Droites et plans

1. Géométrie dans l’espace Droites et plans

2. A B C P 1. Détermination d’un plan a. Un plan peut être déterminé par : 3 points non alignés Remarque : le plan P peut se nommer (ABC)

3. Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle (ABCD). Le plan (ABD) est aussi désigné Nomme les six plans de cette figure (4 lettres entre parenthèses) : • (ABCD) • (ADHE) • (ABFE) • (DCGH) • (EFGH) • (BCGF) C D B A H G E F

4. D A P 1. Détermination d’un plan b. Un plan peut être déterminé par : une droite et un point n’appartenant pas à la droite

5. Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle Nomme le plan contenant le point A et la droite (EH) Réponse : il s’agit du plan (ADHE) C D B A H G E F

6. D1 D2 D2 D1 P P 1. Détermination d’un plan c. Un plan peut être déterminé par : ou 2 droites strictement parallèles 2 droites sécantes

7. Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle 1) Nomme le plan contenant les droites (DC) et (HG) Réponse : il s’agit du plan (DCGH) 2) Nomme le plan contenant les droites (BC) et (CF) Réponse : il s’agit du plan (BCGF) C D B A H G E F

8. D1 P D2 2. Parallélisme a. Droites parallèles Deux droites parallèles sont contenues dans un même plan

9. D D’ A P 2. Parallélisme b. Droites parallèles à un plan Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite contenue dans le plan D // D’ donc D // P D’ contenue dans P

10. Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle - Droite parallèle à un plan (AB) // (EF) donc (AB) // (EFGH) (EF) contenue dans (EFGH) C D B A H G E F

11. D’ D P1 ’  P2 2. Parallélisme c. Plans parallèles Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l’un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre. D et D’ sécantes et contenues dans P1 donc P1 // P2 D //  et D’ // ’  et ’ sécantes et contenues dans P2

12. C D B A H G E F Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle - Plans parallèles (AB) // (EF) donc (ABCD) // (EFGH) (AD) // (EH)

13. D1 P D2 3. Orthogonalité a. Droites perpendiculaires Deux droites perpendiculaires sont contenues dans un même plan

14. D ’  P 3. Orthogonalité b. Droites perpendiculaires à un plan Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites du plan  et ’contenues dans P donc D  P D   D  ’

15. C D B A H G E F Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle - Droite perpendiculaire à un plan (AE)  (EF) Donc (AE)  (EFGH) (AE)  (EH)

16. D D’ P 3. Orthogonalité c. Droites orthogonales Deux droites sont orthogonales si elles sont non sécantes, et si l’une est perpendiculaire à un plan contenant l’autre. D’ contenue dans P D  P donc D et D’ sont orthogonales D et D’ non sécantes

17. C D B A H G E F Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle - Droites orthogonales (AE)  (EFGH) donc (AE) orthogonale à (FG) (FG) contenue dans EFGH (AE) et (FG) non sécantes

18. D P1 P2 3. Orthogonalité d. Plans perpendiculaires Deux plans sont perpendiculaires si l’un contient une droite perpendiculaire à l’autre. D contenue dans P1 donc P1  P2 D  P2

19. D B A H G E F Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle - Plans perpendiculaires (AE) contenue dans (ADHE) (ADHE)  (EFGH) donc (AE)  (EFGH) C

20. P’ P 3. Intersection de deux plans L’intersection de deux plans sécants est : une droite

21. Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle Nomme la droite correspondant à l’intersection des plans (ABCD) et (BFGC). Réponse : il s’agit de la droite (BC) C D B A H G E F