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Analyzing Scheduling Properties SPT Rule for Minimizing ∑Cj

This paper explores properties of scheduling based on the SPT rule to minimize the sum of completion times (∑Cj), addressing NP-completeness, approximation ratios, and dissatisfied task criteria. It evaluates global and individual dissatisfaction, provides theorems, and suggests future research directions.

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Analyzing Scheduling Properties SPT Rule for Minimizing ∑Cj

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Presentation Transcript

  1. ROADEF 2005 Propriétés des ordonnancements SPT Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual LaMI, université d’Evry

  2. 0rdonnancements (rappel) 1 5 6 2 4 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 • Exemple: • Principaux critères de qualité: • Temps de terminaison max (Makespan) • Somme des temps de terminaison ( ∑Cj ) 1 5 6 P1 n tâches m machines 2 4 P2 P3 3

  3. Les ordonnancements SPT 1 4 7 2 5 8 3 6 • SPT= Shortest Processing Time first Règle de Smith: SPTglouton • Trier les tâches par ordre croissant • Les ordonnancer dès qu’une machine est libre. • Algo qui minimise ∑Cj . • Classe des ordos. qui minimisent ∑Cj : [Bruno et al]: Algorithms for minimizing mean flow time

  4. 1 4 8 1 4 7 2 3 6 2 5 6 5 7 3 8 Les ordonnancements SPT • [Bruno et al]: notion de rang. • Un ordo. minimise ∑Cj ssi c’est un ordo. SPT. 1 4 7 2 5 8 3 6

  5. Plan • On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: • Max ∑Cj. • Problème NP-complet • Analyse de SPTglouton • Critères d’insatisfaction des tâches: • Critère d’insatisfaction globale • Critère d’insatisfaction individuelle • Conclusion

  6. Max ∑Cj 3 6 7 5 1 1 1 1 1 1 5 5 • Minimiser Max ∑Cj  Minimiser ∑Cj Max ∑Cj = 7 Max ∑Cj = 6 ∑Cj = 10 ∑Cj = 11 • Problème NP-complet.

  7. Minimiser Max ∑Cj est NP-complet • On réduit le pb de la partition au pb Min. Max ∑Cj. • Partition: Soit un ens. de nb C={ x1, x2, . . . , xn }. Existe-t-il une partition (A,B) de C t.q ∑xA x = ∑xB x ? • Min. Max ∑Cj: Soit un nombre k. Existe-il un ordo. tel que Max ∑Cj= k ?

  8. Minimiser Max ∑Cj est NP-complet • Transformation: • Partition: C={x1, x2, . . . ,xn} • Max ∑Cj: k= ½ Min ∑Cj ; m=2; 2n tâches:

  9. Minimiser Max ∑Cj est NP-complet • Solution Partition  solution Max ∑Cj : • Partition: C={x1, x2, . . . ,xn}. • Max ∑Cj: k= ½ Min ∑Cj ; m=2; 2n tâches.

  10. Max ∑Cj : analyse de SPTglouton • Théorème 1 : • Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≤ 3 – 3/m + 1/m2 . • Théorème 2 : • Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≥ 2 – 2/(m2 + m).

  11. Max ∑Cj : analyse de SPTglouton 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 • Théorème 2 : • Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≥ 2 – 2/(m2 + m). ( exemple: pour m=3, rapport ≥11/6 ) • Preuve: • m(m-1) tâches de longueur 1 • Une tâche de longueur B= m(m+1)/2 • Exemple pour m=3: Max ∑Cj = 6 Max ∑Cj = 11

  12. Plan • On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: • Max ∑Cj. • Problème NP-complet • Analyse de SPTglouton • Critères d’insatisfaction des tâches: • Critère d’insatisfaction globale • Critère d’insatisfaction individuelle • Conclusion

  13. Critère d’insatisfaction globale • [Kumar, Kleinberg]: Fairness Measures For Ressources Allocation (FOCS 2000) • Définition: insatisfaction globale d’un ordo. S: • Rapport max. entre date de fin de la ième tâche de S, et date de fin min de la ième date de fin de tout autre ordo. • Cglob(X) = min  t.q. X Y  Y  V(I) • C*glob(I) = min Cglob(X) t.q. X V(I) • C*glob = max C*glob(I)

  14. Critère d’insatisfaction globale I={ , , } 1 2 3 1 3 2 2 1 1 2 3 3 • Autres vecteurs: V(I) = X + • (1, 2, 5) • (1, 3, 3) • (1, 3, 5) • (2, 3, 3) • (2, 3, 4) • (1, 3, 6) • (1, 4, 6) • (2, 3, 6) • (2, 5, 6) • (3, 4, 6) • (3, 5, 6) • Min = (1, 2, 3) • Exemple: Vecteur X = (1, 2, 4) Cglob(X) = 4/3 C*glob(I) = 4/3

  15. Critère d’insatisfaction globale 1 2 1 • Théorème 1: • Cglob(XSPTglouton) ≤ 2 – 1/m. ( exemple: pour m=2, Cglob(XSPTglouton) ≤ 3/2 ) • Théorème 2: • C*glob= 3/2 quand m=2. • Preuve du théorème 2: Cglob(I) = C*glob = 3/2 Vecteur X = (1, 1, 3)

  16. Critère d’insatisfaction individuelle 2 1 3 • Définition: insatisfaction ind. d’un ordo. S: • Rapport max. entre date de fin de chaque tâche de S, et date de fin min de cette tâche dans tout autre ordo. • Cind(X) = min  t.q. X Y  Y  V(I) • C*ind(I) = min Cind(X) t.q. X V(I) • C*ind = max C*ind(I) • Exemple: Vecteur X = (3, 2, 3)

  17. Critère d’insatisfaction individuelle 1 1 1 1 • Théorème : • Cind(XSPTglouton) ≤ 1 + (n-1)/m. • C*ind= 1 + (n-1)/m. • Preuve de C*ind = 1 + (n-1)/m : • exemple avec (m+1) tâches de longueur 1: C*ind = 2 = 1 + (n-1)/m

  18. Conclusion - Perspectives • Conclusion • SPTglouton entre 2 – 2/(m2 + m) et 3 – 3/m + 1/m2 pour Max ∑Cj. • Bons rapports d’insatisfaction. • Perspectives • Améliorer la borne pour SPTglouton dans Max ∑Cj. • Etudier les critères d’insatisfaction sur d’autres ordonnancements.

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