Stærðfræði – stærðfræðikennarinn 2. misseri – vorönn 2004

Stærðfræði – stærðfræðikennarinn2. misseri – vorönn 2004 Hlutföll og (mynstur) Meyvant Þórólfsson apríl-2004

Mynstur og „algebraic reasoning“ Horfðu á tölurnar í eina mínútu og leggðu þær á minnið: • 2 5 8 1 1 1 4 1 7 2 0 2 3

Mynstur og „algebraic reasoning“ • Mikilvægt er að nemendur komi auga á ýmis mynstur í stærðfræði, geti framlengt þau og alhæft um þau. Dæmi: 1, 4, 9, 16... eða 0, 1, 5, 14, 30 ... • Breytur í stæðum og jöfnum hjálpa til við að setja fram almennar reglur um mynstur og vensl. • Breytur geta haft mismunandi eiginleika eða merkingu eftir því í hvaða samhengi þær eru notaðar. • Jöfnur eru notaðar til að tákna vensl tveggja magnstærða. Mikilvægt er að kynna þær sem “jöfnur”.

Mynstur og „algebraic reasoning“ • Nemendur þurfa að skoða ýmiss konar mynstur, bæði töluleg og rúmfræðileg • Vandasamt er að kenna nemendum að nota breytur. Hafa jöfnurnar 7x+22=109 og 7y+22=109 sömu lausn eða ekki? • Ég á þrefalt fleiri epli en Jóhanna. Ef ég tákna mín epli með 3a, þá stendur a ekki fyrir epli, heldur fjölda epla. • Við notum breytur í mismunandi tilgangi: a•b = b•a 3x+2=4x-1 U = 2r • Framsetning getur valdið misskilningi t.d. ab=a•b og ab=ba, en 35≠53 • Jöfnur séu kenndar sem “jöfnur”, gegnum hugmyndina um jafnvægi.

Að reikna með brotum Skoðum dæmið 3/4 + 7/8 Búum fyrst til sögu um það: • Páll og bróðir hans eru að borða sams konar súkkulaði. Páll á 3/4 af sínu eftir en bróðir hans á 7/8 af sínu eftir. Hve mikið eiga þeir til samans eftir? • Öll kennslufræðileg rök mæla með því að notuð séu líkön þegar leiða á börn í skilning um svona dæmi og lausn þess.

Að reikna með brotum Bróðirinn: Páll: Tökum til dæmis 2/8 hluta frá Bróðurnum, breytum í 1/4 og færum yfir til Páls svo til verður heilt súkkulaði, 4/4 = 1. Þá eru 5/8 eftir hjá bróðurnum. Þetta má líka reikna 6/8 + 7/8 = 8/8 + 5/8 = 1 5/8

Hlutfall • Hlutfall (ratio) er margfeldislegur samanburður tveggja talna eða mælistærða. Ath: Hluti-heild, hluti-hluti og hluti-hluti-heild. • Hlutfallssamband ýmissa fyrirbæra (proportional situations) byggist á margfeldissambandi. Jöfn hlutföll (ratios) fást með margföldun eða deilingu, ekki með samlagningu eða frádrætti.

Hlutföll Dæmi um jafngild hlutföll (proportions): • Tvö “ratio” eru “proportional” þá og því aðeins að brotin sem standa fyrir þau séu jafngild. Dæmi: 7/12 = 14/24 eru jafngild hlutföll. • Reynslan sýnir okkur a fólk reiknar hlutföll með mjög marvíslegum hætti. • Sumir hafa lært reiknirit, til dæmis a/b = x/d þar sem maður leysir jöfnuna fyrir x með því að “margfalda í kross”. • Sumir gera töflur, aðrir teikna myndir (líkön), teikna gröf og svo framvegis. Börn búa sér til ýmis líkön og tákn.

Hlutföll Ath.merkingu orða: • Ratio: Samanburður tveggja mælistærða sem getur birst í nokkrum ólíkum myndum. Nokkurs konar “fast hlutfall”. Öll brot eru í raun af þessari gerð. Dæmi: “2/5 Íslendinga borða fisk einu sinni í mánuði eða oftar”. • Rate: Ratio sem er samanburður ólíkra mælistærða, lýsir hlutfallslegum vexti eða minnkun af einhverju tagi, sem er mjög algengt í eðlisfræði. Nokkurs konar “mælt hlutfall”, t.d. km/klst. eða kr/kg

Hlutföll • Proportion, sem gefur til kynna sambandið milli tveggja eða fleiri ratios, t.d. 3/9=4/12. Í þessu tilviki mætti e.t.v. tala um “stýrt hlutfall”. Dæmi um hlutföll af þessu tagi gæti verið magn af litarefnum sem sett eru í málningu. Hugsum okkur að 3 hlutar af litnum fari í 4 lítra dós. Hve marga hluta þarf þá í 10 lítra dós svo hlutfallið haldi sér, það er að samsetningin sé það sem kallað er proportional?

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutanna • Jonathan nokkur Swift, sá er skrifaði Ferðir Gullivers, var “lunkinn lygari”. • Á þeim tíma þegar sögur hans urðu til, vissi fólk sáralítið um fjarlæg lönd og staði. • Hann skrifaði sögur í 1. persónu um smáfólk og fimbulrisa, eyjar sem svifu í lausu lofti og fleira í þá veru. Í frásagnirnar fléttaði hann stærðfræðihugtök. Sögurnar njóta enn vinsælda, þótt þær séu orðnar um 270 ára gamlar.

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutanna • Hvað sem sagt verður um Swift, þá sýndi hann okkur rækilega fram á það, að ekkert er stórt og ekkert er smátt án samanburðar við annað. • Hann sýndi að stærðfræði og eðlisfræði eru til dæmis fremur óspennandi fræði ef getum ekki tengt þau með vitrænum hætti eða tengt þau við önnur sviði. • Stærðir og umfang hafa ýmislegt með krafta, hreyfingu og vöxt að gera til dæmis.

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutanna Skoðum hlutföll mannslíkama: • Nýfætt barn: Lengd um 52 cm og höfuðið um 13 cm. Hve langt væri höfuð 180 cm fullorðins manns ef þessi hlutföll héldust? • Gulliver hitti risa sem voru á við kirkjuturna að stærð. Hve langt væri höfuð 30 metra risa ef þessi hlutföll héldust? • Í bekkjartíma: Mælum hve mikill þungi hvílir á fersentimetra við hnjálið venjulegrar manneskju. Væri hægt að nota hlutföll til að finna sömu stærð hjá 30 m risa? 3 m risa?

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutanna Allt í náttúrunni lýtur stærðfræðilegum lögmálum: • Lögun lífvera, massi þeirra, hreyfing, hraði, staðsetning, vöxtur, víddir og svo framvegis. Sjá um þetta á vefnum:http://www.fandm.edu/Academics/Foundations/NTW114/sca/sca-intro.html • Svipaða sögu er að segja um manngerða hluti, s.s. vélar, samgöngukerfi, bíla, flugvélar (flugvélavængi), skip, húsgögn, listaverk og fleira. • Alls staðar koma hlutföll við sögu. Þess vegna getur verið erfitt að semja vísindaskáldsögur ef menn vilja vera sannfærandi.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi... Ekkert svið skólastærðfræði er eins flókið vitsmunalega: • Fjölmargar rannsóknir hafa verið gerðar á brota- og hlutfallaskilningi barna. • Þrautin um Hr. Trítil og Hr. Slána hefur víða verið notuð til að rannsaka hlutfallaskilning barna. • Lengd Hr. Trítils jafngildir 6 bréfaklemmum. Ef lengd hans væri mæld með káputölum væri hún 4 tölur. • Hæð Hr. Slána jafngildir 6 káputölum. Hver er hæð hans þá mæld í bréfaklemmum. Rökstyddu svarið.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi... Dæmi: Hr Trítill (Mr. Small) og Hr. Sláni (Mr. Tall) :

Rannsóknir á hlutfallaskilningi... Þrautin notuð til að meta hlutfallaskilning barna (proportional thinking, proportional reasoning). • Stig I (illogical): Engin vitræn útskýring fyrir hendi. • Stig A (additive): Nemandi horfir á muninn á 6 og 4 tölum og kemst að þeirri niðurstöðu að munurinn sé sá sami á bréfklemmum, Hr. Sláni sé því 8 bréfaklemmur.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi... • Stig TR (transitional): Hr. Trítill er 6 bréfaklemmur, 2 fleiri en 4 tölur. Svo að fyrir hverjar 2 tölur koma þrjár bréfaklemmur. Hr. Sláni er því 9 bréfaklemmur (2+1)+(2+1)+(2+1). • Stig R (ratio): Nemandi áttar sig á margfeldissambandi mælistærðanna. Fyrir hverja tölu hjá Hr. Trítli kemur 1 ½ tala hjá Hr. Slána. Sama gildir um bréfaklemmurnar. Hr. Sláni er sem sagt 6 • 1 ½ = 9 bréfaklemmur.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi... Skoðað með skrefaðferð (scaling):

Að kenna um hlutföll... Ekkert svið skólastærðfræði er eins erfitt kennslufræðilega: • Brot og hlutföll birtast í óvæntum myndum sem nemendum gengur oft illa að skilja og tengja stærðfræðilega. • Við höfum tilhneigingu til að lýsa stærðfræðilegum samböndum með samlagningu og frádrætti fremur en margföldun og deilingu. • Vænlegasta leiðin er að láta nemendur skoða, rannsaka og ræða sem flestar ólíkar framsetningar þar sem “ratio”, “rate” og “proportion” koma fyrir. Ath. líkön.

„Innbyrðis“ og „á milli“ hlutföll o.fl. • 3 á móti 12 og 5 á móti 20 (innbyrðis = within) • 2 á móti 6 og 6 á móti 18 (bæði) • 3 á móti 7 og 6 á móti 14 (á milli = between) • 4 á móti 6 og 10 á móti 15 (hvorugt liggur ljóst fyrir) • Nemendur skoði og ræði hlutföll í töflum, gröfum, myndum o.fl. Athuga bæði tvívíðar og þrívíðar rúmræðimyndir. • Beiti óformlegum aðferðum t.d. skrefaðferð (scaling)

„Innbyrðis“ og „á milli“ hlutföll o.fl. Dæmi: • 3 kúlur kosta 12 krónur. Hvað kosta 5 kúlur? Hér sjáum við að samband talnanna 3 og 12 er þægilegt (within ratio). 3 • 4 = 12 kr. og 5 • 4 = 20 kr. Þ.e. 3/12 = 5/20 • 3 bréfaklemmur jafngilda 7 cm. Hvað jafngilda 6 bréfaklemmur mörgum cm? Hér er þægilegt samband milli 3 og 6 (between). Fáum því 3 • 2 = 6 og því 7 • 2 = 14. Við höfum því 3/7 = 6/14. • Hvað með 4/6 = x/15 ?

Undraheimur stærðfræðinnar Ekkert svið er eins heillandi þegar maður skilur það... • Undraheimur stærðfræðinnar er óháður tíma og rúmi. Hann leynist alls staðar og á öllum tímum. • Fegurðin á sér engin takmörk. Þar skipa brot og hlutföll stærstan sess.

Stærðfræði – stærðfræðikennarinn 2. misseri – vorönn 2004