1 / 17

Riemann-sommen

Riemann-sommen. Samenvatting. Een Riemann-som van een functie f voor p (  N 0 ) verdelingen van het interval [ a , b ]. Het getal gevonden door de volgende som te maken is een RIEMANN-SOM Hierin zijn: : de lengte van een deelinterval en

oren-fitzgerald
Download Presentation

Riemann-sommen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Riemann-sommen Samenvatting

  2. Een Riemann-som van een functie fvoor p ( N0) verdelingen van het interval [a, b] Het getal gevonden door de volgende som te maken is een RIEMANN-SOM Hierin zijn: • : de lengtevan een deelinterval en • In elk deelinterval wordt een x-waarde gekozen x1 [a; a + x] x2 [a + x; a + 2x] ...xp [a + (p-1)x; b] (a + px = b)

  3. Riemann-som van de functie f(x) = x³ - 8x² + 9x + 18 voor 5 verdelingen van het interval [0.8, 2.4] x1 [0.8 ; 0.8 + x] = [0.8 ; 1.12] x2 [1.12; 1.12 + x] = [1.12 ; 1.44] x3 [1.44; 1.44 + x] = [1.44 ; 1.76] x4 [1.76; 1.76 +x] = [1.76 ; 2.08] x5 [2.08; 2.08 + x] = [2.08 ; 2.40] Kies bv. x1= 1 x2 = 1 + x = 1.32 x3 = 1.32 + x = 1.64 x4 = 1.64 + x = 1.96 x5 = 1.96 + x = 2.28 s5 = f(x1 ). x = 20 * 0.32 + f(x2 ). x = 18.240…*0.32 + f(x3 ). x = 15.654…*0.32 + f(x4 ). x = 12.436…*0.32 + f(x5 ). x = 8.7851…*0.32 = 24.037376

  4. Riemann-Ondersom van de functie f(x) = x³ - 8x² + 9x + 18 voor 5 verdelingen van het interval [0.8, 2.4] x1= = 0.8 + x =1.12 (kl. bld in int.1) x2 = 1.12 + x = 1.44 (kl. bld in int.2) x3 = 1.44 + x = 1.76 (kl. bld in int.3) x4 = 1.76 + x = 2.08 (kl. bld in int.4) x5 = 2.08 + x = 2.40 = b (kl. bld in int.5) s5 = (kleine letter met streep eronder) f(x1 ). x = 19.449…*0.32 + f(x2 ). x = 17.357…*0.32 + f(x3 ). x = 14.510…*0.32 + f(x4 ). x = 11.107…*0.32 + f(x5 ). x = 7.344…*0.32 = 22.326272 Besluit Bij een OS van een dalende functie geldt: xn= xn-1 + x en x1 = a + x

  5. Riemann-Bovensom van de functie f(x) = x³ - 8x² + 9x + 18 voor 5 verdelingen van het interval [0.8, 2.4] x1= 0.8 = a (gr. beeld in int.1) x2 = 0.8 + x = 1.12 (gr. bld in int.2) x3 = 1.12 + x = 1.44 (gr. bld in int.3) x4 = 1.44 + x = 1.76 (gr. bld in int.4) x5 = 1.76 + x = 2.08 (gr. bld in int.5) S5 = (hoofdletter) f(x1 ). x = 20.592*0.32 + f(x2 ). x = 19.449…*0.32 + f(x3 ). x = 17.357…*0.32 + f(x4 ). x = 14.510...*0.32 + f(x5 ). x = 11.107…*0.32 = 26.565632 Besluit Bij een BS van een dalende functie geldt: xn= xn-1 + x en x1 = a

  6. Riemann-Ondersom van de functie f(x)=-x³ + 8x² - 9x + 12 voor 5 verdelingen van het interval [0.8, 3] x1= 0.8 = a (kl. beeld in int.1) x2 = 0.8 + x = 1.24 (kl. bld in int.2) x3 = 1.24 + x = 1.68 (kl. bld in int.3) x4 = 1.68 + x = 2.12 (kl. bld in int.4) x5 = 2.12 + x = 2.56 (kl. bld in int.5) s5 = (kleine onderstreepte letter) f(x1 ). x = 9.408*0.44 + f(x2 ). x = 11.234…*0.44 + f(x3 ). x = 14.717…*0.44 + f(x4 ). x = 19.347...*0.44 + f(x5 ). x = 24.611…*0.44 = 34.900096 Besluit Bij een OS van een stijgende functie geldt: xn= xn-1 + x en x1 = a

  7. Riemann-Bovensom van de functie f(x)=-x³ + 8x² - 9x + 12 voor 5 verdelingen van het interval [0.8, 3] x1= 0.8 + x = 1.24 (gr. bld in int.1) x2 = 1.24 + x = 1.68 (gr. bld in int.2) x3 = 1.68 + x = 2.12 (gr. bld in int.3) x4 = 2.12 + x = 2.56 (gr. bld in int.4) x5 = 2.56 + x = 3 (gr. bld in int.5) S5 = (hoofdletter) f(x1 ). x = 11.234…*0.44 + f(x2 ). x = 14.717…*0.44 + f(x3 ). x = 19.347 …*0.44 + f(x4 ). x = 24.611...*0.44 + f(x5 ). x = 30*0.44 = 43.960576 Besluit Bij een BS van een stijgende functie geldt: xn= xn-1 + x en x1 = a + x

  8. Besluiten (1) Als fstijgend is in [a, b] dan is de algemene term xn = xn-1 + x en de beginterm

  9. Besluiten (2) Voor een functie die dalend is in [a,b] geldt eveneens xn = xn-1 + x maar de begintermen zijn

  10. Definitie van de rij u in rekentoestel Illustratie met TS s5 van de functie f(x) = x³ - 8x² + 9x + 18 over [0.8, 2.4] x = 0.32 D f is geprogrammeerd in Y1 x1= 0.8 + x/2 = 0.96 xn = xn-1+ x u(n) = u(n-1) + D u(nMin) = 0.8 + D/2

  11. Definitie van de rij v in rekentoestelIllustratie met TS s5 van de functie f(x) = x³ - 8x² + 9x + 18 over [0.8, 2.4] x = 0.32 D f is geprogrammeerd in Y1 De x-waarden zijn geprogrammeerd in de rij u v1 = f(x1 ). x v2 = f(x2 ). x + f(x1 ). x = f(x2 ). x + v1 v3 = f(x3 ). x + f(x1 ). x + f(x2 ). x = f(x3 ). x + v2 v4 = f(x4 ). x + f(x1 ). x + f(x2 ). x + f(x3 ). x = f(x4 ). x + v3 v5 = f(x5 ). x +f(x1 ). x + f(x2 ). x + f(x3 ). x + f(x4 ). x = f(x5 ). x+ v4= s5 v1= v(nMin)=f(x1 ). x =D*Y1(0.8 + D/2) vn= f(xn ). x + vn-1 = D*Y1(u) + v(n-1)

  12. Riemann-sommen met GRM • Het voorschrift van de functie moet altijd eerst geprogrammeerd worden in de functie mode. • wordt gestockeerd in geheugen D • De rij met x-waarden {x1 , x2 , …, xp}, waarvoor geldt xn= xn-1 + x, wordt gedefinieerd in u • de algemene term: u(n) = u(n-1) + D • u(nMin) = a of a+ D/2 (TS) of a+D • De rij v bevat f(xn). x (georiënteerde oppervlakte boven/onder het n-de interval PLUS de som van alle georiënteerde oppervlakten boven/onder de voorgaande intervallen. • de algemene term: v(n) = v(n-1) + D.Y1(u) • v(nMin)= D. Y1(a) of D. Y1(a +D) (TS) of D. Y1(a +D)

  13. Eigenschappen van Riemann-sommen (1) In wat volgt wordt veronderstelt dat [a, b] een interval is waar wij een functie met voorschrift y = f(x) beschouwen. Verder wordt het interval [a, b] in n( N0 ) gelijke deelintervallen verdeeld met lengte Riemann-sommen Eig.1:sn sn Sn want f(x1)  f(x1)  f(X1) ... f(xi)  f(xi)  f(Xi) ... f(xn)  f(xn)  f(Xn)

  14. Eigenschappen van Riemann-sommen (2) De rij van de ondersommen met steeds meer verdelingen s = {s1 ,s2, ..., sn, ...} is een stijgende rij Concreet: s75  s110 s250  s800

  15. Eigenschappen van Riemann-sommen (3) De rij van de bovensommen met steeds meer verdelingen S = {S1 ,S2, ..., Sn , ...} is een dalende rij Concreet: S75  S110 S250  S800

  16. Eigenschappen van Riemann-sommen (3) • een willekeurig bovensom Sp is een bovengrens voor de stijgende rij van ondersommen s = {s1 ,s2, ..., sn , ...} Want Voor OS met minder verdelingen geldt (vb. s75en S120 ) : s75  s120  s120  S120 (OS stijgen bij meer verdelingen) Voor OS met meer verdelingen geldt (vb. s750 en S120 ) : s750  s750  S750  S120 (BS dalen bij meer verdelingen) • een willekeurig ondersom sp is een ondergrens voor de dalende rij van bovensommen S = {S1 ,S2, ..., Sn , ...} (Opgave: aantonen voor s300en S120en s300en S500)

  17. Bepaalde integraal D.w.z. dat iedere bovensom een plafond is voor de stijgende rij van OS en dat iedere ondersom een bodem is voor de dalende rij van BS. De rij van ondersommen en de rij van bovensommen monden uit in hetzelfde getal dat wij de bepaalde integraal noemen van de functie f over [a, b] Notatie: Syntax GRM: fnInt(f(x), x, a, b) Rij van BS Eén getal = Bepaalde Integraal daalt stijgt Rij van OS

More Related