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INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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  1. UNIDAD 01: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN TEMA 01: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, DEFINICIONES, CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS Se tiene un pozo circular de radio r0, con gradiente hidráulico de h =h1en una distancia r1distante del centro del pozo. Para una conductividad hidráulica K, calcular el caudal Q asumiendo que estacionario, Q es independiente de la distanciar. en estado MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  2. INTRODUCCIÓN • Se tiene un pozo circular de radio r0, con gradiente hidráulico de h =h1 en una distancia r1distante del centro del pozo. Para una conductividad hidráulica K, calcular el caudal Q asumiendo que en estado estacionario, Q es independiente de la distancia r. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  3. INTRODUCCIÓN • Calcular el tiempo requerido para vaciar un tanque cilíndrico de altura h=5m, diámetro 3m. El tanque tiene un orificio de 5cm de diámetro en el fondo. Para un to=0 el tanque esta lleno de agua. • h d MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  4. INTRODUCCIÓN • Para la verificación del diseño de una represa (altura) se precisa realizar la simulación del sistema, pero solo se dispone de un periodo de 15 años de datos hidrometeorológicos (así como aforos) en la cuenca de trasvase. • Hidrograma de ingreso: 600 Q (m3/s) H inicial 0 3 6 t (h) ---------------- 3228 m.s.n.m. Curva Altura - Volumen del vaso: H (m.s.n.m.) (millones m3) 3228 3230 3232 3234 3236 3238 3240 3242 3244 3246 3248 Desague de fondo: 3 tubos diámetro 1.00 m Coef. descarga: 0.55 V MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ. 8.5 15.1 25.8 39.8 57.6 81.0 109.7 144.5 182.1 223.1 266.4 PREGUNTA: Efectuar el tránsito de avenida a través del embalse, considerando que los tubos de desague de fondo per- manecen abiertos. Ajustar previamente una curva H - V Altura inicial H: 1er Método: Graficar: Caudal de entrada y de salida en función de t Determinar: Caudal máximo de salida y hora a la que ocurre 3245 (m.s.n.m.): Ensayo & Error 2o método: SOLUCION POR EL METODO PULSE: Ec. de continuidad: I - 0 = DS/DT H = 3216.304 V ^ .001775 O1 + O2 --------- = 2 I1 + I2 ------- - 2 Conocidos: I1 I2 O1 S1 Desconocidos: O2 S2 S2 - S1 Hallar la relación gráfica entre O y O, S : Curva Indicadora de Almacenamiento Resolver con la ayuda de esta curva para cada intervalo de tiempo En el segundo intervalo de tiempo, I2 se vuelve I1, O2 se vuelve O1 y S2 se vuelve S1

  5. DEFINICIÓN • Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial. CLASIFICACIÓN  TIPO.  ORDEN.  LINEALIDAD. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  6. CLASIFICACIÓN POR TIPO • Si una ED contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente es una ecuación diferencial ordinaria.  Ejemplos dy   x 2 y e dx 2 d y 2 dy    3 0 y dx dx dx dy    2 x y dt dt MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  7. CLASIFICACIÓN POR TIPO • Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.   2 2 u 2 u 2  Ejemplos   0   x y    2 2 u 2 u 2 u      t x t   u v     x y MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  8. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN • El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Segundo orden Primer orden   3 2   d y 2 dy    xe 5 4   y dx dx Luego, es una EDO de segundo orden. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  9. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL GRADO El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial. Ejemplo: La siguiente ecuación diferencial: 3 2   d y 2 dy    xe 5 4   y dx dx es de primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada a uno. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  10. EJERCICIOS Determinar el grado de las siguientes ecuaciones: 2 4       dx dx 5     2   d y d y dy         2   5 3 7 a) x 4 2 dx 3 6   2 2   d y dy d y        2 b)     7 x x 2 2 dx dx dx NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial. 2 dy d y dy  x 2   7 1 x 3 2 dx dx dx MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  11. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´, y´´, . . ., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n ES LINEAL cuando ... ) ( ) ( a dx dx • •  1 2 n n d y n d y 1 d y 2 dy       ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x x a x a x y g x  1 2 1 0 n n  n dx dx  En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2) : y dy 2 d y 2 dy   ( ) ( ) ( ) a x a x y g x    ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x y g x 1 0 dx 2 1 0 dx dx se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal: La y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1. Los coeficientes a0, a1, …, ande y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x. variable dependiente y y todas sus derivadas MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  12. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD  1 n n d y n d y dy      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x a x y g x   1 1 0 n n  1 n dx dx dx Lineal homogénea: El término independiente g(x) es nulo. Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes. Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  13. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD  1 n n d y n d y dy      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x a x y g x   1 1 0 n n  1 n dx dx dx En una EDO lineal de orden n: 1) y, y’, y”, …, y(n)son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la variable independiente x. Si no es lineal, es no lineal. Ejemplos de EDOs no lineales: 2 d y El coeficiente depende de y.   siny 0 2   '  dx xe 1 ( ) 2 y y y 4 d y  y  2 0 4 dx Función no lineal de y. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  14. EJERCICIOS ¿Lineales o no lineales? ( ) 1 1 dv t 1)   ( ) ( ) v t V t s dt RC RC dT  a ( ) 2) K T T dt          0 ml kl mgsen 3)   2 2 x x y dy  4) dx y     3 2 2 ' sin( ) 1 y x y x y x 5)     2 ' ' y ( 1 y ' y ) y 0 6) MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  15. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal. EJEMPLOS: x e y y y    2 1 ´ ) ( • • 2 d y   ln 0 y 2 dx 5 d y 5   3 3 2 y x dx MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  16. EJERCICIOS Determinar el orden de las siguientes ecuaciones: 2 5     4 2   d y d y dy a)             2     5 3 x 7 4 2 dx dx dx 3 6   2 2   d y dy d y     b)    2     7 x x 2 2 dx dx dx MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  17. EJERCICIOS Determinar el grado de las siguientes ecuaciones: 2 5     4 2   d y d y dy a)             2     5 3 x 7 4 2 dx dx dx 3 6   2 2   d y dy d y b)        2     7 x x 2 2 dx dx dx MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  18. EJERCICIOS a) Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: dy 3   d y 3 dy 3   d y 3 dy  x 2 7 1   a) c) e)     3 x 5 y       5 x 8 dx dx dx dx dx 3 5 2 3 d y d y     3 3 dy d y d y 2 d y dy              3 x 18 8 x d) 5 b)   x f) 3 3 3 dx dx dx 2 3 2 dx dx dx dx MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

  19. GRACIAS GRACIAS PROXIMA CLASE PRACTICA DIRIGIDA Nº 01. MATERIAL ELABORADO POR: ING° PEDRO EMILIO MONJA RUIZ.

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