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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2. - PowerPoint PPT Presentation


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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2. Argomenti della lezione. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi. Massimi e minimi liberi. FORMULA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Ricordiamo la formula di Taylor,

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Presentation Transcript
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CALCOLO

DIFFERENZIALE

PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

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Argomenti della lezione
  • Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi.
  • Massimi e minimi liberi.
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FORMULA DI TAYLOR

PER FUNZIONI DI PIÙ

VARIABILI

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Ricordiamo la formula di Taylor,

con il resto alla Lagrange,

per le funzioni di una variabile:

Se f : U  RR, è una funzione n+1

volte derivabile in un intorno Udel

punto x0, allora esiste un solo

polinomio Tn(x), detto di Taylor, di

grado ≤ n, tale che

f(x)= Tn(x)+ rn(x)

con rn(x)= ((Dn+1f)()/(n+1)! )(x-x0)n+1 , 

compreso tra x e x0.

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(Dkf)(x0)

_______

n

(x-x0)k

Tn(x)=

k!

k=0

rn(x)= (x)(x-x0)n , con (x)0

per x  x0 , ossia

rn(x)= o((x-x0)n)

Vediamo come questa formula

ci permetta di ottenerne una simile

per le funzioni di più variabili.

Iniziamo dal caso di due variabili.

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Teorema

(di Taylor, per funzioni R2 R )

Se f : A  R2 R, ha derivate continue

fino all’ordine n+1, allora

f(x,y)= Tn(x,y)+ rn(x,y), con

rn(x,y)= o(|(x,y)T-(x0,y0 )T|n)

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F’’(0)

F (n)(0)

F (n+1)()

______

________

_____

tn +

tn+1

+ t2 + … +

2!

n!

(n+1)!

Siano h e k, le due componenti di

un vettore “incremento” di (x0,y0)T

in R2. v = (h,k)T, (x,y)T = (x0,y0)T + v.

L’equazione del segmento che va da

(x0,y0)T a (x,y)Tè:

(x(t),y(t))T = (x0 + th,y0 + tk)T, 0 ≤ t ≤ 1.

Prendendo come punto base t0=0,

si trova:

F(t) = f (x0 + th,y0 + tk) = F(0) + F’(0)t +

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F’’(0)

F (n)(0)

F (n+1)()

______

________

_____

, (0<<1)

+

+ + … +

2!

n!

(n+1)!

Con  compreso tra 0 e t.

In particolare, prendendo t=1 :

F(1) = f(x0 + h,y0 + k) = F(0) + F’(0)+

Si tratta ora di calcolare, utilizzando

la formula di derivazione di funzione

composta, i vari contributi presenti

nella formula di Taylor-Lagrange.

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F(0) = f(x0,y0),

F’(0) = Dt(f x(t),y(t))(0) = (D1f)(x0)h+(D2f)(x0)k,

F’’(0)= Dt2 (f x(t),y(t))(0)=( D11f)(x0)h2+

+(D21f)(x0) kh +(D12f)(x0)hk +(D22f)(x0)k2=

=(D11f)(x0)h2 +2(D21f)(x0) kh +(D22f)(x0)k2

Nell’ultima formula abbiamo utilizzato

il Teorema di Schwarz.

slide10
2

F(p)(0) = 

f)(x0,y0) vi1vi2   vip

(Di1i2…ip

i1, i2,…, ip = 1

Definiamo d2f(x0,y0)(v,v) = F’’(0) =

=  (Di1i2 f )(x0,y0)vi1vi2.

2

i1, i2= 1

In generale se, v1=h e v2=k:

Sappiamo che F’(0) = df (x0,y0) (v).

slide11
2

F(p)(0) = 

f)(x0,y0)vi1vi2   vip

(Di1i2…ip

i1, i2,…, ip = 1

Definiamo in generale

dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =

Usando la notazione dei differenziali

successivi, la formula di Taylor-

Lagrange diviene

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dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,…,v,v) =

2

=

f)(x0+h,y0+k)vi1vi2   vinvin+1

(Di1i2… in , in+1

i1, i2,…, in , in+1= 1

f(x0 + v) = f (x0) + df(x0,y0)( v) +(1/2!) d2f(x0,y0)(v,v)

+ … + (1/n!)dnf(x0,y0)(v,v,..,v) +

+ (1/(n+1)!)dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,..,v,v)

Osserviamo che

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2

f)(x0+h,y0+k)vi1vi2   vinvin+1 =

(Di1i2… in , in+1

i1, i2,…, in , in+1= 1

2

=|v|n+1

f)((x0,y0)+vT)i1i2inin+1

(Di1i2… in , in+1

i1, i2,…, in , in+1= 1

Ma su una sfera chiusa e limitata di

centro (x0,y0)e raggio |v|le derivate

d’ordine n+1sono tutte limitate da una

costante M e v = |v| , con  versore.

slide14
2

|

≤|v|n+1

M  i1 i2   in in+1 |≤

i1, i2,…, in , in+1= 1

Perciò

|dn+ 1fx0+ vT(v,v,…,v,v)|≤

≤ M  2(n+1)|v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n).

Infatti v = (x,y)T-(x0,y0)T.

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Se f : A  Rm R, è una funzione di

classe Cn+1(A), allora vale un teorema

analogo al precedente per funzioni

delle m variabili x1, x2, … , xm.

Non lo enunciamo per brevità.

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2

F(p)(0) = 

f)(x0 ,y0)vi1vi2   vip

(Di1i2…ip

i1, i2,…, ip = 1

Abbiamo definito il differenziale

p-esimo in (x0,y0)T valutato

sull’incremento v= (h,k)T di (x0,y0)T:

dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =

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p!

∂pf

_____

______

(x0,y0) dxr dys

dpf(x0,y0) =

∂xr ∂ys

r! s!

r+s=p

Se la derivazione è fatta r volte

rispetto a x e s volte rispetto a y,

(r+ s = p), tenendo presente che

dx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordando

il Teorema di Schwarz, si può

verificare che:

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∂2f

∂2f

____

____

(x0,y0) dx2 + 2

(x0,y0) dx dy

d2f(x0,y0) =

∂x2

∂x∂y

∂2f

____

(x0,y0) dy2

+

∂y2

In particolare, per il differenziale

secondo si ha:

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∂2f

m

______

(x10,x20,.. ,xm0) dxi dxj

d2fx0=

∂xi∂ xj

i,j =1

Per funzioni di m variabili:

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Ricordiamo che, data una funzione

f : A  Rm R , A aperto, un punto

x0  A si dice che x0 è punto di

massimo relativo per f se esiste un

intorno U del punto (per es. una

sfera aperta di centro x0) tale che

per ogni x  U vale

f(x) ≤ f(x0)

Se per ogni x  U vale invece

f(x) ≥ f(x0)

x0 si dice punto di minimo relativo per f

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Si dice che x0 è punto di massimo

(minimo) assoluto per f : A  Rm R ,

se per ogni x A vale f(x) ≤ f(x0)

( rispettivamente f(x) ≥ f(x0) )

Vale il seguente

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Teorema

(di Fermat)

Sia f : A  Rm R, A aperto. Sia x0  A

punto di massimo o di minimo relativo

e sia f derivabile in x0. Allora

f(x0)= 0 .

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Basta ricordare che la funzione

g1(t) = f(t,x20,..,xm0)

ha max o min relativo in x10 e quindi

g1’(x10) = 0 = D1f (x10,x20,..,xm0) .

Analogamente

g2(t)=f(x10,t,..,xm0), … , gm(t)=f(x10,x20,..,t)

hanno max o min relativo in x20 ,..,xm0

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e quindi

g2’(x20) = 0 = D2f (x10,x20,..,xm0)

…...

gm’(xm0) = 0 = Dmf (x10,x20,..,xm0)

Dunque

f(x0)= 0 .

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I puntix0  A , nei qualif(x0)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A.

I punti di massimo o minimo

relativo di una funzione definita su

un aperto A  Rm sono da ricercarsi,

se f è differenziabile in A, per

esempio se fC1(A), tra quelli che

soddisfano le m equazioni

Dkf (x1,x2,..,xm)=0, k = 1,…,m .

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