Présentation du cours

1. Présentation du cours • Théorie • Bases de la théorie des sous-ensembles flous • Pratique • Utiliser la théorie (exercices) • Applications FisPro

2. Bibliographie • « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que-sais-je? PUF, N° 2702. • « Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998. • « La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995 • « Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.

3. Plan du cours • Introduction • Présentation du cours • Définitions de base • Sous-ensemble flou (sef) • Caractéristiques de sef • Opérations sur les sefs • Quelques applications commerciales de la logique floue

4. Introduction • L'imprécision du monde réel • Le flou est partout • Le flou est humain • Le flou est plus souple • Théorie des sous-ensembles flous • « mesurer une gradation dans l'appartenance à un ensemble » • Une théorie mathématique formelle pour la prise en compte de l'imprécision et des incertitudes • Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in Information and Control, 1965.

5. Historique • 1965 : Théorie des ensembles flou introduite par L.A. Zadeh (UC Berkeley) • En 1973, le Pr. Zadeh publie un article (dans l'IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics) qui mentionne pour la première fois le terme de variables linguistiques (dont la valeur est un mot et non un nombre). • En 1974, Mamdani (Université de Londres) réalise un contrôleur flou expérimental sur un moteur à vapeur. • En 1980, F.L. Smidth & Co. A/S (au Danemark) met en application la théorie de la logique floue dans le contrôle de fours à ciment. C'est la première mise en oeuvre pratique de cette nouvelle théorie. • Dans les années 80, plusieurs applications commencent à immerger (notamment au Japon). • En 1987, « explosion du flou » au Japon (avec le contrôle du métro de Sendaï) et qui atteint son apogée en 1990 (fuzzymania). • Aujourd'hui, une vaste gamme de nouveaux produits ont une étiquette « produit flou » (Fuzzy).

6. Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle • Dissoudre le flou puis traiter des données précises • informations floues  informations précises part importante d'arbitraire • analyse de la sensibilité indispensable • plusieurs jeux de données traités un par un • comparaison des résultats

7. Gestion des imprécisions - Approche floue • Traiter des données floues puis dissoudre le flou • Garder le flou comme une information • Reporter la dissolution du flou le plus tard possible et sur la décision uniquement • Accroissement de la fiabilité et de la stabilité du système

8. Gestion des imprécisions • Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi Zadeh en 1965. • Modèle mathématique pour représenter l'imprécision et l'incertitude. • Idée des ensembles flous facile à comprendre : Freine dans 32m50 ou Freine bientôt • La précision n'est pas toujours utile. • Capable d'interpréter des informations imprécises et d'agir.

9. Ensembles classiques / Ensembles flous • ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant des propriétés précises • Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8 fonction caractéristique : m : R  {0, 1} m(x) = 1 si 6  x  8 0 sinon. • ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des propriétés imprécises • Exemple : ensemble des nombres proches de 7 fonction d'appartenance : : X  [0, 1] (x) pas unique. • différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance

10. X ensemble de référence A sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance  X  [0, 1] Caractéristiques • Noyau : éléments appartenant de façon absolue Noy(A) = {x X / (x) = 1} • Support : éléments appartenant au moins un peu Supp(A) = {x X / (x)  0} Théorie des sous-ensembles flous

11. Théorie des sous-ensembles flous • Infinité de fonctions d'appartenance possibles • flexibilité, ajustement maximal pour une situation donnée • Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions • Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X.

12. Probabilité / Flou ensembles flous = déguisement pour les statistiques ? NON B A  p(B) = 0.9 Quelle bouteille boirez-vous ?

13. Probabilité / Flou • A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique. • A est proche d'un liquide tout à fait potable. • Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales. • Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir. 2 philosophies différentes

14. La théorie des sous-ensembles flous • Une extension de la théorie des ensembles classiques • Une théorie plus générale qui englobe la théorie des ensembles classiques • La théorie des ensembles classiques est un cas particulier • Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés existantes dans la théorie des ensembles classiques • Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même temps • La logique floue : application de la théorie des sous-ensembles flous pour la modélisation du raisonnement • Extension de la logique classique • La commande floue : utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques • Cas particulier de la logique floue

15. Jeune 1 0 15 20 30 35 X Exemples de sous-ensembles flous • X={moto,auto,train} (moyens de transport) • A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides • A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train • X=[0, 130] (ensemble des âges) • A: sous-ensemble de X des âges jeunes

16. Fonctions d’appartenance

17. Caractéristiques d'un sef • Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance fA. • Noyau de A : • Noy(A) = {x  X | fA(x)=1} • Support de A : • Supp(A) = {x  X | fA(x)>0} • Hauteur de A : • h(A) = supx  XfA(x) • Cardinalité de A: • |A| = x  XfA(x)

18. Support d’un sef

19. Noyau d’un sef

20. Opérations sur les sefs (1) • Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément • Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB. • Égalité de sefs: • A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x) • Inclusion de sefs: • A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x) • Intersection de sefs: A  B: • x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x)) • Union de sefs: A  B: • x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x))

21. Opérations sur les sefs (2) • Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): • A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A UX = X, A ∩ X = A • Associativité de ∩ et de U: • (A U B) UC = A U(B UC) • Commutativité de ∩ et de U: • A∩B = B∩A • Distributivité de ∩ par rapport à U: • A∩(B UC) = (A∩B) U(A∩C) • A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)

22. Opérations sur les sefs (3) • Complément Ac d'un sous-ensemble flou • x  X, fAc (x) = 1 – fA(x) • Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): • (Ac)c = A • (A∩B)c = AcU Bc • (A U B)c = Ac∩ Bc • D'autres propriétés ne le sont pas (généralement): • Ac∩A ≠∅ (contradiction) • AcU A ≠ X (tiers exclu).

23. Opérations sur les sefs (4) • Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩ et U • Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, F(x,y)  [0,1]. • L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET) • L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU)

24. Opérations sur les sefs (5) • Justification des choix des opérateurs • Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants • D'autres opérateurs sont possibles : • conjonction normes triangulaires (t-normes) • disjonction conormes triangulaires (t-conormes) • Propriétés communes : associativité, commutativité, monotonie, élément neutre.

25. Normes triangulaires (t-normes) • Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]: • ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité) • ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité) • ⊤(x,y)⊤(z,t) si x z et yt (monotonie) • ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre) • Exemples de telles fonctions : • min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0) • ⊤ est une t-norme • Utilisée pour l'intersection ou la conjonction

26. Normes triangulaires (t-conormes) • Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]: • (x,y) = (y,x) (commutativité) • (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité) • (x,y) (z,t) si x z et y t (monotonie) • (x,0) = x (0 est élément neutre) • Exemples de telle fonction: • max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1) •  est une t-conorme • Utilisée pour l'union

27. Dualité t-norme / t-conorme • Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme estlié • Etant donné un opérateur de complémentation • par exemple: fc = 1-f • Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et seulement si : • 1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y) • 1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y) • En termes de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan • Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux : • on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) = min(1-x, 1-y) • On montre que (à faire en exercice) • les opérateurs probabilistes sont duaux • les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux

28. Comparaison des normes de Zadeh et des normes probabilistes

29. Jeune Salarié 1 0 15 55 20 30 35 70 X Exemples • X={moto,auto,train} (moyens de transport) • Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train • Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 / train • X=[0, 130] (ensemble des âges)

30. Caractéristiques d'un sef (2): -coupes • Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil  [0,1] fixé : • soit  [0,1],  x  X, x  A si et seulement si fA(x)  • A est un sous-ensemble classique de X. (fA prend ses valeurs dans {0,1}). • On vérifie que (à faire en exercice): • Si  >  ' alors A A' et si B  A alors B A • (A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A  B  •  x  X, fA(x) = sup]0,1] f(x) (i.e. on peut reconstruire A à partir de ses -coupes).

31. -coupes d’un sef

32. Relations entre sous-ensembles flous • Relation: notion fondamentale des mathématiques classiques • Basée sur le produit cartésien d'ensembles • Les relations établissent des liens entre éléments • soit d'un même ensemble • soit d'ensembles différents • Elles permettent de construire des applications • une application est une relation particulière

33. Produit cartésien de sefs • Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence • Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2 • Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésienA=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance: • x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )

34. Produit cartésien X2 x2 (x2 , x1) A2 x1 X1 A1

35. Exemple d'application du produit cartésien • X1={moto,auto,train} (moyens de transport) • Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train • X2={pasCher, cher} (prix) • Prix souhaité : A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher • Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)

36. Relations floues • Une relation floue R entre 2 ensembles de références X et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR • Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance • Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion} • La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par : • (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))

37. Relation floue transitive • Transitivité : propriété très utilisée pour des relations • si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors est-ce que A ressemble à C ? • si x < y et que y < z alors x < z • Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie RR  R. • En particulier, si on utilise la composition max-min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si : • (x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y), fR(y,z))

38. Principe d'extension (1) • Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs.

39. Entrée précise

40. Entrée floue

41. Principe d'extension (2) • Idée: possédant une fonction sur un univers classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X. • Définition: Étant donné un sef A de X, et une application  de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par  : • yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon • Le sef B est l'image du sef A par la fonction .

42. Exemple d'application du principe d'extension (1) • X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport) • Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses) • On définit la fonction qui associe une vitesse à un moyen de transport : • (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R • Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane • Mesure de la vitesse d'un side-car? • fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 • fB(N)= fsc(voiture)= 0.4 • fB(R)= fsc(moto)= 0.5

43. Exemples d'application du principe d'extension (2) • Fonction mathématique classique : (x)= x2 • A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la A2. • y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon • Mesure de surprise : (p)= -log(p) • A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A.