movimento el ptico
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Movimento Elíptico

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Movimento Elíptico. R. Boczko IAG-USP. 02 07 06. Órbitas não circulares. Eudoxo (Grego, 408 a.C. – 355 a.C.). As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares. Movimento Kepleriano. Elipse. Kepler Alemão 1571 - 1630. Estudo da elipse.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
movimento el ptico

Movimento Elíptico

R. Boczko

IAG-USP

02

07

06

rbitas n o circulares
Órbitas não circulares

Eudoxo

(Grego, 408 a.C. – 355 a.C.)

As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares

movimento kepleriano
Movimento Kepleriano

Elipse

Kepler

Alemão

1571 - 1630

tra ar uma circunfer ncia
Traçar uma circunferência

Comprimento do barbante = a

Chão

R=a

tra ar uma elipse
Traçar uma elipse

Comprimento do barbante = 2.a

Chão

defini o de uma elipse
Definição de uma elipse

Q

r’

r

F’

F

Elipse

2a

r + r’  2a

elementos de uma elipse
Elementos de uma elipse

B

O

A

a

f

P

F

e  f/a

b

f  ae

B’

a = semi-eixo maior

b = semi-eixo menor

f = distância focal

e = excentricidade

semi eixo menor b
f  aeSemi-eixo menor b

Q = B

b

r

r’

r + r’  2a

r = r’

r = a

O

f

f

F’

F

No DOBF :

b2 = r2 - f2

b2 = a2 - f2

b2 = a2 - (ae)2

b2 = a2 - a2 e2

b2 = a2(1 - e2)

b = a {1- e2}

equa o da circunfer ncia e da elipse
y

b

Equação da circunferência e da elipse

y

Q

Y

x

a

x

O

Circunferência

x2 + Y2 = a2

Elipse

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

equa o da reta tangente elipse num ponto m
Equação da reta tangente à elipse num ponto M

Elipse

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

y

Reta tangente

x.xM/ a2 + y.yM/ b2 = 1

M

yM

x

a

xM

O

b

per metro aproximado de uma elipse
Perímetro aproximado de uma elipse

O

a

b

P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b}

velocidade m dia de transla o da terra
d

a

b = a {1- e2}

b = 1 {1- 0,016732}

b = 0,999.860.043.8

P  3 p( 1+ 0,999.860.043.8 ) / 2 - {1x 0,999.860.043.8}

P  8,424.188.413.1 UA  1.263.628.261,962 km

v = 1.263.628.261,962 km / 365,25 d

v  3.459.625 km/dia  40 km/s

Velocidade média de translação da Terra

v = P / T

P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b}

T  365,25 dias

O

a

a = 1 UA  150.000.000 km

e = 0,01673

b

mostrar que a m dia dos raios orbitais o semi eixo maior
Q'1

Q1

r'

r'

r

r

Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior

O

A

P

F'

Para todos os pares de pontos simétricos

F

Para um par de pontos simétricos

Q1 e Q'1 r1 = a

Q1 r + r' = 2a

Q2 e Q'2 r2 = a

Q'1 r' + r = 2a

...

r + r' + r' + r = 2a + 2a

QN e Q'N rN = a

r + r' + r' + r = 4a

r1 + r2 + ... + rN = N.a

(r + r' + r' + r) / 4 = a

(r1 + r2 + ... + rN ) / N = a

r1 = a

r = a

fator de contra o c
f  ae

C {1- e2}

b = aC

Fator de contração (C)

Q = B

b

r

r’

O

f

f

F’

F

r + r’  2a

r = r’

r = a

No DOBF :

b2 = r2 - f2

b2 = a2 - f2

b2 = a2 - (ae)2

b2 = a2 - a2 e2

b2 = a2(1 - e2)

b = a {1- e2}

elipse circunfer ncia contra da
b = aC

y = Y (aC/ a)

y = YC

Elipse = Circunferência contraída

y

Para a circunferência:

X2 + Y2 = a2

Como x = X, então:

x2 + Y2 = a2

x2 = a2 - Y2

Circunferência

Q’

Y

Elipse

a

Q

b

y

Para a elipse:

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

(a2 - Y2 ) / a2 + y2 / b2 = 1

1 - Y2 / a2 + y2 / b2 = 1

y2 / b2 = Y2 / a2

y2 = Y2 (b2/ a2)

y = Y (b/ a)

x

o

Q”

x = X

rea da elipse
Y

B

a

y

dA

dy

A = 4  dA u = 0  /2

u

P

A = 4  a.b. cos2 u . du u = 0  /2

x

O

cos u = {(1+cos 2u)/2}

C {1- e2}

cos2 u = (1+cos 2u)/2

y = (a.sen u) C

A = 4.a.b  [(1+cos 2u)/2] . du

b = a.C

y = b.sen u

A = 4.a.b {  (1/2) du +  (cos 2u)/2) du}

dy = b.d{sen u}

A = 4.a.b { [u/2] + [(sen 2u)/4)]}

dy = b.cos u . du

dA = x . dy

A = 4.a.b {(/2-0)/2 + [(sen )/4 - 0]}

dA = (a.cos u) . (b.cos u . du)

A = .a.b

dA = a.b.cos2 u . du

Área da elipse

x = a.cos u

rea de um setor circular
Área de um setor circular

Medida em radianos

Medida em graus

c

A

3600 r2

  A

2  r2

  A

O

r

A =  r2. 0 / 3600

A = r2.  / 2

setor el ptico
Setor elíptico

c

A

a

x

O

b

A = ( a.b / 2 ) . [ arccos ( x / a ) ] rad

rea de um setor de elipse
Q'

Q'

Q

Y

Y

Yi

y

ASE

O

P

x

Q"

Q"

x

x

Q'

A2 =  yi. x

A1 = x y /2

A1 = x (Y.C) /2

A2 =  Yi.C. x

Q

A1 = C (x Y / 2)

Y

A2 = AS . C

A1 = AT .C

AT

yi

AS

y

A1

A2

x

Q"

Q"

x

ASE = A1 + A2

ASE = AT .C + AS . C

ASE = (AT + AS ) C

AS =  Yi. x

ASE = ASC . C

Área de um setor de elipse

r

ASC

O

P

y = Y.C

ASC = AT + AS

AT = x Y / 2

primeira lei de kepler 1571 1630
Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 )

Semi

eixo

menor

Semi-eixo maior

Foco

Um corpo ligado a outro gravitacionalmente

gira em torno dele numa órbita elíptica,

sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

a f lio e p eri lio
Afélioe Periélio

O

a

f

A

P

Foco

b

q’

q

Afélio:

q’ = a + f

q’ = a +ae

q’ = a ( 1+e )

Periélio:

q = a - f

q = a - ae

q = a ( 1- e )

movimento m dio
Movimento Médio

T = Período orbital do astro: tempo para dar uma volta

completa em torno do Sol

n = Movimento médio: velocidade angular do astro

n  3600 / T

0/dia

r2

n

r1

Elipse

n  2p / T

rad/dia

anomalia m dia
Anomalia Média

M

tP

Elipse

tp = instante da passagem periélica

t = instante no qual se deseja a posição do astro

M = Anomalia Média: ângulo que seria percorrido pelo astro,

no intervalo de tempo (t - tp),

se ele tivesse movimento circular uniforme

M  n (t - tp)

n  3600 / T

anomalias verdadeira e exc ntrica
Q’

Y

a

r

y

v

u

Q”

Anomalias verdadeira e excêntrica

y

Circunferência

Q = Astro

F = Sol

r = raio vetor do astro

v = anomalia verdadeira

u = anomalia excêntrica

Elipse

Q

x

O

P

F

raio orbital r em fun o da anomalia verdadeira v
Q1

r'

r

Raio orbital r em função da anomalia verdadeira v

r + r' = 2a

r' = 2a - r

v

180-V

O

f

f

A

P

F'

f = ae

f = ae

F

r'2 = r2 + (2f)2 - 2. r.(2f).cos(180-V)

(2a - r )2 = r2 + 4f2+ 4. r.f.cos V

4a2 - 4ar + r2 = r2 + 4(ae)2 + 4. r.(ae).cos V

4a2 - 4ar + # = # + 4a2.e2 + 4. r.a.e.cos V

4a2 - 4a2.e2 = 4ar + 4. r.a.e.cos V

4a2 (1-e2) = 4ar ( 1 + e.cos V)

C {1-e2}

r = a (1-e2) / ( 1 + e.cos V)

r = a C2 / ( 1 + e.cos V)

objetivo de trabalho
Passo intermediário:

v = g { u }

Conseguimos:

u = h { t }

Objetivo de trabalho

y

Circunferência

Desejamos:

v = f { t }

Q’

Elipse

t

a

r

u

v

P

x

o

tP

F

Q”

relacionar u e v
b = aC

y = b . senu

Relacionar u e v

y

Circunferência

No DOQ’Q”:

x = a . cos u

Y = a . sen u

y = Y . C

y = (a . sen u) C

Q’

Elipse

a

Y

a

Q

b

r

y

u

v

P

NoDOQQ”:

x = a . cos u

y = b . senu

x

o

F

Q”

f

x’

x

No DFQQ”:

x’ = r . cos v

y = r . sen v

x’ = x - f

raio vetor r
f ae

x’ = x - f

b = aC

sen v = aC . senu / r

C {1- e2}

sen v = a {1- e2} . senu / r

NoDOQQ”:

x = a . cos u

y = b . senu

No DFQQ”:

x’ = r . cos v

y = r . sen v

Raio vetor (r)

r . sen v = b . senu

sen v = b . senu / r

r . cos v = a . cos u - ae

cos v = a ( cos u - e) / r

sen2v + cos2 v = 1

a2(1- e2) . sen2u / r2 + a2 ( cos u - e)2 / r2 = 1

a2[ sen2u - e2. sen2u + (cos2 u - 2 e cos u + e2) ] = r2

a2[ sen2u + cos2 u + e2 - e2. sen2u - 2 e cos u ] = r2

a2[ 1 + e2 (1 - sen2u) - 2 e cos u ] = r2

a2[ 1 + e2cos2u - 2 e cos u ] = r2

a2[ 1 - ecosu ]2 = r2

r = a ( 1 - ecosu )

relacionar u e v1
C {1- e2}

sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ]

Relacionar u e v

sen v = aC . senu / r

cos v = a ( cos u - e) / r

r = a ( 1 - ecosu )

sen v = aC . senu / [a ( 1 - ecosu )]

cos v = a ( cos u - e) / [a ( 1 - ecosu )]

cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ]

0 v 1800

Se sen v  0 então v = v

Se sen v < 0 então v = 360 - v

outro jeito de relacionar u e v
Usando:

cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ]

tan (v/2) = { (1+e) / (1-e) } .tan (u/2)

q tan (v/2)

v = 2 arctan (q)

-900v +900

Outro jeito de relacionar u e v

Fórmula da tangente do arco metade:

tan (v/2) = { (1-cos v) / (1+cos v) }

sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ]

Se v  0

Se senv  0  v = v

Se senv < 0  v = v + 1800

Se v < 0

Se senv  0  v = v + 1800

Se senv < 0  v = v + 3600

segunda lei de kepler 1571 1630
Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 )

A

A

Dt

Dt

Foco

Um corpo ligado a outro gravitacionalmente

gira em torno dele, com seu raio vetor

varrendo áreas iguais em tempos iguais.

velocidade areolar va
A

Aelipse = pab

T = Período orbital

(VA) = pab / T

Velocidade areolar (VA)

b

A

Dt

Dt

Foco

(VA) = DA / Dt

terceira lei de kepler
M

r

(r/ r’ )3 = (T/ T’ )2

m

T

r’

r3 = k T2

m’

T’

Expressão correta:

r 3 = [G/(4p2)] ( M + m ) T 2

(r / r’ )3 = { (M + m) / (M + m’) }x (T/ T’ )2

Terceira Lei de Kepler
equa o de kepler
f  ae

AFOQ = (ae).(b . senu)/2

y = b . senu

Equação de Kepler

(APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria

Kepler:

pab  T

APFQ  (t-tP)

Geometria:

APFQ = APOQ - AFOQ

APFQ = (pab/T) (t-tP)

AFOQ = f.y/2

y

Circunferência

AFOQ = (a.b.e senu) / 2

Q’

APOQ = APOQ’ . C

APOQ = [(u.a) . a /2] . C

APOQ = [u.a. b /2]

Elipse

a

Y

a

Q

b

APFQ = [u.a. b /2] - (a.b.e senu) / 2

r

y

u

v

P

f

x

APFQ = (ab/2)[u - e senu]

o

F

Q”

equa o de kepler1
Equação de Kepler

(APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria

APFQ = (pab/T) (t-tP)

APFQ = (ab/2)[u - e senu]

(pab/T) (t-tP) = (ab/2)[u - e senu]

(2p / T) (t-tP) = [u - e senu]

n 2p / T

(n) (t-tP) = [u - e senu]

M  n (t - tp)

M = u - e senu (em radianos)

M = u - (1800 / p ) e . senu (em graus)

u = M + (1800 / p ) e . senu (em graus)

solu o gr fica da equa o de kepler
e sen u

45o

u

M

e sen u

u

u = M + e.senu

Solução gráfica da equação de Kepler

y = e sen u

+e

M  n (t - tp)

urad

e sen u

M

-e

solu o alg brica aproximada da equa o de kepler
Solução algébrica aproximada da equação de Kepler

u = M + (1800 / p ) . e . senu (em graus)

Adotar: u0 = M

u1 = M + (1800 / p ) . e . senu0

u2 = M + (1800 / p ) . e . senu1

u3 = M + (1800 / p ) . e . senu2

.

.

un = M + (1800 / p ) . e . senun-1

Até que | un - un-1 | e

Solução aproximada: u = un

movimento el ptico do sol
Movimento elíptico do Sol

b

Terra

O

a

f

A

P

Foco

e = 0,01673

e2 @ 0,00028

representa o de uma fun o por meio das s ries de taylor ingl s 1685 1731
f(x)

f(a)

a

x

Representação de uma função por meio das Séries de Taylor(Inglês, 1685-1731)

y

f(x)

x

  • Dados:
  • a função f(x)
  • o valor f(a) de f(x) no ponto x=a
  • Objetivo:
  • Obter f(x') nos entornos de x=a
aproxima o de primeira ordem
C

f

fx - fa

fx - fa

C

f(x)

x-a

B

A

fx - fa = fx - fa - f

fx = fx - f

Aproximação de primeira ordem

y

f(x)

f(x)

tan  = (fx - fa) / (x-a)

f(a)

(fx - fa) = (x-a) . tan 

B

A

fx = fa + (x-a) . tan 

tan  = (df/dx)a

fx = fa + (x-a) (df/dx)a

x

f(1)(a) = (df/dx)a

a

x

fx = fa + (x-a) . f(1)(a)

fx = fa + (x-a) . f(1)(a)- f

derivadas sucessivas
Derivadas sucessivas

f(0) (x) = f(x)

f(1) (x) = [df(0) (x)] / dx

f(2) (x) = [df(1) (x)] / dx

f(3) (x) = [df(2) (x)] / dx

:

f(i) (x) = [df(i-1) (x)] / dx

f(0) = f(x)

f(1) = df(0) / dx

f(2) = df(1) / dx

f(3) = df(2) / dx

:

f(i) = df(i-1) / dx

derivadas sucessivas calculadas num ponto dado
Derivadas sucessivas calculadas num ponto dado

f(0) (a) = f(a) = { f(x) }x=a

f(1) (a) = { [df(0) (x)] / dx }x=a

f(2) (a) = { [df(1) (x)] / dx }x=a

f(3) (a) = { [df(2) (x)] / dx }x=a

:

f(i) (a) = { [df(i-1) (x)] / dx }x=a

s ries de taylor
y

f(x)

f(x)

f(a)

x

a

x

i=1..n

f(x) = f(a) +{[ (x-a)i / i! ] . f(i)(a) }

Calcular:

f(0) (a) = f(a) = { f(x) }x=a

f(1) (a) = { [df(0) (x)] / dx }x=a

f(2) (a) = { [df(1) (x)] / dx }x=a

f(3) (a) = { [df(2) (x)] / dx }x=a

:

f(i) (a) = { [df(i-1) (x)] / dx }x=a

Séries de Taylor
  • Dado:
  • a função f(x)

Representação em séries de Taylor:

f(x) = f(a) + [(x-a)1 / 1!] . f(1)(a)

+ [(x-a)2 / 2!] . f(2)(a) +

+ [(x-a)3 / 3!] . f(3)(a) +

:

+ [(x-a)n / n!] . f(n)(a)

s ries de mac laurin ingl s 1698 1746
f( x ) = f( a ) +{[ (x-a)i / i! ] . f(i) ( a ) }

i = 1..n

f( x ) = {[ (x-a)i / i! ] . f(i) ( a ) }

i = 0..n

i = 0..n

f( x ) = {[ xi / i! ] . f(i) ( 0 ) }

Série de

Mac Laurin

Séries de Mac Laurin(Inglês, 1698-1746)

Séries de Taylor

Definições:

0! = 1

x0 = 1

f(0) = f(a)

Impor a=0

exemplo de aplica o da s rie de mac laurin
d

a

i = 0..n

f( x ) = {[ xi / i! ] . f(i) ( 0 ) }

Exemplo de aplicação da Série de Mac Laurin

Calcular o sen 300.

f ( x ) = sen x

x = 300 = 30 . (/180) = /6 = 0,523 598 775 6 rad

f(x) = (x0/0!)f(0)(0) + (x1/1!)f(1)(0) + (x2/2!)f(2)(0) + (x3/3!)f(3)(0) + (x4/4!)f(4)(0) + ...

Calcular valores das derivadas no ponto x=a=0:

f(0) (0) = { f(x) }x=0 = sen x = sen 0 = 0

f(1) (0) = { [df(0) (x)] / dx }x=0 = d(sen x) /dx = cos x = cos 0 = 1

f(2) (0) = { [df(1) (x)] / dx }x=0 = d(cos x) / dx = -sen x = -sen 0 = 0

f(3) (0) = { [df(2) (x)] / dx }x=0 = d(-sen x) /dx = -cos x = -cos 0 = -1

f(4) (0) = { [df(3) (x)] / dx }x=0 = d(-cos x) /dx = -(-sen x) = sen x = sen 0=0

f(5) (0) = { [df(4) (x)] / dx }x=0 = d(sen x) /dx = cos x = cos 0 = 1

exemplo de aplica o da s rie de mac laurin1
d

a

Exemplo de aplicação da Série de Mac Laurin

Calcular valores das derivadas no ponto a=0:

f(0) (0) = { f(x) }x=0 = 0

f(1) (0) = { [df(0) (x)] / dx }x=0 = 1

f(2) (0) = { [df(1) (x)] / dx }x=0 = 0

f(3) (0) = { [df(2) (x)] / dx }x=0 = -1

f(4) (0) = { [df(3) (x)] / dx }x=0 = 0

f(5) (0) = { [df(4) (x)] / dx }x=0 = 1

f(x) = (x0/0!)f(0)(0) + (x1/1!)f(1)(0) + (x2/2!)f(2)(0) + (x3/3!)f(3)(0) + (x4/4!)f(4)(0) + ...

f(x) = (x0/1)(0) + (x1/1)(1) + (x2/2)(0) + (x3/6)(-1) + (x4/24)(0) + (x5/120)(1) + ...

f(x) = (0) + (x) + (0) - (x3/6) + (0) + (x5/120) + ...

f(x) = (x) - (x3/6) + (x5/120) - ...

representa o de algumas fun es em s ries de taylor ou mac laurin
Representação de algumas Funções em séries de Taylor(ou Mac Laurin)

sen x = x - x3/3! + x5/5! - ...

cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - ...

1/(1 + x) = 1 - x + x2 - ...

1/(1 - x) = 1 + x + x2 + ...

{ 1+x } = 1 + x/2 - x2/8 + ...

{ 1- x } = 1 - x/2 - x2/8 - ...

exemplo de aplica o da s rie de mac laurin2
d

a

Exemplo de aplicação da Série de Mac Laurin

f(x) = (x) - (x3/ 6) + (x5/ 120) - ...

Calcular o sen 300.

f ( x ) = sen x

x = 300 = 30 . (/180) = /6 = 0,523 598 775 6 rad

f(x) = (0,523 598 775 6) - (0,523 598 775 63/6) + (0,523 598 775 65/120) - ...

f(x) = (0,523 598 775 6) - (0,023 924 596 2) + (0,000 327 953 194 3) - ...

f(x) = 0,499 972 132 6

Sabemos que: sen 300 = 0,5

Erro  - 0,000 03

aproxima o do sen v u
Aproximação do sen (v-u)

sen (v-u) = sen v . cos u - cos v . sen u

sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ]

cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ]

sen (v-u) = {1- e2} . senu / [ 1 - e cosu ]. cos u

- ( cos u - e) / [ 1 - e cosu ] . sen u

sen (v-u) = [ senu . cos u .({1- e2} - 1) + e . sen u ] / [1- e cosu]

Aproximação:

Como e = 0,01673

então e2 @ 0,00028.

Logo: C= {1- e2} @ 1

Então:

sen (v-u) @ [ e . sen u ] / [1- e cosu]

aproxima es para pequenos ngulos
xrad = L / R

Seno

Tangente

xrad = L / 1

xrad = L

tan x

sen x

x

Co- Seno

cos x

Aproximações:

sen x  xrad  tanx

Aproximações para pequenos ângulos

Tan

Sen

L

tan x

R=1

sen x

sen x

x

CoS

O

cos x

Pela figura:

sen x  L  tanx

Aproximação:

cos x  1

equa o aproximada do movimento el ptico do sol
Conforme Taylor: 1/(1 - x) @ 1 + x

(v-u) @ [ e . sen u ] . [1+ e cosu]

Como e2 = 0,00028, admitir e2 = 0

(v-u) @ e . sen u

u = M + e.senu

v @ M + e.senu + e . sen u

Equação aproximada do movimento elíptico do Sol

sen (v-u) = [ e . sen u ] / [1- e cosu]

Quando e<<1, então [email protected] Logo (v-u)<<1. Logo: sen(v-u) @ (v-u)

(v-u) @ [ e . sen u ] / [1- e cosu]

(v-u) @ e . sen u + e2 . cosu. sen u

v @ u + e . sen u

v @ M + 2.e.senu

anomalia verdadeira aproximada do movimento el ptico do sol
Anomalia verdadeira aproximada do movimento elíptico do Sol

v @ M + 2.e.senu

Como e<<1, então

u @ M

Portanto:

senu @sen M

logo:

[email protected] Mrad + 2.e.senM [radianos]

[email protected] M0 + ( 180/p ).2.e.senM [graus]

raio vetor aproximado do sol
Raio vetor aproximado do Sol

Q1

r

v

u

O

f

f

A

P

F'

f = ae

f = ae

F

r = a ( 1 - ecosu )

Quando e<<1  u @ M

r @ a ( 1 - ecosM )

elementos orbitais1
Elementos Orbitais

PNE

Tamanho e forma

a = semi-eixo maior

e = excentricidade

i

PNP

Posição da órbita

i = Inclinação

W = Long. do nodo

ascendente

w = Argumento do

periélio

Eclíptica

Q

v

b

q

w

P

g

W

l

b

Tempos

T = período orbital

tP = instante da

passagem periélica

Órbita

v = W + w

v = Longitude do Periélio

longitude aproximada do sol
gLongitude aproximada do Sol

v @ M + 2.e.senM

O

v

A

a

P

Terra

v

lo = v + v

lo

[email protected] + M + 2.e.senM

C’ 2.e.senM

Equação do Centro

[email protected] + M + C’

rela o direta entre ascens o e longitude do sol
PN

e

PNE

W

900

tan a = sen a / cos a

1800

tan a = tan l . cos e

a

2700

900

d

l

Equador

e

00

a

g

2700

Eclíptica

e

PN

Relação direta entre Ascensão e Longitude do Sol

90 + a

90 - l

90- b

90- d

PNE

b=0

Q

sen a = cos e . sen l / cos d

cos a = cos l / cos d

solu o da equa o particular
Batizado:

q = (p-1) / (p+1)

Solução:

y  x + q . sen 2x + (q2 /2) . sen 4x + ...

Solução da equação particular

tan a = cos e . tan l

Dada a equação:

tan y = p . tan x

Obter:

y  f(x)

ascens o reta aproximada do sol1
Batizados:

p = cos e

q = ( cos e -1 ) / (cos e +1 )

tan ( / 2) = {( 1- cos e ) / (1 +cos e) }1/2

q = - tan2 ( / 2)

Usando:

tan y = p . tan x

x = l

Obtemos:

Sol lsol + - tan2 ( / 2) . sen 2lsol + [(tan4 ( / 2)] /2) . sen 4lsol + ...

Ascensão reta aproximada do Sol

tan a = cos e .tan l

y  x + q . sen 2x + (q2 /2) . sen 4x + ...

equa o aproximada do movimento el ptico do sol em ascens o reta
Equação aproximada do movimento elíptico do Sol em ascensão reta

Sol lsol + - tan2 ( / 2) . sen 2lsol + [(tan4 ( / 2)] /2) . sen 4lsol + ...

R - tan2 ( / 2) . sen 2lsol + [(tan4 ( / 2)] /2) . sen 4lsol + ... Red. ao equador

[email protected] + M + C’

v = W + w v = Longitude do Periélio

M = n (t - tp) Anomalia Média

n  3600 / T Movimento médio

C’ = (180/ ).2.e.senM Equação do Centro

Sol0 v + M + C’ + R

coordenadas equatoriais do sol
PN

e

PNE

W

900

1800

2700

900

d

l

Equador

e

00

a

g

2700

Eclíptica

Coordenadas equatoriais do Sol
coordenadas aproximadas do sol precis o de 0 01 0 entre 1950 e 2050
L  280,4610 + 0,985 6474 n (Longitude média)

0  L < 3600 (Imposição)

g  357,5280 + 0,985 6003 n (Anomalia média)

0  g < 3600 (Imposição)

l = L0 + 1,9150sen g + 0,020 sen 2g (Longitude eclíptica do Sol)

f = 1800 / 

t = tan2 (  / 2 )

Coordenadas aproximadas do Sol(precisão de 0,010 entre 1950 e 2050)

DJ2000 = 2 451 545,0

n = DJ - DJ2000 (Número de dias desde o meio-dia de 01/jan/2000)

  23,4390 - 0,000 000 4 n (Obliqüidade da eclíptica)

R  1,000 14UA - 0,016 71 cos g - 0,000 14 cos 2g (Raio vetor do Sol)

  l0 - f . t . sen 2l + (f/2) . t2 . sen 4l (Ascensão reta do Sol)

Eq.Tminutos  4 . ( L0 - 0 ) (Equação do tempo: precisão de 0,1min)

 arcsen (sen . sen l ) (Declinação do Sol)

relacionar os elementos orbitais e as coordenadas ecl pticas de um astro do sistema solar
Relacionar os elementos orbitais e as coordenadas eclípticas de um astro do Sistema Solar
relacionar elementos orbitais
i

PNE

90-q

l-W

PNP

PNE

900

90-b

i

PNP

q = w + v

Eclíptica

Q

Q

v

b

q

b

Q

w

P

g

W

b

l

b

q

Órbita

b

v = W + w

v = Longitude do Periélio

i

l-W

Relacionar elementos orbitais
de elementos orbitais para coordenadas ecl pticas1
Q

b

q

b

i

l-W

De elementos orbitais para coordenadas eclípticas

Obter a latitude eclíptica

Seno

sen a / sen A =sen b/sen B=senc/senC

sen b/sen i=senq/sen900

sen b=sen i.senq

de elementos orbitais para coordenadas ecl pticas2
Q

b

q

b

i

l-W

De elementos orbitais para coordenadas eclípticas

Obter a longitude eclíptica

Co-seno

cosa=cos b . cos c + sen b. sen c. cosA

cos=cos b . cos (l- ) + sen b. sen (l- ). cos900

cos=cos b . cos (l- )

cos (l- ) = cos/cos b

Seno & Co-seno

sen a . cosB=cosb . sen c - senb. cos c. cosA

sen . cos i =cos b . sen (l- ) - sen b. cos (l- ). cos900

sen . cos i =cos b . sen (l- )

sen (l- ) = sen . cos i /cos b

de coordenadas ecl pticas para elementos orbitais1

sen . cos i =cos b . sen (l- )

sen =cos b . sen (l- ) / cos i

sen b=sen i.senq

Q

sen b=sen i.cos b . sen (l- ) / cos i

b

q

tan b=tan i.sen (l- )

b

i

l-W

tan i=tan b/sen (l- )

De coordenadas eclípticas para elementos orbitais

Obter a inclinação

de coordenadas ecl pticas para elementos orbitais2

sen b=sen i.senq

senq = sen b/sen i

Q

cos (l- ) = cos/cos b

b

cos = cos (l- ) . cos b

q

b

i

l-W

De coordenadas eclípticas para elementos orbitais

Obter o argumento  do astro

q = w + v

ad