S TRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME

1. UMI, Bari24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME Simon Salamon http://calvino.polito.it/~salamon TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

2. Org oppure Geometria Hermitiana conformemente piatta TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

3. oppure Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

4. Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

5. Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

6. Ogni superficie reale ammette una metrica Riemanniana indotta: Superficie di Riemann

7. La scelta di un versore normale definisce una struttura complessa sullo spazio tangente: anche nel senso analitico… Superficie di Riemann

8. Teorema Esistono coordinate per cui diventa una varietà complessa e una funzione olomorfa Coordinate isoterme

9. Teorema Esistono coordinate per cui In dimensione (reale) 2, una struttura conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa Coordinate isoterme

10. Teorema Esistono coordinate per cui La curvatura Gaussiana è Coordinate isoterme

11. Se allora è la proiezione stereografica sul piano equatoriale La proiezione di Mercatore

12. Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

13. Sia una varietà orientata con una struttura conforme fissata Problema Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale(SCO): Dimensioni superiori

14. Data la scelta di determina un sottogruppo cioè un punto dello spazio è la varietà di spinori “puri” Scelte puntuali

15. Isomorfismi speciali

16. è lo spazio totale di un fibrato su una sfera con fibra Spazi “twistor”

17. è una SCO su Si annulla una componente, chiamata del tensore di Weyl. Inoltre per è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti” Via un “ottavo” della curvatura

18. dim 4 Il tensore determina le possibili SCO su Ogni superficie di Del Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana dim 6 ? Via un “ottavo” della curvatura è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

19. Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

20. Una struttura complessa ortogonale su è determinata da un’applicazione è una funzione olomorfa in Deformazioni con il seguente sistema di integrabilità

21. definita su tutto definita su definita su è una funzione olomorfa in Tre soluzioni esplicite

22. Problema Su quali altri domini esistono strutture complesse ortogonali (SCO)? Tre soluzioni esplicite definita su tutto definita su definita su

23. è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting Il “grafico” di una SCO

24. Lemma Data una SCO su la sua immagine è una superficie complessa in . Viceversa, ogni sezione complessa in ha la forma dove è una SCO su è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting Il “grafico” di una SCO

25. Un piano contiene esattamente una fibra La quadrica contiene per Le soluzioni precedenti

26. Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

27. Teorema 0 I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è costante Strutture “intere”

28. Teorema 1 Teorema 0 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Strutture “intere” Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è costante

29. Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Strutture “intere” Misura di Hausdorff

30. Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 è analitico Basato su Bishop 1964, generalizzazione di Remmert-Stein 1955 Eliminazione delle singolarità

31. Il grafico di è un insieme analitico è analitico Chow, Mumford è algebrico, di deg 1 Eliminazione delle singolarità Shiffman 1968

32. Teorema 2 Sia una SCO su (che non estende a ). Il grafico di in è contenuto in una quadrica con dove agisce su ammette una metrica Kähleriana completa conformemente piatta Quadriche “reali”

33. Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

34. Si consideri una quadrica nondegenere è bi-olomorfa a Superfici quadriche inCP3

35. Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Problema Il risultato dovrebbe dipendere da parametri reali Il gruppo conforme

36. Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Problema Basta studiare l’azione del sottogruppo sullo spazio delle matrici reali 3x3 SVD Diagonalizzazione Il gruppo conforme

37. Qualsiasi quadrica nondegenere in è equivalente a quella associata a Teorema 3 per qualche Forma canonica

38. …è l’unione dove Il luogo discriminante in S4

39. Teorema 4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità: è una circonferenza in è un 2-toro liscio snodato è un 2-toro pinzato in 2-tori in S4

40. ha 2 componenti COROLLARIO un toro solido Esiste una SCO con dominio massimale Il caso generico è un 2-toro liscio snodato

41. Caratterizzazione conforme dei 2-tori disciminanti in Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette “verticali” Un teorema di Liouville per basato sull’area Problemi aperti

42. Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer,P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin,arXiv:math/0608213 Pontecorvo,Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky,arXiv:0704.3422Schoen-Yau,Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski,J Geom Phys1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

43. Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer,P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin,arXiv:math/0608213 Pontecorvo,Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky,arXiv:0704.3422Schoen-Yau,Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski,J Geom Phys 1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981