Atelier Matrices et Suites en spécialité S

1. Atelier Matrices et Suites en spécialité S Regroupement inter académique. Décembre 2011 – Montpellier Inspection régionale de Montpellier Frédéric Laroche

2. Matrices, Graphes et Suites Introduction des matrices et des graphes dans l’enseignement de spécialité de terminale S, comment ? Des exemples de situations en lien avec les recommandations du programme

3. Introduire les matrices : Jeunes et vieux (arbres) On distingue les jeunes et les vieux. Un « état » de la population est un point du plan de coordonnées (J, V). On observe la population : la période choisie est la moitié de la durée de vie moyenne, tous les jeunes sont devenus vieux avec un taux c ou sont morts (taux 1 - c) et tous les vieux sont morts ; mais chaque classe a « produit » une certaine quantité de jeunes avec les taux d’apparition a (pour les jeunes) et b (pour les vieux). (Jn) et ( Vn) sont les nombres de jeunes et de vieux lors du n-ième recensement. Ecrire les relations entre les vecteurs (Jn, Vn) puis étudier les comportements des populations. Par exemple avec

4. Doudou, un exemple commenté qui met en relation notions du programme et problème

5. Doudou, un exemple commenté qui met en relation notions du programme et problème

6. Le programme • Matrices et suites : Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices. • On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel. Exemples de problèmes Marche aléatoire simple sur un graphe à deux ou trois sommets. Marche aléatoire sur un tétraèdre ou sur un graphe à N sommets Etude du principe du calcul de la pertinence d’une page Web. Modèle de diffusion d’Ehrenfest Modèle proie prédateur discrétisé

7. Doudou et le programme

8. Chaines de Markov homogènes On considère - un espace d’état E = {1, 2 , … m} qui correspond aux issues possibles d’une expérience aléatoire, - à tout instant n, les variables aléatoires Xn à valeurs dans E qui décrivent le système. • Si la loi de Xn+1 ne dépend pas de l’histoire du système mais seulement de Xn : on dit que (Xn)n  N est une chaine de Markov ; • Si elle ne dépend pas non plus de l’instant n elle esthomogène.

9. Ce qui compte finalement est la connaissance des probabilités de passage d’un état i à un état j pour i et j variant de 1 à m : • D’où l’intérêt d’une représentation sous forme d’un graphe (pas toujours évident) dont les sommets sont les états, ce qui permet d’écrire la matrice de transition • La probabilité de transition de passer en n étapes de l’état i à l’état j est le terme ij de la matrice Pn.

10. Si on note sous forme de vecteur ligne la loi de probabilité de Xn : alors on a • Si on a une loi stationnaire , souvent limite des lois n, elle vérifie les équations • Le temps de retour moyen de l’état i à l’état i est l’inverse de la probabilité pi.

11. Introduire les matrices : Quel temps fait-il à Brest ? Aux mois de décembre, janvier et février, le temps à Brest est à peu près le suivant : il n’y a que deux états : pluvieux ou beau. S’il pleut un jour alors il repleut le jour suivant avec la probabilité 2/3. S’il fait beau, alors il refait beau avec la probabilité 3/4. 1. Aujourd’hui il fait beau (resp. il pleut) ; combien de temps en moyenne attendrons nous un autre jour de beau temps ? (resp. mauvais temps.) 2. Quelle est la proportion de beaux jours en hiver ?

12. Modélisation avec un graphe Le problème du collectionneur Dans chaque paquet de café BlackSabbath on trouve une figurine de collection. La série complète comprend 4 figurines. Combien de paquets faut-il acheter pour obtenir la collection complète ? Questions : • Quels sont les états à choisir ? • Quelle variable aléatoire choisir ?

13. Solution • 1. Graphe : • 2. Matrice de transition • 3. Xi = nombre de paquets à acheter pour passer de l’état i à l’état i+1 : on a

14. Transfert de bits Un message codé de façon binaire est transmis à travers un réseau. Chaque bit est transmis avec une probabilité d’erreur égale à a pour un passage de 0 à 1, égale à b pour un passage de 1 à 0 (a et b différents de 0 et 1). On suppose que les relais se comportent indépendamment les uns des autres et que les erreurs sur les bits sont indépendantes. On souhaite calculer la taille du réseau (la valeur de n) au delà de laquelle la probabilité de recevoir une erreur est supérieure à ε. On pourra noter L la longueur du message

15. Solution • L = 1 : Matrice de transition • On pose d’avoir un 0 au ne relais : • Point fixe : d’où • Pour répondre à la question, on a la mêmeloi Xk sur chaque bit d’où : • Un algorithme pour conclure…

16. Échange de particules • Un récipient creux est divisé en deux chambres A (ou 0) et B (ou 1) par une paroi percée d'un trou. • n molécules se trouvent primitivement en A • Le système évolue irréversiblement vers un état d'équilibre dans lequel chaque chambre contiendra finalement à peu près n molécules, ce qui est vérifié par l'expérience. • Le système est un mot de trois bits ; les 8 états possibles sont représentés par les sommets d'une boîte. • Les trois boules sont en 000 qui vont vers l'un des sommets voisins : à chaque instant, un des trois chiffres est inversé. • Promenade symétrique sur un cube. On peut facilement écrire la matrice P de transition, à 8 lignes et 8 colonnes.

17. Comme P est bistochastique (somme des termes de chaque ligne et de chaque colonne égale à 1), on obtient la répartition stationnaire • Après un temps très long tous les sommets auront reçu le même nombre de visites : l'intervalle moyen entre deux visites à un même sommet est 8, d'où l'irréversibilité parfaite (avec n particules le temps de retour à un sommet est 2n).

18. Modèle macroscopique • Les boules ne sont plus discernables ; les sommets de la boîte ayant même somme de leurs trois chiffres sont regroupés, on utilise la promenade aléatoire (les états sont le nombre de boules dans B): • On a : avec p0=p3, p1=p2, p0+p1+p2+p3=1, soit : • et les temps de retour : • En général on aura une loi binomiale…

19. Séries de 1 • Soit Un une suite de variables aléatoires valant 1 avec probabilité p et 0 avec probabilité 1 – p. • Appelons Nn le nombre de 1 consécutifs avant le n-ième tirage. Par convention N0 = 0 et Nm = 0 si le m-ième tirage est 0. • Il est facile de vérifier que • 1. Déterminer la matrice de transition de Nn. • 2. Combien de piles consécutifs voit-on dans 100 tirages ?

20. Solution • Avec L coups :