用（ x）表示“存在x”，“对某些x”，“至少有一个x”等 • 例 ：(x)P(x)的真值为T当且仅当对于x的论域中的至少有一个个体a，使得P(a)为T。 • 例2：将下列命题符号化。 • （1）有些人是聪明和美丽的。 • （2）有人早上吃热干面。 • 解：设 M（x）:x是人。C(x):x是聪明的。B（x）:x是美丽的。 • D(x):x早上吃热干面。 • 则命题（1）可符号化为 ：x（ M（x） ∧ C(x) ∧B（x） ） • 命题（2）可符号化为： x（ M（x） ∧ D(x) )

  10. 说明：命题符号化前，必须明确个体域的范围，上述两例均为全体个体域。说明：命题符号化前，必须明确个体域的范围，上述两例均为全体个体域。 • 如将个问题域改为D={人类}，则特性谓词M(x)就不需要了。 • 例1可表示为（1） (x)H(x) • （2） (x)D(x) • 例2可表示为（1）x（C(x) ∧B（x） ） • （2） x Q(x)

  11. 3 含量词的谓词的真值规定： • 说明：不含量词的谓词公式G（x） ，它不是命题，而是命题函数，其真值依赖于x从个体域中取的个体名词的不同而不同。 • 　　例：D表示某班全体学生，G（x）表示x是男生。 • 则G（李刚）是真，而G（王芳）是假。 • 而xG（x）与xG（x）是命题了，x仅是一个“指导变量” • xG（x）与yG（y）意义完全相同。 • xG（x）：全班每个人均是男生。 • xG（x）：全班存在一个人是男生。 含量词的谓词公式的真值不再依赖于x的选取了

  12. （1）( x)G（x）的真值规定 ( x)G（x）的命题是“对任意xD，均有G（x）” ( x)G（x）的真值为1，当且仅当，对一切xD，G（x）真 值均为1； （2） (x)G（x）的真值规定 (x)G（x）的命题是“存在一个x0D，使得G（x0）成立” ．(x)G（x）的真值为1，当且仅当存在x0D，G（x0）的真值为1。(x)G（x）的真值为0，当且仅当，对一切xD， G（x）的真值为0。 　　例如：D={a,b,c},由以上规定可知： ( x)G（x）G（a）G（b）G（c） (x)G（x）G（a）G（b）G（c） 注：对于一个谓词，如其每个变量均在量词的管辖下，则该不是命题函数，而是命题了，它有确定的真值了。

  13. 例3　将下列语句表示为谓词逻辑的命题。 １、所有的正数均可开方。 解：（i）若个体域为全体正实数R+，S（X）：X可以开方，则命题符号化为：xS（x） （ii）若个体域为全体实数集R，G（x，y）：x>y，则命题符号化为：(x)((G(x，0）S(x)) (iii)若个体域为全体数集, R(x):x是实数，则符号化为：( x)(R(x)∧G(x，0）S(x)) ２、没有最大的自然数即理解为“对所有x，若x是自然数，则存在y，y也是自然数，且y>x” 解：N(x):x是自然数，G(x,y):x>y,符号化为：(x)(N(x）(y)(N(y) ∧G(y,x)) 也可以理解为“下句话是不对的‘存在一个x，x是自然数且对一切自然数y，x均大于y’”， 符号化为：(x)(N(x) ∧(y)(N(y）G(x,y))

  14. 2-3　谓词公式与翻译 一、谓词公式的定义： 1、谓词公式中出现的字母表： 定义1：字母表如下： (1)个体常量:a,b,c,...,a1,a2,a3,... (2)个体变量:x,y,z,...,x1,x2,x3,... (3)函数符号:f,g,h,...,f1,f2,f3,... (4)谓词符号:P,Q,R,.... (5)量词符号:, (6)逻辑符号:,,,,, (7)括号和逗号:(,),

  15. 谓词公式的定义： 定义：合式公式的递归定义如下： （1）原子公式是合式公式； （2）如A，B是公式，则A,AB,AB,AB,AB,AB也是公式； （3）如A是公式，x是A中出现的任意有关变元，则xA,xA也是合式公式。 （4）只有有限次使用（1）（2）（3）生成的符号串才是合式公式（也称谓词公式）

  16. 例1　并非每个实数都是有理数 ～( x)(R(x)→Q(x))) 例2　没有不犯错误的人 ～(( x)(M(x)∧ ～ F(x))) 　　 ( x)(M(x)∧ ～ F(x)) 例3　尽管有人聪明，但未必一切人都聪明 ( x)(M(x)∧ P(x)) ∧ ～( ( x)(M(x) → P(x)))) 例4　这只大红书柜摆满了那些古书 A(a) ∧ B(a) ∧ C(a) ∧ D(b) ∧ E(b) ∧ F(a,b)

  17. 例5　极限定义：任给小正数ε，则存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-b|< ε ，此时称limf(x)=b (ε)(δ)(x)(((P(ε,0)→P(δ,0))∧Q(|x-a|,δ)∧P(|x-a|,0)) →Q(|f(x)-b|,ε))

  18. §2-4　变元的约束 一、约束变量和自由变量 定义5：在合式公式(x)A和(x)A中，x是指导变元，A为相应量词的作用域或辖域。在辖域中x的出现称为x在公式A中的约束出现；约束出现的变元称为约束变元；A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现，自由出现的变元成为自由变元。 　　例1 指出各公式的指导变元，辖域、约束变元和自由变元。 (1)(x)(p(x)(y)Q(x,y)) 　　解：由x后的（），x是指导变元，x的辖域是后面整个式子，y是指导变元，辖域仅Q（x，y）此部分。x两次出现均是约束出现，y的一次出现是约束出现，故x，y是约束变元，而不是自由变元。

  19. (2)xF(x)G(x,y) 　　解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第一次出现是约束出现，第二次出现是自由出现，y的出现是自由出现。所以第一个x是约束变元，第二个x是自由变元，本质上这两个x的含义是不同的；而y仅是自由变元。 (3)x(x=yx2+x<5x<z)x=5y2 x2+x是函数不是谓词，x=y，x2+x<5，x<z，x=5y2这是四个原子公式。用逻辑词，，来联结起来的。 x是指导变元、x的辖域是（）内的这部分。因此，x第一、二、三、四次出现是约束出现，x第五次出现是自由出现。而y，z的出现均是自由出现

  20. 三、换名规则 从以上例子中可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则,使谓词公式的含义不改变。 换名规则：对约束变元进行换名。 　　　将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指导变元,可以换成一个其他变元,改变元不能与本辖域内的其他变元同名,公式中的其他部分不改变。 代入规则：对自由变元进行代入。 　　　整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体名词。因此可以用整个公式中所有变元的符号来代替,且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。

  21. 例：(1)xF(x,y)∧xG(x,y) x是约束变元,y是自由变元。而x的两次出现尽管均是约束的,但分别在不同的辖域。含义是互相无关的。可以将一处换名,但不能与y同名。 改为xF(x,y)∧uG(u,y) (2)x(F(x,y)P(x))∧y(Q(x,y)R(x)) x前两次出现是约束的,后两次出现是自由的。y第一次出现是自由的,第二次是约束的,准备将自由变元x改为u,自由变元y改为v,成为 x(F(x,v)P(x))∧y(Q(u,y)R(u))

  22. 说明： (1)如果D是有限集,谓词公式中的量词可以用逻辑联结词来解释。 　　例D={a,b,c} xP(x)  P(a) ∧P(b) ∧P(c) x P(x) P(a) P(b) P(c) (2)量词不能随便换顺序。对于和这两个量词交换位置,其意义不同了,相应真值也可能改变。 　　例：D：自然数全体,G(x,y)：x小于y。 xyG(x,y)表示任意一个自然数x,总存在自然数y,使得x小于y,该命题是真的。 yxG(x,y)表示存在一个自然数y,使得对一切自然数x,使x小于y,即y是最大的自然数。该命题是假的。

  23. §2-5 　谓词演算的等价式与蕴含式 一、谓词逻辑中的解释(赋值) 在命题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是怎样的呢？ 1.谓词公式的赋值(解释) 定义6：谓词公式的赋值是对以下一些符号进行指定：谓词公式A的个体域为D(这也必须指定) 　　每一个个体常项指定D中的一个元素 　　每一个n元函数Dn到D的一个映射 　　每一个n元谓词Dn 到{0,1}的一个映射 以上一组指定称为谓词公式A的一个解释或赋值

  24. 例1：已知一个解释I如下： 1)Dx={2,3} 2)指定a=2∈D 3)函数f：DD指定f(2)=3,f(3)=2 4)谓词P：D{0,1}指定P(2)=0,P(3)=1。 Q：D2{0,1},Q(i,j)=1,i,j=2,3 在该解释I下x(P(x) Q(x,y)) ( P(2)  Q(2,2))  ( P(3)  Q(3,2)) (01)  (11) 0 公式x(P(f(x)) Q(x,f(a)) (P(f(2)) Q(2,f(2))  (P(f(3)) Q(3,f(2)) (P(3) Q(2,3) ) (P(2) Q(3,3) (11) 1

  25. 例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值 (1)xF(g(x,a),x)即x(x*0=x)该命题假的 (2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。

  26. 说明: 1、一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下,可以得到确定的诊治,不同的解释下可能得到不同的真值。 2、公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。 3、有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表可列。 2.永真式和永假式 　定义7：设A为一个谓词公式,如果A在任何解释下均为真,称A为逻辑有效式(或称永真式)；如果A在任何解释下均为假,称A为矛盾式(或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真,则称A为可满足式； 例如： P(x)P(x)是永真式 P(x)P(x)是永假式

  27. 谓词演算的等值式和重言蕴含式 现将谓词逻辑中的基本等值式和基本重言蕴含式分几类说明 (一)命题逻辑中结论的推广 在命题逻辑中成立的基本等值式和基本重言蕴含式及其代换实例都是谓词逻辑的等值式和重言蕴含式。 例：幂等律 xA(x)xA(x)xA(x) 蕴含律x(A(x)B)x(A(x)B)

  28. (二)量词与否定的交换 (1)xA(x) xA(x) (2)xA(x) xA(x) 在D={a1，a2，…,an}时 (1)式左边xA(x) (A(a1) A(a2) …  A(an))  A(a1) A(a2) … A(an) xA(x) (2)式右边xA(x) (A(a1)  A(a2) … A(an)) A(a1) A(a2) …  A(an) xA(x) 举例：A(x)：x是河南人。 xA(x)：“并非每个人均是河南人。” 此命题等价于“存在一个人，他不是河南人”即xA(x)

  29. (三)量词辖域的扩充和收缩 (1)x(A(x) B) xA(x) B (2) x(A(x)  B) xA(x)  B (3) x(A(x) B)x A(x) B (4) x(A(x) B)x A(x) B (5)x(A(x)  B) xA(x)  B (6)x(B A(x) )  B  xA(x) (7)x(A(x)  B) xA(x)  B (8)x(B A(x) )  B  xA(x) 说明：，在，逻辑词下，辖域可以扩充到一切不含该指导变元的任意原子公式上，推广的有xA(x) B(y)x (A(x) B(y))两个条件1、B中不含指导变元x，2、只能与， 在(5)(7)中含有的公式中辖域的扩充与收缩时，和交换了，这是由于两次的辖域不同在用蕴含律时所处的位置不同。 x(A(x)  B)x(A(x) B)xA(x) B 而xA(x)  BxA(x) B

  30. 例：A(x)：x献出一份爱 B：世界变得更美好 xA(x)  B：只要人人献出一份爱，世界变得更美好 x(A(x)  B)：对于每一个人，只要他献出一份爱，世界就变得更美好 两句话意义不相同 证明(7)x(A(x)  B) x(A(x) B) x(A(x)) BxA(x) B xA(x)  B

  31. (四)量词和联结词的关系的等值式 (9)xA(x) xB(x) x(A(x)  B(x)) (10) xA(x) xB(x) x(A(x)  B(x)) 说明，对，对，量词可以合并,对于D={a,b,c} xA(x) xB(x) (A(a) A(b) A(c)) (B(a) B(b) B(c)) (A(a)  B(a)) (A(b) B(b))(A(c)B(c)) x(A(x)  B(x)) 记忆方法：由“就是合取，就是析取”，可以看出(9)(10)相当于命题逻辑中的结合律。 注意：对，对与上面类似的等值式就不成立了，而变成了下面(15)(16)的重言蕴含式，或变成了(11)(12)中的改名以后的等值式。 举例：A(x):x在唱歌 B(x):x在跳舞 (9)式意味着“所有人均在唱歌且所有人均在跳舞”与“所有人均既唱歌又跳舞”这两句话的意义是相同的。

  32. (11)xA(x) xB(x) xy(A(x)  B(y)) (12) xA(x) xB(x) xy(A(x)  B(y)) (13)x(A(x)  B(x))xA(x) x B(x) 说明：xA(x) xB(x) 与x (A(x)  B(x))是不等值的，即“对于每个人，他或在唱歌或在跳舞”与“所有人在唱歌或所有人在跳舞”这两句话意思是不同的。而必须用换名后才有相应的等值式。 证明(11)xA(x) xB(x) xA(x) yB(y)(换名规则) x(A(x) yB(y))(x辖域扩充) xy(A(x)  B(y)) (y辖域扩充) ( 五)量词和联结词的重言蕴含式 (14) xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) (15) x(A(x) B(x)) xA(x) x B(x) (16) x(A(x)  B(x))xA(x) x B(x) (17)xA(x) x B(x) x(A(x)  B(x)) (18) x(A(x) B(x))xA(x) xB(x)

  33. 说明: 1、记忆方法，根据“就是，就是”，可以说“先运算，后运算”，重言蕴含“先运算，后运算”。 2、对，对，量词的合并不是等值式而仅是重言蕴含式。“就是，就是”可知结合律是不存在的。 例如：xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) “每个人均在唱歌或每个人均在跳舞”必然能推出“每个人，他不是在唱歌就是在跳舞”，但反之却推不出来。 xA(x) xB(x) xA(x) x B(x)“存在一个人在唱歌又在跳舞”必能推出“存在一个人在唱歌，并且存在一个人在跳舞”，反之却不能成立，因唱歌、跳舞的可能不是同一个人

  34. 六多个量词的使用 (x) (y)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) (y)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) ( y)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) (y)A(x,y)

  35. (x) (y)A(x,y)  (y) (x)A(x,y) (x) (y)A(x,y)  (y) (x)A(x,y) ( x) ( y)A(x,y) (y) ( x)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) ( y)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) (y)A(x,y) (x) (y)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) ( y)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (y) (x)A(x,y) (x) (y)A(x,y)

  36. 2-6 　前束范式 一、定义 1、一个公式，如果量词均在公式的开头，它们的作用域延伸到整个公式，则该公式称为前束范式 ２、 二、性质 １、任意一个谓词公式均和一个前束范式等价。 ２、每一个wffＡ均可转化为与其等价的前束合取范式。 ３、每一个wffＡ均可转化为与其等价的前束析取范式。

  37. 2－7 谓词演算的推理理论 一、谓词演算中的推理规则 1、全称指定规则(Universal Specification)简记为US 2、全称推广规则(Universal Generalization)简记为UG。 3、 存在指定规则(Existential Specification)简记为ES 4、存在推广规则(Existential Generalization)简记为EG。  注意:1、两个存在量词的指定：用不同的字母。 ２、有存在和全称量词的指定：先对存在指定再对全称指定。

  38. 例　证明苏格拉底三段论 ( x)(M(x)→D(x))∧M(s) D(s) 1、 ( x)(H(x)→M(x)) P 2、 M(s)→D(s) US(1) 3、M(s) P 4、D(s) T2,3,I

  39. 例2　证明 ( x)(C(x) → W(x) ∧ R(x)) ∧( x)(C(x) ∧ Q(x) )( x)(Q(x) ∧ R(x)) 1、 ( x)(C(x) → W(x) ∧ R(x)) P 2 、( x)(C(x) ∧ Q(x) ) P 3 、C(a) ∧ Q(a) ES(2) 4、 C(a) → W(a) ∧ R(a) US(1) 5、C(a) T(3)I 6 、W(a) ∧ R(a) T4,5,I 7、Q(a) T3,I 8、R(a) T6 9、Q(a) ∧ R(a) T7,8,I 10、( x)(Q(x) ∧ R(x)) EG

  40. 例3　证明( x)(P(x)  Q(x)) ( x)P(x) ( x)Q(x) 证1（CP规则）： ( x)P(x) ( x)Q(x) ～( x)P(x) →( x)Q(x) 1 、～( x)P(x) P(附加前提) 2 、( x) ～P(x) T1,E 3 、～P(c) ES2 4、 ( x)(P(x)  Q(x)) P 5、 P(c)  Q(c) US4 6、Q(c) T3,5,I 7 、( x)Q(x) EG6 8、～( x)P(x) →( x)Q(x) CP

  41. 例3　证明( x)(P(x)  Q(x)) ( x)P(x) ( x)Q(x) 证2（反证） 1 ～(( x)P(x) ( x)Q(x)) P 2～( x)P(x) ∧ ～( x)Q(x) T1,E 3 ～( x)P(x) T2,I 4 ( x) ～P(x) T3,E 5～( x)Q(x) T2,I 6 ( x) ～Q(x) T5,E 7 ～P(c) ES4 8 ～Q(c) US6 9 ～P(c) ∧ ～Q(c) T7,8,I 10～(P(c)  Q(c)) T9,E 11 ( x)(P(x)  Q(x)) P 12 P(c)  Q(c) US

  42. 例　任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。例　任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。 ～(z) P(z) →～(x) (y)(S(x,y) ∧ M(y))解：设　 S(x,y): x违反y,x的论域为人 M(y): y是交通规则 P(z): z是罚款 R(x,z): x受到z 　前提：( x)(( y)(S(x,y) ∧M(y)) → (z)(P(z) ∧ R(x,z))) 　结论： ～(z) P(z) →( x)(y)(S(x,y) → ～ M(y))

  43. 证明 1 ( x)(( y)(S(x,y) ∧M(y)) → (z)(P(z) ∧ R(x,z))) P 2 ( y)(S(b,y) ∧M(y)) → (z)(P(z) ∧ R(b,z)) US1 3 ～(z)(P(z) P(附加前提) 4( z) ～P(z) T3,E 5 ～P(a) US4 6 ～P(a) ～R(b,a)) T5,I 7 ( z) (～P(z) ～R(b,z)) UG6 8 ～(z)(P(z) ∧ R(b,z)) T7,E 9 ～(y)(S(b,y) ∧M(y)) T2,8,I 10 ( y) ～ S(b,y) ∧～ M(y)) T9,E 11( y) S(b,y) → ～ M(y)) T10,E 12 ( x) ( y) S(x,y) → ～ M(y)) UG11 13 ～ (z)(P(z) → ( x) ( y) ( S(x,y) → ～ M(y)) CP

  44. 例 (a) 每个大学教师都是知识分子, 有些知识分子有怪脾气, 所以有些大学教师有怪脾气。 (b) 每一松树都是针叶树, 每一冬季落叶的树都非针叶树, 所以, 每一冬季落叶的树都非松树。 证明或否定以上论证。 解 (a) 设T(x): x是大学教师, N(x): x是知识分子, H(x): x有怪脾气。 这个论证是

  45. 现取论述域为整数, T(x): x=1, N(x): x是奇数, H(x): x是质数。 则x(T(x)→N(x))是真, x(N(x)∧H(x))是真, 但x(T(x)∧H(x))是假, 故非永真式。 (b) 设P(x): x是松树, Q(x): x是针叶树, R(x): x是冬季落叶的树。 这个论证是 这个论证是有效的, 证明如下:

  46. 例 3证明xM(x)是x(H(x)→M(x))和xH(x)的有效结论。 解

  47. 由悖论引发的趣味逻辑问题: 所谓悖论，是指这样一种论断（命题），如果假设它是真的，那么可以推出它是假的；如果假设它是假的，那么又可以推出它是真的

More Related