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  1. Ch15 Support Vector Machines andMachine Learning on documents 2010. 1. 25. 최성빈

  2. Introduction • 최근 20년 간, 분류기의 효과성을 향상시키기 위한 연구의 결실로, support vector machine, boosted decision tree, regularized logistic regression, neural network, random forest와 같이 새로운 분류기들이 등장했다. • 이러한 방법론 중 다수는, 정보검색문제 특히 문헌분류에 적용되어, 성공적인 모습을 보여왔다. • SVM은 large-margin classifier의 하나이다. • SVM은 vector space기반의 machine learning 기법이다. • SVM의 목적 training data에서, 두 클래스의 어떤 point로부터도 최대한 멀리 떨어져 있는, 두 클래스 간의 decision boundary를 찾는 것

  3. Introduction • 다른 machine learning기법이 이 작업에 적용된바 있음에도, SVM의 사용이 두드러져 왔다. • SVM이 항상 다른 machine learning기법보다 좋은 것은 아니지만, 가장 최신의 성능을 보여주고 있으며, 현재 이론적 및 실험적인 측면에서 많은 매력을 가지고 있다.

  4. Introduction • 15.1 Support vector machines: The linearly separable case : two-class data sets, separable by a linear classifier • 15.2 Extensions to the SVM model : multiclass problem, non-separable data, nonlinear models, other issues • 15.3 Issues in the classification of text documents • 15.4 Machine learning methods in ad hoc information retrieval

  5. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 14.8의그림에서와 같이 two-class의 분리가능한 training data set에서 많은 수의 선형 분류기가 존재한다. • 직관적으로, 두 클래스의 data item들 가운데를 지나는 decision boundary가, 하나 혹은 두 클래스와 매우 가깝게 지나가는 decision boundary보다 좋아 보인다.

  6. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 퍼셉트론, Naïve Bayes와 같은 학습기법들은, 특정 기준에 따라 가장 성능이 좋은 어떤 선형분류기를 찾는다. • 특히 SVM은, 그 기준을, 어떤 data point로부터도 가장 멀리 떨어져 있는 결정면(decision surface)을 찾는 것으로 정의한다.

  7. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 결정면에서 가장 가까운 data point와 결정면과의 거리가, 분류기의 margin이 된다. • SVM의 분류기의 위치를 정의하는 decision function은, data point의 일부분으로 특정지을 수 있다. - 이 data point들을 support vectors라고 한다. • support vector외의 다른 data point들은 결정면을 선택하는데 있어 아무 역할을 하지 못한다.

  8. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 결정면 근처에 data point가 위치한다는 것이 매우 불확실한 분류 결정을 의미하기 때문에, margin을 최대화하는 것은 좋은 것이다. • 큰 margin을 가지는 분류기는, 확실성이 낮은 분류 판단을 내릴 가능성이 없어진다. • 이것은 classification safety margin을 제공한다. : slight error in measurement나 slight document variation이 있더라도, 이것이 오분류로 이어지지 않는다.

  9. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • SVM분류기는 결정면 근처에서 large margin을 제공한다. • decision hyperplane과 비교해서, 클래스 사이에 fat separator를 위치한다면 그것을 어디에 위치할지에 대해 적은 가지 수의 선택권을 가지게 된다. • 그 결과로, 모델의 memory capacity가 감소하고, 따라서 test data로의 정확하게 일반화하는 능력이 증가할 것을 기대할 수 있다. (bias-variance tradeoff에 대한 14장의 논의와 같이)

  10. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • SVM을 수식으로 정형화해 보자 • 14장(278page)에서 말했듯이, decision hyperplane은 intercept term b와 decision hyperplane의 normal vector w 로 정의될 수 있다. ( w 는 machine learning문헌에서 종종 weight vector로 언급된다) • normal vector w 에 수직인 모든 hyperplane중 하나를 선택하기 위해, intercept term b를 특정한다. • hyperplane은 normal vector와 수직이므로, hyperplane의 모든 벡터 x는 를 만족한다.

  11. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • training data의 집합 을 가지고 있다고 가정하고 • 두 데이터 클래스는 +1, -1으로 이름 붙인다. • intercept term은 에 합쳐서 넣지 않고, 외부로 떼어내어 b로 표현한다. (rather than being folded into the weight vector w by adding an extra always-on feature) • 이 경우, 선형분류기는, • 의 값이 1이 나오면 +1 클래스 의 값이 -1이 나오면 -1 클래스 로 분류된다.

  12. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • point를 분류하는데 있어, 결정면에서 멀리 떨어져 있는 point를 분류하는 것은 확신을 가질 수 있다. • 주어진 data set과 decision hyperplane에서 i번째 예 벡터의 hyperplane으로부터의functional margin을 정의하고 이것은값을 가진다.

  13. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • decision surface에 대한 data set의 functional margin은, minimal functional margin을 가지는 data set의 어떤 point보다 2배의 값을 가진다. The functional margin of a data set with respect to a decision surface is then twice the functional margin of any of the points in the data set with minimal functional margin (the factor of 2 comes from measuring across the whole width of the margin, as in Figure 15.3)

  14. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • decision surface에 대한 data set의 functional margin은, minimal functional margin을 가지는 data set의 어떤 point보다 2배의 값을 가진다. The functional margin of a data set with respect to a decision surface is then twice the functional margin of any of the points in the data set with minimal functional margin (the factor of 2 comes from measuring across the whole width of the margin, as in Figure 15.3)

  15. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 앞의 Functional margin의 정의를 그대로 사용하기에는 문제가 있다. : The value is underconstrained. • w벡터와 b 에 임의의 수를 곱해줌으로서, functional margin을 마음대로 조절할 수 있다. ex> 를 로 하고, b를 5b로 하면 functional margin이 되어 5배가 된다 • w 벡터의 크기에 제약을 줄 필요가 있다. 이 말을 이해하기 위해, 실제 geometry를 살펴보자

  16. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • r : decision hyperplane과 간의 실제 거리 (Euclidean distance) • data point와 decision hyperplane간의 최단거리는 decision hyperplane에 수직이다. 따라서 에 평행하다. • 이 방향에서, 단위 벡터는 이다.

  17. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 에 가장 가까운 decision hyperplane의 접점 부위를

  18. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • Geometric margin은 scaling of parameter에 따라 변하지 않는다. • functionalmargin은 마음대로 scaling할 수 있으므로, 큰 SVM문제 풀이의 편의를 위해, 모든 data point의 functional margin이 최소한 1 이상이 되도록 선택한다. 적어도 하나의 data point는 functional margin이 1이어야 한다. • Geometric margin

  19. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • SVM의 목표는 다음을 충족하는 와 b를 찾는 것이다. • 최대화 문제를 최소화 문제로 변형 • 선형 조건을 가진 2차 함수의 최적화 문제 : Quadratic Optimization problem

  20. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • Quadratic Optimization problem은 잘 알려진 수학적인 최적화 문제이며, 많은 solving algorithm이 존재한다. • Standard quadratic programming library를 이용해서 SVM을 만들 수도 있지만, 최근 이 부분에 많은 연구가 있어왔고, 그에 따라 보다 섬세하면서도 빠르고 확장 가능한 library들도 사용 가능하다. 이러한 알고리즘의 세부 사항에 대해서는 여기서 다루지 않겠다. • However, it will be helpful to what follows to understand the shape of the solution of such an optimization problem.

  21. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • Solution: • Lagrange multiplier 가 primal problem의 각 constraint 와 연관되어 있는 dual problem,을구성한다.

  22. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case

  23. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 는 대부분 0의 값을 가진다. • xi가 supporting vector인 경우만 non-zero값을 가진다. • 최적화 문제 및 결정 함수에서, 두 point간의 내적 계산을 포함한다. - point를 사용해서 계산하는 유일한 방법

  24. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case Overview • Training data set에서 시작 Data set은 특이적으로 best separating hyperplane을 정의함 • quadratic optimization procedure에 data를 줘서, 이 hyperplane을 찾아낸다. • 새로 분류할 data point가 주어지면 분류함수를 이용 계산을 수행한다. 분류함수 결과값의 부호가, data point의 class를 결정한다.

  25. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case • 포인트가 분류기의 마진 (혹은 오분류를 피하기 위해, 사전에 임의로 정한 confidence threshold t) 내에 위치하는경우, 분류기는 “알 수 없음” 결과를 낼 수 있다. • 분류함수의 결과값은 probability of classification으로 변환될 수 있다. : 값을 Sigmoid로 변환하는 것이 일반적인 표준이다.(Platt 2000) • margin이 일정하기 때문에, 만약 모델이 다양한 소스로부터 얻은 차원을 가지고 있다면, 섬세한 rescaling이 요구될 수 있다. (However, this is not a problem if our documents (points) are on the unit hypersphere)

  26. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case

  27. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case Example 15.1 • Figure 15.4의 매우 작은 data set에서 SVM을 생성하는 것을 생각해본다. yi : x (x1, x2) • 1 : (2,3) • -1 : (1,1), (2,0)

  28. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case Example 15.1 • Figure 15.4의 매우 작은 data set에서 SVM을 생성하는 것을 생각해본다. yi : x (x1, x2) • 1 : (2,3) • -1 : (1,1), (2,0) SVM decision boundary • y = x1 + 2x2 – 5.5

  29. 15.1 Support vector machines:The linearly separable case Example 15.1 • Figure 15.4의 매우 작은 data set에서 SVM을 생성하는 것을 생각해본다. yi : x (x1, x2) • 1 : (2,3) • -1 : (1,1), (2,0) SVM decision boundary • y = x1 + 2x2 – 5.5

  30. 15.2 Extensions to the SVM model 15.2.1 Soft margin classification • 텍스트 분류와 같이 high dimensional problem이 흔한 경우, 데이터가 linearly separable한 경우도 있지만, 일반적으로 그렇지 않은 경우가 대부분이다. 설사, 선형 분리 가능한 경우라도, 몇몇 특이한 noise document를 무시해서 데이터를 더 잘 분리할 수 있는 해법을 찾는 것이 낫다. • training data가 선형 분리 불가능한 경우, decision margin이 몇 개의 mistake를 만들 수 있도록 허용한다. • 그리고 오분류된 사례에는 >1 방정식의 margin 요구조건에서 얼마나 멀리 떨어져 있는 가에 대해 비용을 매긴다. • 여기에 이란 개념을 도입한다.

  31. 15.2.1 Soft margin classification • Slack variable의 개념을 포함하는 SVM optimization problem • 최적화 문제는 이제, 얼마나 margin을 두텁게 할 수 있는가 vs 이 margin을 허용하기 위해 얼마나 많은 점을 이동시켜야 하는가 간의 trade off이다. • 을 0보다 크게 함으로서,margin이 1보다 작은 값을 가질 수 있지만, 최소화 문제에서 그만큼 더 더해짐으로써, penalty를 받게 된다. • soft margin classifier는 margin에 대해 교환된 training error를 최소화한다. • Parameter C는 overfitting을 통제하기 위한 regularization term이다.

  32. 15.2.1 Soft margin classification • soft margin classification의 dual problem • dual problem의 답 • 의 값을 명시적으로 알 필요는 없다. (data point들과의 dot point로 할 수 있다)

  33. 15.2.1 Soft margin classification • 일반적으로, training data의 작은 일부분만이 support vector이다. • 하지만, linearly nonseparable하거나, small margin을 가지는 문제의 경우, 오분류된 데이터 포인트나 margin안에 있는 포인트는 0이 아닌 값을 가지게 될 것이다. 이러한 포인트 집합이 늘어날 수록, SVM의 testing time에 큰 지연을 가져온다.

  34. 15.2.1 Soft margin classification • 선형 SVM의 training 및 testing의 complexity는 Table 15.1에 나와있다. • SVM의 training time은 대부분 QP(Quadratic Programming)을 푸는 데 들어간다. 따라서, 풀이 방식에 따라 이론적 및 경험적 complexity는 다를 수 있다. • Kozlov(1979)에 의하면, QP를 푸는데 표준 시간은 data set 크기의 세제곱에 비례한다. • 최근 SVM의 연구는 이러한 복잡도를 줄이기 위해 노력했으며, approximate solution에 의해 만족스러운 결과를 내고 있다. • 표준적으로 실험적인 complexity는 정도 이다. • 하지만 전통적인 SVM의 superlinear training시간은, 매우 큰 dataset을 가지는 경우에는 SVM의 사용을 어렵거나 불가능하게 하고 있다.

  35. 15.2.1 Soft margin classification • training example의 숫자에 선형인 Alternative traditional SVM solution 알고리즘은, text와 같이 큰 가지 수의 feature를 가지는 경우에 확장이 어려워진다. • 하지만 cutting plane technique에 기반한 새로운 training algorithm은, running time을 training example의 수 및 nonzero feature의 수에 선형으로 가짐으로서, 희망적인 답을 내고 있다. • 그럼에도, quadratic optimization을 하는 실제 속도는, 단순히 term을 세기만 하는 Naïve Bayes model보다 매우 늦다. • svmalgorithm을 비선형 SVM으로 확장하는 경우, 표준적으로 training complexity가 factor 만큼 증가되어, 비실용적이다. • 실제로는, higher order feature를 직접 계산(materialize)해서 선형 SVM을 훈련시키는 것이 종종 더 저렴하다.

  36. 15.2.2 Multiclass support vector machines • SVM은 본래 two-class 분류기이다. SVM을 multi-class classification에 사용하는 전통적인 방법은 Section 14.5에 소개된 바 있다. • build |C| one-versus-rest classifier (one-versus-all classification) : class 개수 만큼의 분류기를 생성한 뒤, 테스트 데이터가 가장 큰 마진을 가지는 class를 선택한다. • build a set of one-versus-one classifiers : |C| ( |C| -1 ) / 2 분류기를 생성한 뒤, 가장 다수의 분류기에 의해 선택된 class를 선택 : 분류기 수는 많지만, 각 분류기 별 training set의 크기는 감소하므로, 실제 training시간은 더 적을 수 있다.

  37. 15.2.2 Multiclass support vector machines • 보다 나은 대안: Structural SVM • (input feature, 데이터의 class) 의쌍으로 구성된, feature vector 에 대하여 two-class classifier를 생성한다. margin during training : correct class의 값과 nearest other class의 값 간의 차이 constraint: • testing시에, 하는 분류기를 선택한다.

  38. 15.2.2 Multiclass support vector machines • 이러한 방법은, 다양한 선형 분류기의 multiclass formulation으로 확장될 수 있다. • 이것은 또한, class가 독립적인, categorical label이 아닌, 그들 사이의 관계를 가지고 있는 임의의 구조화된 객체들 에 대한 분류의 일반화이다.

  39. 15.2.3 Nonlinear support vector machines

  40. 15.2.3 Nonlinear support vector machines • General idea : 원래 feature space를, training set이 분리 가능한 higher dimensional feature space로 mapping • SVM과 몇몇 선형 분류기들은, higher dimensional space로 mapping을 수행하는 데 있어, kernel trick이라 불리는 쉽고 효율적인 방법을 제공한다. • 커넬 함수 K는, 확장된 feature space에서 doc product에 해당하는 함수이다.

  41. 15.2.3 Nonlinear support vector machines

  42. 15.2.3 Nonlinear support vector machines • 기능적으로 분석할 때(In the language of functional analysis), 어떤 커넬 함수가 유효한(valid) 커넬 함수인가? • 커넬함수는, Mercer’s condition을 만족해야 하므로, 보다 정확히는 Mercer kernels라고 불리운다. • 커넬 함수 K는 연속적이고(continuous), 대칭적이며(symmetric), positive-definite gram matrix를 가져야 한다. • 그러한 K는, 함수 K와 같은 값을 가지는 doc product가 있는,reproducing Hilbert space로의 mapping이 존재한다는 것을 의미한다.

  43. 15.2.3 Nonlinear support vector machines • 커넬이Mercer’s condition을 만족하지 못하면, Quadratic Programming은 해답이 없을 수 있다. • 이러한 Issue들에 대해 더 잘 이해하고자 한다면, References의 SVM관련 서적을 참고하라. • 그렇지 않다면, 이 사실에 안도해도 된다. 커넬과 관련된 일의 90%는, 다음에 소개할 두 가지 함수를 사용한다. • 가장 흔히 사용되는 두 가지 커넬은, Polynomial kernel과 radial basis function이다.

  44. 15.2.3 Nonlinear support vector machines Polynomial Kernel • d = 1 인 경우, linear kernel • d = 2 인 경우, quadratic kernel

  45. 15.2.3 Nonlinear support vector machines Radial basis function 가운데 가장 흔한 형태는, Gaussian distribution이다. • radial basis function은, 무한 차원의 Hilbert space로 data를 mapping하는 것과 동일(equivalent)하다. 그래서 radial basis function을 구체적으로 표현하는 것은 불가능하다. • 이 두 함수 외에도, 커넬 개발과 관련해 흥미 있는 연구들이 있었으며, 일부는 텍스트 영역에 유망한 것이다. 그 중에서도 특히,string kernel에 대한 연구가 있었다.

  46. 15.2.3 Nonlinear support vector machines • SVM의세계는 자신만의 언어를 가지고 있으며, 다른 machine learning 분야의 언어와 다른 부분이 있다. • Terminology의 깊은 뿌리는 수학에 두고 있다. • 하지만 terminology 때문에 지나치게 두려워 하지 않는 것이 중요하다.