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ATTAPL 輪講 ( 第４回 ) 続 Dependent Types

ATTAPL 輪講 ( 第４回 ) 続 Dependent Types. 2006/06/21 稲葉 一浩. 今日の内容. Dependent Types と多相型 Calculus of Construction (2.6) λ-cube (2.7) Dependent Types を使ったプログラミング DML (2.8). Calculus of Construction (CC). λLF の拡張. t ::= x | λx:T.t | t t | all x:T.t

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ATTAPL 輪講 ( 第４回 ) 続 Dependent Types

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Presentation Transcript

  1. ATTAPL輪講 (第４回)続 Dependent Types 2006/06/21 稲葉 一浩

  2. 今日の内容 • Dependent Types と多相型 • Calculus of Construction (2.6) • λ-cube (2.7) • Dependent Types を使ったプログラミング • DML (2.8)

  3. Calculus of Construction (CC) • λLF の拡張 t ::= x | λx:T.t | t t | all x:T.t T ::= X | Πx:T.T | T t | Prop | Prf K ::= * | Πx:T.K Γ├ Prop :: * Γ├ Prf :: Πx:Prop.* Γ├ T :: * Γ,x:T ├ t : Prop Γ├ all x:T.t : Prop Γ├ T :: * Γ,x:T ├ t : Prop________ Γ├ Prf(all x:T.t) ≡ Πx:T.(Prf t) :: *

  4. Calculus of Construction (CC) • おおまかな気持ち • 型 Prop を持つ term とは • 命題 • データ型 • 型 Prf p を持つ term とは • 命題 p の証明 • データ型 p のメンバ

  5. 例 • 自然数のエンコーディング • zero = λz.λs.z : ∀X. (X→(X→X)→X) • one = λz.λs. s z : ∀X. (X→(X→X)→X) • succ = λm.λz.λs. s (m s z) : 略 • 自然数というデータ型を項 nat として表現 • nat : Prop • all a:Prop. all z:Prf a. all s:Prf a→Prf a. a • Prf nat≡ Πa:Prop. Πz:Prf a Πs:Prf a→Prf a. Prf a

  6. 例 • Prf nat 型をもつ項 • zero : Prf nat • λa:Prop. λz:Prf a. λs:Prf a→Prf a. z • succ : Prf nat → Prf nat • λn:Prf nat. λa:Prop. λz:Prf a. λs:Prf a→Prf a. s (n a z s)

  7. CCのできること • さまざまなAbstraction • λx:T. t 項に依存する項 λ→ • ふつうのλ抽象 • Πx:T. T 項に依存する型 λLF • Dependent Types • ΛX::*.t 型に依存する項 F • ∀X::*.T 型に依存する型 F • 多相型 id = ΛX::*.λx:X. x : ∀X.X→X • ΛX::K. t 高階の型に依存する項 Fω • ∀X::K. T 高階の型に依存する型 Fω • 高階の多相型 λx:Prop. t all x:Prop. T λx:Prop→Prop. t 等 all x:Prop→Prop. T 等

  8. 論理結合子と推論規則の表現 • and = λp:Prop. λq:Prop. all a:Prop. all pair:Prf p→Prf q→Prf a. a • left : Prf(and p q) → Prf(p) • λx:Prf(and p q). (x p) (λa.λb.a) • right: Prf(and p q) → Prf(q) • λx:Prf(and p q). (x q) (λa.λb.b)

  9. 論理結合子と推論規則の表現 • eq = λa:Prop. λx:Prf a. λy:Prf a. all p:Prf a→Prop. all h:Prf (p x). p y • eqRefl : Πa:Prop. Πx:Prf a. Prf (eq a x x) • λa:Prop. λx:Prf a. λp:Prf a→Prop. λh:Prf(p x). h • eqSym : Πa:Prop. Πx:Prf a. Πy:Prf a. Prf (eq a x y) → Prf (eq a y x) • eqRefl : 略

  10. いろいろ • Algorithmic Typing • 67ページ • Strong Normalization of Well-Typed Terms • Fω に帰着して証明するなど • CC + Sigma Types • T ::= ... | Σx:S.T • × 「ex y:T.t : Prop」 「Prf(ex y:T.t) ≡ Σy:T.Prf t」 • ○ 「σy:Prf s.t : Prop」 「Prf(σy:Prf s.t)≡Σy:Prf s.Prf t」

  11. Calculus of Inductive Construction • さっきのやり方では、「数学的帰納法」が「証明」できない • 以下の型をもつterm natIndが構成できない • natInd : Πp:Prf nat→Prop. Prf (p zero) →Πx:Prf nat. (Prf (p x) → Prf (p succ(x)) →Πx:Prf nat. Prf (p x)

  12. CIC • プリミティブとして、帰納法を表すtermを追加 • nat:Prop • zero : Prf nat • succ : Prf nat → Prf nat • natInd : Πp:Prf nat→Prop. Prf (p zero) →Πx:Prf nat. (Prf (p x) → Prf (p succ(x)) →Πx:Prf nat. Prf (p x) • natInd p hz hs zero ≡ hz • natInd p hz hs (succ n) ≡ hs n (nadInt p hz hs n) 自動的に宣言

  13. CIC • 任意の帰納的なPropに対しても同様 • list : Prop nil: Prf list cons: Prf nat → Prf list → Prf list • listInd : Πp:Prf list→Prop. Prf (p nil) → Πx:Prf nat. Πy:Prf list. (Prf (p y) → Prf (p (cons x y)) →Πx:Prf list. Prf (p x) • listInd p hn hc nil ≡ hn • listInd p hn hc (cons x y) ≡hc x (listInd p hn hc y) 自動的に宣言

  14. 注： 帰納法と再帰関数 • Strong Normalization を保証する言語では、任意の再帰関数は定義できない（停止しない可能性があるため） • CICでは、Induction termを使ってある程度の再帰関数は記述できる

  15. Coq (Barras et al., 1997) • CICに基づく • T ::= .. | Prop | Set • CC の Prop を「Prop」と「Set」に分割 • 命題として使うところではProp • データ型として使うところではSet を使う • あとでProp部分を除いてSet部分だけ残したプログラムを抽出すると、普通の関数型言語のプログラムが抽出できる

  16. λ-cube • さまざまなAbstraction Fω CC F ・ ・ λ→ λP

  17. Pure Type Systems Γ├＊：□ x:t ∈ Γ Γ├ x:t Γ├ S : * Γ,x:S├ t:T Γ├λx:S.t : Πx:S.T Γ├t1 :Πx:S.T Γ├t2:S Γ├t1 t2 : [x→t2]T Γ├t:T T≡S Γ├S:s Γ├ t: S t ::= s | x| λx:t.t | t t | Πx:t.t s ::= * | □ Γ├ S : si Γ,x:S ├ T : sj Γ├Πx:S.T : sj where (si, sj) ∈ {(*,*)} λ← {(*,*) (*,□)} λP {(*,*) (□, *)} F {(*,*) (□, *), (□,□)} Fω {(*,*) (*,□) (□, *), (□,□)} CC

  18. 今日の内容 • Dependent Types と多相型 • Calculus of Construction (2.6) • λ-cube (2.7) • Dependent Types を使ったプログラミング • DML (2.8)

  19. Dependent Typesを導入した言語 • 古くは • Pebble (Lampson and Burstall, 1988) • Quest(Cardelli and Longo, 1991) • 最近では • Cayenne (Augustsson, 1998) • Haskell ベース • Dependent ML (Xi and Pfenning, 1998) • SML ベース • Caml ベースの実装 (de Caml) もあり

  20. 問題点と解決策 • Dependent Types の型チェックはtermのequality検査が必要 • 一般の言語では、termのreductionは止まらないことがある • 停止性は決定不能 • Cayenne • 任意のtermへの依存を許す • 十分長い時間走らせて計算が止まらなければ型エラー • Dependent ML • 依存できるtermを制限して、効率的にequalityを決定可能な範囲に限る

  21. Dependent ML (Simplified) • 依存できるtermを、整数の線形な部分集合に限る I ::= int | {x:I | P} P ::= P ∧ P | i≦i i ::= x | q | qi | i + i (q∈Z) t ::= x | λx:I.t | λx:T.t | t[i] | t t T ::= X | Πx:I.T | T→T

  22. Dependent ML 例 • append • brake

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