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A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense. 2. . ESTUDO DA RETA. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense. 3. REALIZA

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    1. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 1

    2. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 2

    3. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 3 REALIZAÇÃO COLÉGIO CASCAVELENSE SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA DIREÇÃO PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)

    4. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 4 Condição de alinhamento de três pontos por determinante Teorema Três pontos A(xA;yA), B(xB;yB) e C(xC;yC) são colineares se, e somente se: xA yA 1 det. = xB yB 1 = 0 xC yC 1

    5. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 5 OBS: Dois pontos estão sempre alinhados Três pontos distintos podem: a) Estar alinhados (det = 0). Nesse caso dizemos que os pontos estão colineares. b) Determinar um triângulo. (det. ? 0)

    6. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 6 Ex:01 Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados: a) A(3, 2), B(4, 1) e C(1, 4). Sol: Vamos calcular o determinante: 3 2 1 D = 4 1 1 = 3 + 2 + 16 - 1 1 4 1 - 12 - 21 = 0 Resp: Como D = 0, os pontos são colineares. b) A(2, 3);B(-2,-5) e C(-1,-3) c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4) d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1) e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0) Resp: a) e b) sim; c) e d) não

    7. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 7 Ex:02 Determinar os valores de a de modo que os pontos A(a;7),B(2,-3) e C(a,1) sejam vértices de um triângulo. Sol: Pontos vértices de um triângulo ? Det.? 0 a 7 1 Det. = 2 -3 1 ? 0 ? -3 a +7 a +2 + 3 a -a -14 ? 0 a 1 1 ? 6 a – 12 ? 0 ? a ? 2. Resp: a ? 2.

    8. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 8 Ex:03 Determinar m para que os pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5): A) estejam alinhados Sol: Pontos alinhados ? Det. = 0 (resolva e confira que ?) m = 1. b) Sejam vértices de um triângulo Sol: Três pontos vértices de um triângulo ? Det. ? 0 (resolva e confira que ?) m ? 1.

    9. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 9 Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b) e C(1, -2) são colineares. Determine o valor de 2 a + b. Sol: Pontos colineares ? Det. = 0. (Armando e resolvendo o determinante, encontramos que: 2 a + b = -6).

    10. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 10

    11. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 11 Equação Geral da reta Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um ponto genérico P(x, y).Para que A, B e C sejam alinhados, devemos ter: (Faça gráfico no PC) x y 1 Det = 0 ? 2 1 1 = 0. 1 -1 1 Desenvolvendo esse det, temos como resultado final: 2x – y – 3 = 0. Essa equação representa todos os pontos P(x,y) que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é chamada de “Equação Geral da Reta”.

    12. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 12 Equação Geral da reta – (Cont.) Representação: ax + by + c = 0 Dados: A(xA; yA), B(xB; yB) e P(x; y).

    13. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 13 Ex: Determinar os coeficientes a, b e c de cada equação de reta abaixo : A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = ) B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = ) C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = ) D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = ) E) x = 0 => (a = ; b= ; c = ) F) y = 0 => (a = ; b= ; c = )

    14. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 14 Ex: 06 Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(3, 1) e B(6, 3) Sol: Considere um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta r que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento: x y 1 Det = 0 ? 3 1 1 = 0. Desenvolvendo o 6 3 1 determinante, temos: (r) : 2x – 3y – 3 = 0.

    15. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 15 Continuação: b) A (3, 2 ) e B (2, 1) c) A(-1, 2) e B(-3, -2) d) A(0, 2) e B(6, 0) e) A(-3, 2) e B(1, 4) Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0 . Resp: a) (s): x – y – 1 = 0 b) (t): 2x – y + 4 = 0 c) (w): x + 3y – 6 = 0 d) (k): x – 2y + 7 = 0

    16. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 16 Ex:07 Determinar a equação geral da reta r em cada caso: a)

    17. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 17 Equação Reduzida da reta Para se encontrar a equação reduzida de uma reta basta se tirar o valor de y na equação geral ax + by + c = 0 (b ? 0), ou seja: by = - ax – c => y = - a/b. x + (-c/a) => y = m.x + q Onde : m = - a/b => (Coeficiente angular da reta) e q = - c/b => (Coeficiente linear da reta – É a ordenada do ponto interseção com o eixo y).

    18. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 18 Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os coeficientes angular e linear das retas: A) 3x + 4y – 12 = 0 B) 2x – 3y – 7 = 0 C) ax + by + c = 0 D) 2x – y + 3 = 0 E) que passa pelos pontos A(-1, 2) e B(1, 3). Resp: a) y = -3/4 x + 3; m = -3/4 e q = 3 b) y = 2/3 x – 7/3; m = 2/3 e q = - 7/3 c) y = -a/b.x –c/a; m=-a/b e q = - c/a d) y = 2x + 3; m = 2 e q = 3 e) y = ½ x +5/2; m = ½ e q = 5/2

    19. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 19 O que é inclinação(?) de uma reta? É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x, orientado no sentido anti-horário do eixo dos x para a reta ( 0°? < 180°).

    20. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 20 O que é inclinação(?) de uma reta? (cont.) .

    21. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 21 O que é Coeficiente Angular? Definição: Chama-se coeficiente Angular (ou declividade) de uma reta não vertical, à tangente trigonométrica da sua inclinação. Representa-se por “m”.Ou seja: m = tg ?

    22. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 22 Determinação do Coeficiente Angular dados dois pontos. Seja r uma reta não vertical onde A(xA,yA), B(xB,yB) são dois de seus pontos.

    23. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 23 Observações importantes do Coeficiente Angular. 1º) ? = 0° ? tg ? = tg 0° ? m = 0 2°) 0° < ? < 90° ? tg ? > 0 ? m > 0 3°) 90° < ? < 180° ? tg ? < 0 ? m < 0 4°) ? = 90° ? tg ? = tg 90° ? ? m

    24. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 24 Ex:09 Determinar a inclinação(?),os coeficientes Angular/Linear das retas: A)

    25. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 25 Continuação do Ex: 09 C)

    26. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 26 Ex:10 Assinale as afirmativas verdadeiras: 01. Toda reta tem coeficiente angular; 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo; 04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coef.angular é negativo; 08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a sua inclinação será um ângulo positivo; 16. Uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular . Soma: 30

    27. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 27 Ex:11 Ache o coef. Angular da reta que passa pelos pontos e comente a sua inclinação. a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7) Sol: m = yB – yA = -7 - (-5) => m=2/5 (? é agudo) xB – xA -9 – (-4) b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2) d) A(4, -5) e B(4, -8) Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo) d) m ? (? = 90°)

    28. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 28 Condição de alinhamento de três pontos por coeficiente angular. Teorema: Três pontos A(xA,yA),B(xB,yB) e C(xC,yC) são colineares se, e somente se m AB = m BC, ou não existem m AB e m BC.

    29. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 29 Ex:12 Verificar se os pontos estão alinhados: A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5). Sol: Vamos usar a condição dos coeficiente angulares, ou seja: m AB = m BC. m AB = y B – y A = 10 – 5 = 5 / 2 x B – x A 6 – 4 m BC = y C – y B = -5 – 10 = -15 = 5 / 2 x C - x B 0 - 6 - 6 Resp: Como m AB = m BC = 5/2=> (Alinhados) A(2, 3), B(2 +4t, 3 –5t) e C(2 +4n, 3 – 5n). Sol: (Pra você RESOLVER) Resp: (Alinhados)

    30. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 30 Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das retas dados dois pontos A(-3, -5) e B(-7, -8). Sol:Considerando um ponto genérico P(x, y) da reta AB, e a igualdade de coeficientes angulares m PA = m AB, temos: y P – y A = y B – y A => y – (-5) = -8 –(-5) => x P – x A x B – x A x – (-3) x + 3 => 3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida) b) A(2, -1) e B(-3, 2) Sol: (Pra você) Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5

    31. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 31 Cálculo de equação de reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular. Dados: ponto A(x A, y A) e Coef. Ang. (m). Para cálculo da equação, usa-se um ponto genérico P(x, y) da reta, e então: m = tg ? = y – y A ou seja: y – y A = m x – x A x – x A ou ainda : y – y A = m(x – x A)

    32. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 32 Ex:14 Ache a equação da reta (r) nos seguintes casos: Passando por A(3, -4) e m = - 5/2. Sol: Usando P(x, y) ? r e tg ? = m => => y – (-4) = - 5/2 => (r) 5x + 2y – 7 = 0 x - 3 b) Passa pelo ponto P(-2, 1) e tem m= -3. Sol: (pra você) Resp: 3x + y + 5 = 0

    33. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 33 Cálculo de equação de reta dados um ponto e a Inclinação (? ? 90°). Dados: ponto A(x A, y A) e a Inclinação (?). I) Determinamos o coef.Angular: m = tg ?. II) Usa-se agora o processo do cálculo da reta da qual tem-se um ponto e “m”, ou seja: y – y A = m ( x – x A)

    34. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 34 Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que passa pelo ponto A(7, 1) e tem inclinação 45°. Sol: Inicialmente precisamos determinar o coef. Angular: m = t g ? = t g 45° = 1. A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1). Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) => (r) x – y – 6 = 0. Ex: Idem para; A(0,1) e ? = 150°. Sol: (Pra você) Resp: (r) ?3 x + 3y – 3 = 0

    35. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 35 Ex:15 Determine as equações das retas r e s mostradas na figura. Sol: (pra você) Resp: (r):y = ?3/3 x – 2 e (s): y =-x + 4

    36. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 36 Equação da 1ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes ímpares(b13) Determinação da equação: Temos que ? = 45° => m= tg ? = 1. O ponto origem O(0,0) ? b13. Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x-0) => y = x (Todo ponto que pertence a b13 tem coordenadas iguais).

    37. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 37 Equação da 2ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes pares(b24) Determinação da equação: Temos que ? = 135° => m= tg ? = - 1. O ponto origem O(0,0) ? b24. Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x - 0) => y = - x (Todo ponto que pertence a b24 tem coordenadas opostas (ou simétricas) ).

    38. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 38 Interseção de duas retas Todo ponto de interseção de duas (ou mais) retas tem de satisfazer(pertencer) as equações das duas (ou mais) retas.Este ponto comum P(x o,y o) é determinado resolvendo o sistema formado pelas equações.

    39. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 39 Ex:16 Obter a interseção das retas:(r) x – y + 1 = 0 e (s) 2x + y – 2 = 0 Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da adição: x – y + 1 = 0 ( I ) 2x + y – 2 = 0 ( II ) 3x – 1 = 0 => x = 1/3. Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0 => y = 4/3. Logo, a interseção de r com s é P(1/3; 4/3)

    40. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 40 Ex:17 Determinar o ponto I de interseção entre as retas: A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0. Sol: Pra você Resp: I(-1, 1) B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5. Sol: Pra você Resp: I(2, 1) C)

    41. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 41 ATENÇÃO: Concorrência de 3 retas em um mesmo ponto Dadas as equações de 3 retas para verificar se elas concorrem num mesmo ponto, basta que se determine o ponto de interseção de duas, em seguida verifique se o ponto encontrado pertence a terceira reta, caso pertença, então as retas são concorrentes em um mesmo ponto.

    42. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 42 Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y – 1 = 0, x + y =0 e 3x + 4y – 1 = 0 concorrem no mesmo ponto. Sol: 1º) Determinemos P, interseção da 1ª com a 2ªreta ; 2x + 3y – 1 = 0 => x = -1 e y = 1 x + y = 0 =>P(-1,1) 2º) Provemos que P pertence a 3ª reta; 3xp + 4yp – 1 = 3.(-1)+ 4.1-1 =-3 + 4 – 1 = 0. Fica provado então que as retas concorrem no mesmo ponto.

    43. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 43 Sol: Pra você Resp: Não. Ex:20(UFC) Encontre o número real m de modo que as retas: x + y = 8; 2x – 3y = 6 e 5x + my = 3 passem por um mesmo ponto. Resp: m = -27 / 2.

    44. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 44 Equação Segmentária da Reta Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si e localizados sobre os eixos. Aplicando o det. nos pontos,encontramos a equação: x y 1 p 0 1 = 0 => pq = qx + py 0 q 1 (dividindo por pq) => X/P + Y/q = 1

    45. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 45 Ex:21 Obter a equação segmentária da reta nos casos: A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5). Sol: Usando x + y = 1 => x + y = 1 a b 2 -5 b)

    46. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 46 Ex:22 Obter a equação segmentária da reta cuja equação geral é 2x – 3y + 4 = 0 Sol: 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4 (dividindo a equação por -4) => 2x + (-3y) = -4 => -4 -4 -4 x + y = 1 -2 4/3 Ex: 23 Idem para 4x + 3y – 2 = 0. Sol: Prá você Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1

    47. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 47 Equações Paramétricas São as equações que não relacionam diretamente as coordenadas x e y. Tais equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada parâmetro: x = f(t) y = g(t), f e g são funções afins OBS: A partir das equações paramétricas, obtém-se a equação geral, eliminando-se o parâmetro t.

    48. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 48 Ex:24 Determinar a equação geral da reta r dadas as paramétricas: A) x = 2t + 4 y = t – 3 Sol: Vamos isolar t na segunda equação: y + 3 = t => t = y + 3. Substituindo t por y + 3 na 1ª equação,temos: x = 2(y + 3) + 4 => x – 2y – 10 = 0 é a equação geral de r. B) x = 3t e y = 3 – t. Sol: Prá você Resp: (r) x + 3y – 9 = 0

    49. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 49

    50. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 50 Exercícios de Revisão Ex:26 Determinar: a) a equação geral b) a equação reduzida; c) a equação segmentária; d) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2). Resp: a)5x - 6y – 8 = 0; b) y = 5/6 x – 4/3 c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6 Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das paramétricas: 2x = t + 1 e y = 3t – 2. Resp: a) 6x – y – 5 = 0; b) y = 6x – 5; c) x / (5/6) + y / -5 = 1

    51. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 51 RETAS PARALELAS:(//) Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s)a2x + b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são paralelas se, e somente se, têm coeficientes angulares iguais. Dem: r // s ? ? = ? ? tg ? = tg ? ? m r = m s

    52. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 52 RETAS CONCORRENTES:(X) Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s)a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes (r ? s = { P }). r X s => m r ? m s => - a1/ b1 ? -a2 / b2 => a1 / a2 ? b1 / b2

    53. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 53 RETAS PERPENDICULARES(?) Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a - 1. Dem: Se r ? s, então: ? = 90°+ ? => tg ? = tg (90°+ ?) => tg ? = sen (90°+ ?) = cos ? => tg ? = - cotg ? =-1 / tg ? cos (90°+ ?) -sen ? => tg ? . tg ? = -1 => m s . m r = - 1

    54. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 54 Ex:28Dadas as eq.de retas; (r) y = 3x + 5; (s) y = 3x- 2; (t) 6x- 2y+10= 0 e (u) y = 5x. Determinar a posição relativa entre: A) r e s b) r e t c) s e u. Sol: Temos que: i) m r = 3 e q r = 5; ii) m s = 3 e q s = -2; iii) a eq. reduzida de t é y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5; iv) m u = 5 e q u = 0. Assim, temos: a) m r = m s e q r ? q s =>r e s são paralelas distintas; b) m r = m t e q r ? q t => r e t são paralelas coincidentes; c) m s ? m u => s e u são concorrentes.

    55. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 55 Ex:29 Para que valores de a as retas r:3x + 2y – 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 são paralelas? Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida temos: r: y = -3/2 x+ ½ =>mr=-3/2 e qr=1/2 s: y = - ax/5 – 3/5=> ms =-a/5 e qs=-3/5. Para r // s => m r = m s => - 3/2 = - a/5 => a = 15 / 2. Nota: Observe que as retas são paralelas distintas, pois q r ? q s (1/2 ?- 3/5).

    56. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 56 Ex:30 Para que valores de a as retas r:(a²-10)x – y – 4 = 0 e s:3ax + y + 1 = 0 são concorrentes? Sol: Retas concorrentes: r X s => m r ? m s => -a r / b r = -a s / b s NOTA: Sendo r:a x + b y + c = 0 (b ? 0) => m r = - a/b e q r = -c/b (Coeficientes angular e linear respectivamente). Então: a ² - 10 ? -3 a ? a² + 3 a - 10 ? 0 => a ? - 5 e a ? 2.

    57. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 57 Gráfico Sol:Como r // s => m r = m s = tg ?= tg 135°=> m r = -1. Temos que P(5, 2) ? r. Usando a equação fundamental da reta, assim: y – y p = m r( x – x p) =>y – 2 = -1(x – 5) => r: x + y – 7 = 0

    58. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 58 Ex: 32 Determinar a eq. geral e reduzida da reta r que passa pelo ponto P(-1, 6) e é paralela à reta s: 4x +2y – 1 = 0 Sol: Como r // s => m r = m s =-a/b = -4/2 => m r = -2. Temos que P(-1, 6) ? r. Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m r( x – x p) =>y – 6 = - 2 (x+1) => r: 2x+ y– 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red)

    59. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 59 Ex:33 Obter a eq. reduzida da reta r que passa por P(4, 6) e é perpendicular à reta do gráfico. . Sol: Se r ? s => m r.m s = -1. Temos que: m s = tg 120°= tg (180°- 60°) = - tg 60°= - ?3 ? m r = - 1/ m s = -1/-?3 = ?3/3. Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m r ( x – x p) => y – 6 = ?3/3 (x- 4) => y = ?3/3 x – 4. ?3 / 3 + 6

    60. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 60 Ex:34 Obter a eq.geral da reta s que passa por P(2, -3) e é perpendicular à reta r: x + 2y + 5 = 0 Sol: Cálculo de m r: m r = -a / b = -1/2. Como r ? s => m r. m s = -1 ? m s = 2. Temos que P(2, -3) ? r. Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m s. ( x – x p) => y – (-3) = 2 (x- 2) => (s): 2x – y – 7 = 0

    61. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 61 35: Ache a eq. da mediatriz do segmento AB, dados A(3,9) e B(1, 5) Sol: Esquema: O ponto médio de AB é M((3+1)/2 ;(9+5)/2)=> M(2,7) O coeficiente angular da reta AB: m AB=(9-5)/(3-1)= 2 A mediatriz r ? reta AB => m r. m AB = - 1 ? m r=-1/2 Pela equação fundamental da reta, temos: y – y M = m s. ( x – x M) => y – 7 = -1/2 (x- 2) => a eq. da mediatriz (r): x +2 y -16 = 0

    62. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 62 Ex:36 Resolver o problema anterior usando “Lugar Geométrico”. Sol: Lugar Geométrico: O L.G. dos pontos que têm uma determinada propriedade é o conjunto de pontos que contém todos esses pontos exclusivamente. A MEDIATRIZ de AB é o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distância) d(P, A) = d(P, B), isto é, dos pontos eqüidistantes de A e B. Vamos resolver o problema anterior. Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genérico P(x, y), temos: (quadrando a equação) d (P,A) = d (P,B) => (x – 3)²+(y +2)² = (x + 2)² + (y + 4)² => Operando os quadrados e os termos semelhantes, temos: x + 2y – 16 = 0

    63. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 63 37: Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto A(3, -2) sobre a reta (r) 2x – 3y + 14 = 0 Sol: Esquema Denominando a projeção de A’(x,y) = r ? s i)Cálculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3 ii)Cálculo de m s: Como r ? s => m s = - 3 / 2 iii)Cálculo de s: Usando y – y A=m s(x – x A) => s: 3x + 2y – 5 = 0. iv) Cálculo de A’:A’(x,y) = r ? s (armando sistema com as equações das retas r e s, temos como solução): x = -1 e y = 4 => A’ (-1, 4)

    64. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 64 38: Determine as coordenadas do ponto P’, simétrico de P(-1,6) em relação à reta (r) 3x-4y +2 =0 Sol: Esquema P’(x,y) é simétrico de P em relação à reta r; a reta s é perpendicular a reta r, logo: Coef. angular de r: m r = -a / b = 3 / 4 => m s = - 4/3. Equação da reta s: y – y p = m s(x – x p) => y – 6 = -4/3 (x + 1) => (s): 4x + 3y – 14 = 0. Coordenadas de M: M = r ? s (sistema) => M(2,2) Coord. P’: x m = (x p+x p’)/2=> 2=(-1+x p’)/2=> x p’= 5 ;y m = (y p+y p’) / 2=>2 = (6+y p’) / 2=>y p’= -2. Logo P’(5, -2)

    65. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 65 39: Considere o triângulo ABC, em que a reta AB tem por equação x – 12y +6 = 0, e o vértice C(1, 1). Ache a equação da altura relativa lado AB. Sol: Cálculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12. Cálculo de m DC: Como AB ? DC => m DC = -12 Cálculo da equação da altura DC : Usando a Eq.Fundamental: y – y C = m DC(x = x C ) => y – 1 = -12(x – 1) => 12x + y – 13 = 0

    66. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 66 ÂNGULO ENTRE DUAS RETASSejam as retas r e s, e ? o ângulo agudo entre elas a)Retas não verticais b) Uma reta não possui coef.angular

    67. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 67 NOTAS: 1) Se no cálculo da tg ? obtivermos tg ? = 0, isso significa que as retas r e s são paralelas. 2) Se o denominador da expressão m r – m s 1 + m r .m s for igual a zero, então o ângulo formado por r e s é 90°.

    68. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 68 Ex:40 Determinar os ângulos formados pelas retas. a) r: 2x + y -5 = 0 e s: 3x – y – 5 = 0 Sol: i) Cálculo dos coef. Angulares das retas: m r = -a / b = -2 / -1= 2 => m r = 2 m s = -a / b = -3 /-1 = 3 => m s = 3 ii) Aplicando a fórmula do ângulo agudo: tg ? = m r – m s = - 2 – 3 = - 5 = 1 1 + mr.ms 1 +(-2).3 -5 => ? = arc tg 1 => ? = 45° (Ângulo agudo). O âng. obtuso entre r e s é o suplemento de ?, ou seja: ?’ = 180° - 45°= 135°

    69. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 69 Ex:41 Dados os pontos A(3, -1), B(1, 3) e C(4, 5), determinar ângulo agudo formada pelas retas AB e BC. Sol: i) Cal. dos coeficientes angulares: m AB = y B – y A = 3 –(-1) = 4 = - 2 x B - x A 1 – 3 -2 m BC = y c – y B = 5 – 3 = 2 x c - x B 4 – 1 3 ii) Cal. do ângulo agudo: tg ? = mAB – mBC = - 2 – 2/3 = - 8/3 = 8 1 + mAB. mBC 1 + (-2).2/3 -1/3 Resp: ? = arc. tg 8 (Consultando uma tabela: ? ?83°)

    70. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 70 Ex:42 Determine o ângulo agudo formado pelas retas r: x = 3 e s: ?3 x + y + 5 = 0. Sol: i) Cal. dos coef. Angulares: m r = -a / b = -1 / 0 ? => r é vertical. m s = -a / b = - ?3 / 1 = - ?3 . ii) Cál de ?: tg ? = 1 / l m s l = 1 / l - ?3 l = 1 / ?3 = ?3 / 3 ? ? = arc. tg ?3 / 3 => ? = 30°

    71. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 71 Ex: 43 Determine a eq da reta r que passa por P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a reta s:4x +y +2 =0. Sol: i) Cal do m s: m s = - a/b = - 4/1= - 4. ii) Cal do m r: tg ? = m r – m s => tg 45° = mr –(-4) => 1+ mr.ms 1- 4mr m r + 4 = ?1 => a) m r + 4 = -1 => m r = 5 / 3 1 – 4mr 1 – 4mr b) m r + 4 = 1 => m r = - 5 / 3 1 – 4mr iii) Cál da eq da reta r que passa por P(-1,4) e: mr = 5/3 => y – yp = mr(x – xp) =>y – 4 = 5/3 (x + 1) => 5x- 3y+17=0 b) mr = -5/3 =>y – yp = mr(x– xp) =>y – 4 = -5/3 (x + 1) => 3x+5y+17=0

    72. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 72 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P(xp; yp) e uma reta r de equação (r): ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l ?a² + b²

    73. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 73 Ex:44 Calcular a distância do ponto P(2,1) à reta r: 3x – 4y + 8 = 0. Sol: A d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l ?a² + b² onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1. Logo: d(P,r) = l 3.2 + (-4).1 + 8 l = 10 = 2. ?3² + (-4)² 5 Resp: d(P,r) = 2

    74. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 74 Ex:45 Calcular a distância entre as retas r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0. Sol: i) r // s pois m r = m s = -12 / 5. ii) A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra.Para obter P(x,y)?r, atribuindo x p = 1 => 12.1+5y+25=0=>y p =-10 ? P(1; -10). iii) Calculando d(P,s) = l 12.1 + 5.(-10)+25l = 1 ?12² + 5² Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1 Resp: d(r,s) = 1

    75. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 75 Ex:46 Calcular a medida da altura relativa ao vértice A do triângulo ABC, onde A(-3;0), B(0; 0) e C(6; 8). Sol: A medida h da altura relativa do ponto A à reta BC: é h = d(A,BC). Uma equação da reta BC: x y 1 6 8 1 = 0 => 8x – 6y = 0 0 0 1 4x – 3y = 0 Cál. de h: h = d(A,BC) = l 4.(-3) + (-3).0 l = l -12 l = 12 / 5 ?4² + (-3)² 5 Resp: h = 12 / 5

    76. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 76 Ex:47 Determinar o(s) ponto(s) do eixo y que dista(m) 2 unidades da reta r: 15x + 8y + 2 = 0. Sol: i) P ? 0y => P(0, a). ii) Temos que: d(P,r) = 2, assim: l 15.0 + 8 a + 2 l = 2 ? l 8 a + 2 l = 34 ?15² + 8 a) 8 a + 2 = 34 => a = 4 b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2 Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2)

    77. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 77 Ex:48 Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 estejam localizada a três unidades de P(5,2). Sol: Usando a fórmula distância ponto/reta: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l ?a² + b² 3 = l3.5 + 4.2 + k ?3² + 4² => l k + 23 l = 15 Logo: i) k + 23 = 15 => k = - 8 ii) k + 23 = - 23 => k = -38 Resp: k = -8 ou k = - 38.

    78. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 78 ÁREA DE UM TRIÃNGULO Dados três pontos não colineares A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC), a área S do triângulo formada por esses pontos é dada por: S = ½. l D l onde: D = xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1

    79. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 79 Ex:49 Determinar a área do triângulo de vértices A(2,5(, B(0,1) e C(3,6). Sol: 2 5 1 i) Cal. de D: D = 0 1 1 = 2 3 6 1 Cal. da área: A = ½ lDl = ½ .l2l = 1 Resp: A = 1 u.a.

    80. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 80 Ex:50 Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1,0) B(5,0), C(4,2) e D(0,3). Sol: Representa-se os pontos no plano. ii) Forma-se um det. com as coordenadas 1 0 D = 5 0 = 19 ? Área = ½.lDl = ½.l19l 4 2 0 3 Área = 19 / 2 u.a. 1 0

    81. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 81 Ex:51 Determinar a área do triângulo limitado pelas retas r: y = 2x; s: y = 4x-8 e t: y = -2x+ 4. Sol: Os vértices do triângulo são os pontos: {E} = r ? s; {F} = r ? t e {G} = s ? t .Todos os vértices são determinados formando sistemas com os pares de retas:onde: E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0). Daí então a Área = ½. lDl = ½ l12l = 6 Resp: Área = 6 u.a. Nota: D é o determinante dos vértices E, F e G

    82. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 82 Retas Bissetrizes (b1 e b2) dos ângulos entre duas Retas Concorrentes (r e s)

    83. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 83 Ex:52 Obter as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas (r) 3x + 4y -1= 0 e (s) 12x – 5y = 0. Sol: Pela teoria, temos: 3x + 4y -1 ? 12x – 5y = 0 => 3x + 4y -1 ? 12x – 5y = 0 ?3² + 4² ?12²+5² 5 13 => 13 ( 3x + 4y -1 ) ? 5 (12x – 5y ) = 0, de onde Obtemos: 99x + 27y – 13 = 0 ou -21x + 77y – 13 = 0 NOTA: Observe que as bissetrizes são perpendiculares,pois; m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 => => m1 . m2 = -1 => b1 ? b2 .

    84. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 84 Ex:53 Qual é a bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas r: 2x + 3y -1 =0 e s: 3x +2y + 1 = 0? Sol: i) Obtemos as duas bissetrizes: 2x + 3y - 1 ? 3x +2y + 1 = 0 ?2² + 3² ?3² + 2² => (2x + 3y - 1 ) ? (3x +2y + 1) = 0 de onde temos: (b1) 2x + 3y - 1 + 3x +2y + 1 = 0 => x + y = 0 (b2) 2x + 3y - 1 - 3x -2y - 1 = 0 => x – y + 2 = 0 ii) Qual delas é a bissetriz do ângulo agudo? Tomamos um ponto qualquer P ? r e calculamos dPb1 e dPb2. A menor distância corresponde a bissetriz do ângulo agudo. Na equação r, se x p = 2 => y p = -1, logo: P(2; -1). Daí então: d Pb1 = 1 / ?2 e d Pb2 = 5/ ?2 => d Pb1 < d Pb2 => Resp: (b1) x + y = 0

    85. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 85 EQUAÇÃO DO FEIXE DE RETAS PARALELAS Definição: Dada uma reta (r) a x + b y + c = 0, uma equação do feixe de retas paralelas a r é (r’): a x + b y + k = 0, onde k varia em ?.

    86. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 86 Ex:54 Dada a reta r: 3x + 4y + 1 = 0, determinar: a) uma equação do feixe de retas paralelas a r b) Obter uma equação do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-2;7). Sol: a) Uma reta do feixe de paralelas a r é: ( r’): 3x +4y +k = 0. b) Para obter k de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma reta do feixe, resolve-se a equação: d (Pr’) = 6 => l 3(-2) +4.7 +k l = 6 ? l22 + k l = 6 ?3² + 4² 5 ? l 22 + k l = 30. Logo obtemos: i) 22 + k = 30 => k = 8 ou ii) 22 + k = - 30 => k = - 52. Resp: Temos então duas retas do feixe distante 6 u de r: (r’): 3x + 4y + 8 = 0 e (r”): 3x + 4y – 52 = 0

    87. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 87 FEIXE DE RETAS CONCORRENTES NUM PONTO Def. Feixe de retas concorrentes num ponto é um conjunto de infinitas retas concorrentes num mesmo ponto C(x o,y o).

    88. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 88 Equação Cartesiana de um Feixe de Retas de Centro C(xo,yo). Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a retas do feixe e P(x,y) um ponto genérico de uma das retas do feixe (não perpendicular a 0x). Sendo m o coeficiente angular da reta tomada, teremos: m = (y – yo) / (x – xo) => y – y o = m (x – x o), que a medida que se atribua valores m ? ?, obtém-se a eq. de todas as retas que passam por C, com exceção da reta vertical do feixe, que tem como equação x = x o.

    89. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 89 FEIXE DE RETAS CONHECIDAS DUAS RETAS Sejam as retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0, concorrentes, que definem o feixe de retas de centro C(x o,y o). Afirmamos que: A equação do feixe de retas concorrentes em C(x o,y o) é: ? (a1x + b1y + c1)+ ? (a2x + b2y + c2)= 0 (? ? ? e ? ? ? ).

    90. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 90 Ex:55 Determinar uma equação do feixe de retas concorrentes de centro C(4,6). Sol: i) Iniciamos obtendo as eq de duas retas distintas deste feixe. As mais simples são a vertical x = 4 ? x – 4 = 0(I) e a horizontal y = 6 ? y – 6 = 0 (II). Multiplicando ambos os membros de (I) por um parâmetro real ? , as de (II) por ? e adicionando membro a membro estas duas equações, obtemos uma equação do feixe: ?(x – 4) + ?(y – 6) = 0.

    91. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 91 Ex:56 Obter uma equação do feixe de retas concorrentes que contém as retas r: 2x – y + 3 = 0 e s: x + 4y = 0. Sol: Sendo 2x – y + 3 = 0 (i) e x + 4y = 0 (ii) ; Multiplicando ambos membros de (i) por ? e por ? ambos membros de (ii), onde ? e ? são reais e não simultaneamente nulos, obtém-se: ?(2x – y + 3 ) = 0 e ?(x + 4y ) = 0. Adicionando membro a membro essas equações, obtemos uma equação do feixe: ?(2x – y + 3 ) + ?(x + 4y ) = 0.

    92. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 92 Ex:57 Obter o centro do feixe de retas concorrentes ?(2x + y – 3) +?(x – y + 6)=0, em que ? e ? são reais não simultaneamente nulos. Sol: Para obter as equações de duas retas distintas desse feixe, basta atribuir valores a ? e ? não simultaneamente nulos. Por exemplo: ? = 1 e ? = 0 => 2x + y – 3 = 0 ( i ) ? = 0 e ? = 1 => x – y + 6 =0 ( ii ). As equações (i) e (ii) representam duas eq do feixe. Resolvendo o sistema formado com as duas equações encontramos o centro do feixe, ou seja: x = -1 e y = 5. Logo C(-1, 5)

    93. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 93 Inequações do 1º grau com duas variáveis Uma inequação do 1º grau com duas variáveis admite infinitas soluções, que podem ser representadas apenas graficamente. Ex: 2x – y ? 0; x - 2y > 0;8y – 1/3 x ? 0.

    94. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 94 Ex:58 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações: a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4 Sol: a)abscissas menores que 4; b) abscissas= 4; c) abscissas>4 a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4

    95. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 95

    96. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 96 Ex:60 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações: a) y < 2x + 4 b) y ? 2x + 4 Sol: a) Semiplano dos pontos “abaixo” (< ) da reta origem (y = 2x + 4). b) Semiplano da união dos pontos dar reta origem com o conjunto dos pontos “acima” (?) dessa reta.

    97. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 97 Ex:61 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequação y ? -3x + 6. Sol: Iniciamos representando a reta origem do semiplano y = -3x + 6 (atribuímos dois valores a x) no PC. O semiplano determinado pela inequação y ? -3x + 6 é a união da reta origem (=) com o conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o gráfico abaixo.

    98. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 98 Ex:62 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequação: 2x – y – 5 > 0. Sol: Isolamos a variável y na inequação: 2x – y – 5 > 0 => – y > -2x + 5 => y < 2x – 5. Procedemos a seguir, da mesma forma do ex. 61, considerando os pontos abaixo (<) da equação origem (y = 2x – 5). Veja gráfico:

    99. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 99 Ex:63 Representar no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfaçam o seguinte sistema de inequações: x – y + 1 > 0 y – 2 ? 0 Sol: Isolando a variável y nas inequações, temos: y < x + 1 (i); e y ? 2 (ii). Representamos as inequações no mesmo PC e verificamos os pontos da interseção dos semiplanos. Veja figura.

    100. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 100 Conteúdo Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Produção e Diagramação Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Revisão Final Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Realização Colégio Cascavelense

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