TEMA 8 * 2º BCT

1. TEMA 8 * 2º BCT ESPACIO MÉTRICO Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

2. 8. ESPACIO MÉTRICO • Espacio métrico. • Distancia entre dos puntos. • Distancia de un punto a un plano. • Distancia entre planos paralelos. • Distancia de un punto a una recta. • Distancia de un plano a una recta. • Distancia entre dos rectas paralelas y entre dos rectas que se cruzan. • Producto vectorial de dos vectores. • Producto mixto de tres vectores. • Perpendicular común a dos rectas que se cruzan. • EJERCICIOS DEL LIBRO • PROBLEMAS DEL LIBRO Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

3. TEMA 8.1 * 2º BCT ESPACIO MÉTRICO Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

4. DISTANCIA ENTRE PUNTOS • Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, • Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. • d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ] B(8, 5, 13) • Siempre podemos formar un triángulo rectángulo en el espacio cuyos catetos son: • La diferencia de x, de y , de z. • El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: • d(A,B) =|v| = • = √ [ (8 – 4)2 + (5 – 2)2 + (13 – 1)2 ] = • = √ [42 + 32 + 122] = √169 = 13 A(4, 2, 1) Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

5. EJEMPLO_1 • Hallar la distancia del punto P(7, - 5, 0) al punto Q(0, 2, 5). • d (P,Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ] = • = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 + (5 – 0) 2 ] = √ ((- 7) 2 + 7 2 + 5 2) = • = √ 123 • EJEMPLO_2 • La distancia del punto P(5, - 10, 0) al punto Q(- 3, a, a) es √ 186. Hallar el valor de a. • d (P, Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ] = √ 186 • √ [ (- 3 - 5) 2 + ( a - (- 10)) 2 + a 2 ] = √ 186 • √ [ (- 8) 2 + ( a + 10) 2 + a 2 ] = √ 186 • Eliminando la raíz: 64 + a 2 + 20.a + 100 + a 2 = 186 • 2a 2 + 20.a – 22 = 0  a2 + 10.a – 11 = 0 • Resolviendo la ecuación de segundo grado: • - 10 +/- √(100 + 44) - 10 +/- 12 1 • a = --------------------------- = ------------------ = • 2 2 - 11 • El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1, 1) y también ( - 3, - 11, - 11). • Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

6. PRODUCTO VECTORIAL • Se define como producto vectorial de dos vectores, u y v, otro vector w que es perpendicular a los dos primeros: • uxv=w • También como: • |uxv|=|u|.|v|.sen [u,v] • Así, en el espacio euclídeo: • ixj=k , jxk=i , kxi=j • De igual manera: • ixk=-j , jxi=-k , kxj=-i • Pues el producto vectorial no presenta la propiedad commutativa. • Es obvio que: • ixi=jxj=kxk =0 , pues sen 90º = 0 j i k Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

7. Aplicación geométrica v • El módulo o norma del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo formado por ellos. u u v u u v • El área de un triángulo será, por consiguiente: • S =(1/2).|ABxAC| v Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

8. EJEMPLO 1 • Hallar el producto vectorial de u(1, 0, -1) y v(-1, 1, 0) y su módulo. • w=uxv= (i – k)x(– i + j) = - ixi + ixj + kxi – kxj = • = k + j – (– i) = i + j + k • | i + j + k | = √(1+1+1) = √3 • EJEMPLO 2 • Hallar el producto vectorial de u(1, 3, -2) y v(5, 0, 7) y su módulo. • w=uxv= (i +3j -2k) x (5i + 0j +7k)= • =5.ixi + 0.ixj +7.ixk + 15.jxi + 0.jxj + 21.jxk – 10.kxi + 0.kxj – 14. Kxk= • = - 7j – 15k + 21i – 10j = 21.i – 17.j – 15.k • | 21.i – 17.j – 15.k | = √(212+(-17)2+(-15)2) = √(441+289+225) = √955 Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

9. PRODUCTO MIXTO • Se define como producto mixto de tres vectores a la expresión: • (uxv).w • Es decir, el producto vectorial de dos de ellos (que es un vector) multiplicado escalarmente por el otro. • El resultado es un número, un escalar. • Posee la propiedad asociativa, por lo que tenemos: • (uxv).w = u.(vxw) = v.(uxw) • INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA • El producto mixto de tres vectores se puede considerar como el volumen del prisma cuyos tres lados fueran los vectores factores. v u w Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

10. EJEMPLO 1 • Hallar el producto mixto de los vectores: • u(1,-1,1), v(0, 1, 1) y w(-1, 0, 1) • w1 w2 w3 - 1 0 1 • w.(uxv) = v1 v2 v3 = 0 1 1 = |– 1 – 1 – 1| = |– 3| = 3 u3 • u1 u2 u3 1 -1 1 • EJEMPLO 1 • Hallar el producto mixto de los vectores: • u(3,-5,0), v(0, 2, 4) y w(-7, 0, 1) • w1 w2 w3 - 7 0 1 • w.(uxv) = v1 v2 v3 = 0 2 4 = |– 6 – 140| = |– 146| = 146 u3 • u1 u2 u3 3 -5 0 Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

11. PERPENDICULAR COMÚN • PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN • Sean las rectas r: (A, v) y s(B,u) • Siendo A(a1, a2, a3) , v(v1, v2, v3) , B(b1, b2 , b3) y u(u1, u2, u3) • Las rectas no son coincidentes ni paralelas, o sea los vectores directores u y v no son iguales ni proporcionales. • Suponemos pues que no son secantes, sino que se cruzan. • Existirá un segmento AB, tal que la distancia de A, perteneciente a r, a B, perteneciente a s, es la mínima posible. • Ese segmento AB será perpendicular a r y a s. • Ese segmento será perpendicular común a r y a s. • Y por tanto el vector director del segmento AB será • el producto vectorial de u y v. • Sea w el vector director de AB. • i j k • w = uxv = v1 v2 v3 • u1 u2 u3 r A B s Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

12. A r • EJEMPLO • Hallar la perpendicular común a las rectas: • r:(A, v) y s:(B,u) • Siendo A(1, 0, 0) , v(0, 1, 1) , B(0, 1, 1) y u(1, 0, 1) • Sea w el vector director de la perpendicular común: • i j k • w = uxv = 0 1 1 = i + j – k • 1 0 1 • En paramétricas: • r: (x,y,z) = (1, 0, 0) + λ.(0, 1, 1)  x = 1 ,, y = λ ,, z = λ • s: (x,y,z) = (0, 1, 1) + μ.(1, 0, 1)  x = μ ,, y = 1 ,, z = 1 + μ • t: (x,y,z) = (a, b, c) + k. (1, 1, -1)  x = a + k ,, y = b + k ,, z = c – k • La intersección de s y t nos dará el punto común: • μ=a+k ,, 1=b+k ,, 1+ μ=c – k • 1 = b + k ,, 1 + a + k = c – k • k= 1 – b  1 + a + 1 – b = c – 1 + b  a – 2b – c = – 3 • Valen los parámetros; a = 0, b= 1 , c=1 • La perpendicular común será: (x,y,z)=(0, 1, 1) + k(1, 1, -1) s B Matemáticas 2º Bachillerato C. T.