L’Analyse de Variance 1

1. L’Analyse de Variance 1 • Généralités • Le modèle • Calculs pratiques • Conditions d’application de l’ANOVA • Mesure de la décomposition de la SCE

2. L’Analyse de Variance 1 Le modèle linéaire simple 1. Généralités • Projection : • Y = a + bX1 + b2X2 +….+ ei • X continue: régression linéaire simple • X discrète: ANOVA • Combinaisons: régression multiple, ANOVA2, ANCOVA • Les erreurs suivent une distribution : • normale • centrée • de variance constante • et sont indépendantes

3. Fréquence mC mN mN+P Rendement Témoin Expérimental (N) Expérimental (N+P) L’Analyse de Variance 1 Quand utiliser l’ANOVA 1. Généralités • Pour tester l’effet d’une variable explicative discrète • variable explicative = facteur et chaque facteur a plusieurs niveaux ou traitements • l’ANOVA teste si toutes les moyennes sont égales

4. mN+P Fréquence mC mN Fréquence mC mN mN+P Rendement L’Analyse de Variance 1 Possibilités et limites 1. Généralités • Permet de tester si toutes les moyennes sont égales (au niveau a)... • …mais si on rejette H0, l’ANOVA ne dit pas lesquelles

5. Fixe : les traitements sont déterminés (manipulés) par le chercheur Aléatoires : les modalités sont choisies au hasard dans une population de modalités: on peut estimer l’effet du facteur pour d’autres modalités non étudiées Données identiques, modèles différents, calculs identiques mais seulement pour l’ANOVA à un critère de classification! L’Analyse de Variance 1 Types d’ANOVA 1. Généralités

6. L’Analyse de Variance 1 ANOVA fixe : rendement agricole 1. Généralités ni = N = T

7. 280 240 200 160 120 L’Analyse de Variance 1 ANOVA aléatoire: poids de l’ours noir 1. Généralités • variable dépendante est le poids, • facteur (X) = site, p=3 • Question = effet site, au-delà des sites étudiés Poids (kg) Kluane Riding Algonquin Mountain

8. L’Analyse de Variance 1 2. Le modèle Les p moyennes sont-elles identiques? Les modalités de A influencent-elles Y? Y A1 A2 A3 A4 moyenne de Y effet de la ième modalité (constante). Ho : ai = 0 erreur aléatoire

9. Dans une ANOVA, la variance totale est répartie en deux composantes: intergroupe: variance des moyennes des différents groupes (traitements) intragroupe (erreur): variance des observations autour de la moyenne du groupe L’Analyse de Variance 1 2. Le modèle

10. Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 L’Analyse de Variance 1 Répartition de la somme des carrés totale 2. Le modèle m2 Y m m3 m1 SC Totale SC Modèle (Groupes) SC Erreur

11. L’Analyse de Variance 1 2. Le modèle Décomposition de la Somme des Carrés des Ecarts (SCE) Ho : les p moyennes sont égales Ha : au moins une moyenne diffère des autres SCET = SCEA + SCER(=E) = SCEinter + SCEintra = SCEB + SCEW

12. L’Analyse de Variance 1 Tableau d’ANOVA 2. Le modèle Sources de variation Somme des carrés Degré de liberté (ddl) Carré moyen (CM) F k n i ( - ) 2 å å Y Y Totale n - 1 SCET/ddl ij i = 1 j = 1 CMA k ( - Y ) 2 å n Y Facteur p - 1 SCEA/ddl i i CMR i = 1 k n i ( ) 2 - å å Y Résidus n - p SCER/ddl Yi i j i = 1 j = 1

13. mN+P F plus petit Frequence mC mN F plus grand Frequence mC mN mN+P Rendement L’Analyse de Variance 1 2. Le modèle • CMintergroupemesure les différences moyennes au carré entre moyennes des groupes • CMrésiduel est une mesure de la précision

14. mN+P F plus petit Frequence mC mN F plus grand Frequence mC mN mN+P Rendement L’Analyse de Variance 1 L’hypothèse nulle 2. Le modèle • H0: les moyennes de tous les groupes sont les mêmes, ou • H0: il n’y a pas d’effet des groupes, ai =0 , ou • H0: F = CMintergroupe/ CMerreur = 1 • pour p groupes et pour un nombre d’observations N, on compare avec la distribution de F au niveau a avec p - 1 et N - p degrés de liberté

15. 2 T å 2 = - SCE Y T ij N ij 2 2 T T å = - SCE i . A n N i i = - SCE SCE SCE R T A L’Analyse de Variance 1 3. Calculs pratiques , or :

16. L’Analyse de Variance 1 Exemple 3. Calculs pratiques = 264 = 186

17. L’Analyse de Variance 1 Exemple 3. Calculs pratiques

18. L’Analyse de Variance 1 4. Conditions d’application de l’ANOVA eij aléatoires = indépendants et chaque • indépendants : plan d’expérience : • modalités indépendantes • individus indépendants : pas de double mesure, tirage au hasard • de moyenne nulle : par construction • de distribution normale : normalité de Y? étude graphique (TP) • de même variance : homoscédasticité

19. L’Analyse de Variance 1 4. Conditions d’application de l’ANOVA • Ces conditions s’appliquent aux résidus et non aux données brutes • …on doit tester les conditions d’application après que l’analyse soit faite et que les résidus soient obtenus

20. L’Analyse de Variance 1 5. Mesure de la décomposition de la SCE Part de la variabilité de Y expliquée par l’ANOVA : NB : h2 inclue * SCET expliquée de façon linéaire : r2 * SCET expliquée de façon non linéaire : h2-r2 h2 ≥ r2

21. L’Analyse de Variance 1 Exemple 5. Mesure de la décomposition de la SCE Part de la variabilité du rendement expliqué par le sol: