Grandezze e funzioni

1. Grandezze e funzioni Marco Bortoluzzi

2. Grandezze • Sappiamo che una grandezza è una proprietà che può essere misurata, si può cioè assegnarle un valore seguito da una unità di misura e la misurazione si può eseguire con uno strumento di misura appropriato. • Esempi di grandezze: lunghezza, tempo, temperatura, massa, peso, velocità … • Non sono grandezze: la bellezza, la bontà,la simpatia …

3. Grandezze costanti e variabili • Una grandezza è costante se il suo valore rimane invariato, cioè non cambia(ad es. l’altezza di una casa, la distanza tra due luoghi, il peso di un oggetto …) • Una grandezza è variabilese il suo valore varia, si modifica, quindi cambia(ad es. la temperatura esterna, indice della borsa, soldi incassati in un supermercato …)

4. FUNZIONE • Quando una grandezza varia, il suo variare può dipendere da un’altra grandezza anch’essa variabile. • Tra le due grandezze si stabilisce un legame, in quanto una di esse DIPENDE dall’altrae questolegame si chiama FUNZIONE • Ad esempio: la temperatura esterna dipende dall’ora del giorno  la temperatura esterna è funzione dell’ora del giorno, il peso di un oggetto è funzione del suo volume …

5. FUNZIONE • Se una grandezza varia e il suo “variare” non è casuale, ma dipende da quello di un’altra grandezza(e quindi una è funzione dell’altra) allora quella che “dipende” si chiama variabile dipendente y mentre la grandezza che varia ma in modo autonomo si chiama variabile indipendente x. • Una funzione in cui y dipende da x si indica: y = f(x) [y è funzione di x, y varia al variare di x, …]

6. FUNZIONI EMPIRICHE • Una funzione si dice EMPIRICA se non segue leggi matematiche: la variabile dipendente y si ricava mediante rilevazione di dati (facendo un esperimento, misurando i valori …) . • Esempi di funzioni empiriche sono - la temperatura in funzione del mese dell’anno, - i soldi incassati dal negozio in funzione del giorno, - la quantità di pioggia caduta in funzione del mese dell’anno considerato …

7. ESEMPIO DI FUNZIONE EMPIRICA

8. FUNZIONI MATEMATICHE • Una funzione si dice MATEMATICA se segue leggi matematiche: la variabile dipendente y si ricava mediante operazioni matematiche che si fanno sulla variabile indipendente x. • Ad esempio il perimetro di un quadrato (y) è funzione del lato (è sempre il quadruplo), la spesa per dei quaderni del costo di 2 euro l’uno in funzione del numero di quaderni comprati (sempre il doppio del numero dei quaderni …)

9. ESEMPIO DI FUNZIONE MATEMATICA • y = 2x significa che “il valore di y dipende dalla x nel senso che y è il doppio del valore corrispondente di x” • y = 3x +2 “il valore di y si ottiene facendo il triplo di x e poi aggiungendo 2” • y = 4 / x “il valore di y si ottiene dividendo il numero 4 per il valore di x corrispondente”

10. Rappresentare una funzione sul piano cartesiano • Ho la funzione y = f(x) Ad esempio y = 2x +1 • Disegno il I quadrante del piano cartesiano • Costruisco la tabella dei valori • Scelgo alcuni valori di x (di solito in modo opportuno) e ricavo i valori di y corrispondenti • A questo punto rappresento i punti nel piano e li unisco … ottenendo il grafico della funzione.

11. Grafico della funzione y = 2x + 1 Rappresentazione grafica della funzione matematica y = 2x +1 Si vede che unendo i punti ottenuti dalla tabella dei valori si ottiene una semiretta che parte dal punto (0,1) y x

12. Grandezze direttamente proporzionali • Due grandezze sono direttamente proporzionali quando: • se una raddoppia anche l’altra raddoppia, se una triplica anche l’altra triplica, se una si dimezza anche l’altra si dimezza … • in questo caso il rapporto tra le due grandezze è sempre uguale, è costante cioè k = y / x • In questo caso k si chiama “costante di proporzionalità diretta” • la funzione è y = k·x e il grafico è quello di una semiretta che parte dall’origine degli assi O (0,0)

13. Esempi di grandezze direttamente proporzionali • Il perimetro di un triangolo equilatero è direttamente proporzionale al lato del triangoloy = 3∙x dove y (perimetro) e x (lato)Se raddoppio il lato il perimetro raddoppia es. se il lato è 3cm il perimetro è12 cm; se il lato è 6 cm il perimetro è 24 cm. • La spesa per l’acquisto di giornalini in funzione del numero di giornalini acquistati (se un giornalino costa ad es. 6 €)y = 6∙x dove y (spesa) e x (numero giornalini) Se i giornali sono 4 la spesa è 24€; se sono 8 la spesa è 48€

14. Grafico in caso di grandezze direttamente proporzionali Si vede che se aumenta x, aumenta anche y nel senso che se x raddoppia y raddoppia, se x quadruplica y quadruplica(es. se x va da 2 a 4 , y va da 6 a 12 …) Si osserva che per ogni coppia di valori il rapporto tra y e x è sempre lo stesso, è costante: k = y/x quindi k = 3 Allora la funzione è y = 3x e il grafico è quello di una semiretta che parte da O(0;0) y x

15. Grandezze inversamente proporzionali • Due grandezze sono inversamente proporzionali quando: • se una raddoppia l’altra si dimezza, se una triplica l’altra diventa un terzo, se una diventa un quinto l’altra diventa cinque volte di più e così via… • in questo caso il prodotto tra le due grandezze è sempre uguale, è costante cioè h = y ∙ x • In questo caso h si chiama “costante di proporzionalità inversa” • la funzione è y = h/x e il grafico è quello di un ramo di iperbole che scende (se x aumenta y diminuisce) e tende a toccare entrambi gli assi senza raggiungerli

16. Esempi di grandezze inversamente proporzionali • La basee l’altezzadi un rettangolo sono inversamente proporzionali se si vuole mantenere l’area uguale. Ad esempio un rettangolo di area 60 m2 può avere base 1 cm e altezza 60 cm, ma se raddoppio la base a 2 cm l’altezza deve dimezzarsi 30 cm, se triplico la base 3 cm l’altezza diventa un terzo 20 cm (1∙60, 2∙30, 3∙20 ..) Il numero di giorni per costruire un muretto è funzione del numero di operaisecondo una proporzinalità inversa: se 1 operaio ci impiega 12 giorni, 2 operai 6 giorni… Il tempo impiegato per andare da un posto ad un altro è funzione della velocità: se raddoppio la velocità il tempo diventa la metà, se dimezzo la velocità il tempo diventa il doppio …

17. Grafico in caso di grandezze inversamente proporzionali y Si vede che se aumenta x, diminuisce y nel senso che se x raddoppia y si dimezza, se x triplica y diventa un terzo (es. se x va da 1 a 2, y va da 12 a 6 …)Si osserva che per ogni coppia di valori il prodotto tra y e x è sempre lo stesso, è costante: h = y·x quindi h= 12 Allora la funzione è y = 12/x e il grafico è quello di un ramo di iperbole ) x

18. Funzioni quadratiche • Le funzioni quadratiche sono funzioni in cui il valore di y dipende dal quadrato di x , quindi da x2 • La funzione quindi avrà questa forma: y = a ∙ x2 dove a è un numero intero o frazionario … Esempio: area di un quadrato in funzione del latoy = x2 (l=3cm, A= 9cm2; l=4 cm, A = 16 cm2…) Si ottiene una curva detta arco di parabola.

19. Grafico in caso di funzione quadratica y Si vede che se aumenta x, y aumenta con il quadrato di x In questo caso y = x2 e il grafico è quello di un ARCO DI PARABOLA x