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Propriétés des ordonnancements SPT

ROADEF 2005. Propriétés des ordonnancements SPT. Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual LaMI, université d’Evry. 0rdonnancements (rappel). 1. 5. 6. 2. 4. 3. 0. 0. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. Exemple:

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Propriétés des ordonnancements SPT

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  1. ROADEF 2005 Propriétés des ordonnancements SPT Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual LaMI, université d’Evry

  2. 0rdonnancements (rappel) 1 5 6 2 4 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 • Exemple: • Principaux critères de qualité: • Temps de terminaison max (Makespan) • Somme des temps de terminaison ( ∑Cj ) 1 5 6 P1 n tâches m machines 2 4 P2 P3 3

  3. Les ordonnancements SPT 1 4 7 2 5 8 3 6 • SPT= Shortest Processing Time first Règle de Smith: SPTglouton • Trier les tâches par ordre croissant • Les ordonnancer dès qu’une machine est libre. • Algo qui minimise ∑Cj . • Classe des ordos. qui minimisent ∑Cj : [Bruno et al]: Algorithms for minimizing mean flow time

  4. 1 4 8 1 4 7 2 3 6 2 5 6 5 7 3 8 Les ordonnancements SPT • [Bruno et al]: notion de rang. • Un ordo. minimise ∑Cj ssi c’est un ordo. SPT. 1 4 7 2 5 8 3 6

  5. Plan • On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: • Max ∑Cj. • Problème NP-complet • Analyse de SPTglouton • Critères d’insatisfaction des tâches: • Critère d’insatisfaction globale • Critère d’insatisfaction individuelle • Conclusion

  6. Max ∑Cj 3 6 7 5 1 1 1 1 1 1 5 5 • Minimiser Max ∑Cj  Minimiser ∑Cj Max ∑Cj = 7 Max ∑Cj = 6 ∑Cj = 10 ∑Cj = 11 • Problème NP-complet.

  7. Minimiser Max ∑Cj est NP-complet • On réduit le pb de la partition au pb Min. Max ∑Cj. • Partition: Soit un ens. de nb C={ x1, x2, . . . , xn }. Existe-t-il une partition (A,B) de C t.q ∑xA x = ∑xB x ? • Min. Max ∑Cj: Soit un nombre k. Existe-il un ordo. tel que Max ∑Cj= k ?

  8. Minimiser Max ∑Cj est NP-complet • Transformation: • Partition: C={x1, x2, . . . ,xn} • Max ∑Cj: k= ½ Min ∑Cj ; m=2; 2n tâches:

  9. Minimiser Max ∑Cj est NP-complet • Solution Partition  solution Max ∑Cj : • Partition: C={x1, x2, . . . ,xn}. • Max ∑Cj: k= ½ Min ∑Cj ; m=2; 2n tâches.

  10. Max ∑Cj : analyse de SPTglouton • Théorème 1 : • Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≤ 3 – 3/m + 1/m2 . • Théorème 2 : • Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≥ 2 – 2/(m2 + m).

  11. Max ∑Cj : analyse de SPTglouton 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 • Théorème 2 : • Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≥ 2 – 2/(m2 + m). ( exemple: pour m=3, rapport ≥11/6 ) • Preuve: • m(m-1) tâches de longueur 1 • Une tâche de longueur B= m(m+1)/2 • Exemple pour m=3: Max ∑Cj = 6 Max ∑Cj = 11

  12. Plan • On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: • Max ∑Cj. • Problème NP-complet • Analyse de SPTglouton • Critères d’insatisfaction des tâches: • Critère d’insatisfaction globale • Critère d’insatisfaction individuelle • Conclusion

  13. Critère d’insatisfaction globale • [Kumar, Kleinberg]: Fairness Measures For Ressources Allocation (FOCS 2000) • Définition: insatisfaction globale d’un ordo. S: • Rapport max. entre date de fin de la ième tâche de S, et date de fin min de la ième date de fin de tout autre ordo. • Cglob(X) = min  t.q. X Y  Y  V(I) • C*glob(I) = min Cglob(X) t.q. X V(I) • C*glob = max C*glob(I)

  14. Critère d’insatisfaction globale I={ , , } 1 2 3 1 3 2 2 1 1 2 3 3 • Autres vecteurs: V(I) = X + • (1, 2, 5) • (1, 3, 3) • (1, 3, 5) • (2, 3, 3) • (2, 3, 4) • (1, 3, 6) • (1, 4, 6) • (2, 3, 6) • (2, 5, 6) • (3, 4, 6) • (3, 5, 6) • Min = (1, 2, 3) • Exemple: Vecteur X = (1, 2, 4) Cglob(X) = 4/3 C*glob(I) = 4/3

  15. Critère d’insatisfaction globale 1 2 1 • Théorème 1: • Cglob(XSPTglouton) ≤ 2 – 1/m. ( exemple: pour m=2, Cglob(XSPTglouton) ≤ 3/2 ) • Théorème 2: • C*glob= 3/2 quand m=2. • Preuve du théorème 2: Cglob(I) = C*glob = 3/2 Vecteur X = (1, 1, 3)

  16. Critère d’insatisfaction individuelle 2 1 3 • Définition: insatisfaction ind. d’un ordo. S: • Rapport max. entre date de fin de chaque tâche de S, et date de fin min de cette tâche dans tout autre ordo. • Cind(X) = min  t.q. X Y  Y  V(I) • C*ind(I) = min Cind(X) t.q. X V(I) • C*ind = max C*ind(I) • Exemple: Vecteur X = (3, 2, 3)

  17. Critère d’insatisfaction individuelle 1 1 1 1 • Théorème : • Cind(XSPTglouton) ≤ 1 + (n-1)/m. • C*ind= 1 + (n-1)/m. • Preuve de C*ind = 1 + (n-1)/m : • exemple avec (m+1) tâches de longueur 1: C*ind = 2 = 1 + (n-1)/m

  18. Conclusion - Perspectives • Conclusion • SPTglouton entre 2 – 2/(m2 + m) et 3 – 3/m + 1/m2 pour Max ∑Cj. • Bons rapports d’insatisfaction. • Perspectives • Améliorer la borne pour SPTglouton dans Max ∑Cj. • Etudier les critères d’insatisfaction sur d’autres ordonnancements.

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