数字信号处理多媒体教学系统版权所有： yuning 2003 。 3 第 2 版

快速傅立叶变换FFT是DFT计算的高效、快速算法。快速傅立叶变换FFT是DFT计算的高效、快速算法。 1、问题的提出：直接计算DFT的计算量：

计算DFT的一个值X(k)需要进行N次复数乘法（包括与1相乘）和N-1次复数加法，一共要计算N个值，所以要进行N2和N(N-1)次复数加法计算DFT的一个值X(k)需要进行N次复数乘法（包括与1相乘）和N-1次复数加法，一共要计算N个值，所以要进行N2和N(N-1)次复数加法

所以直接计算的计算量为N2数量级，需要改进算法提高计算效率。所以直接计算的计算量为N2数量级，需要改进算法提高计算效率。 1965年库利——图基发表DFT的快速算法FFT。使计算量降到(N/2)log2N。计算量比较表

2、FFT算法的引入： （1）把长序列分解成短序列计算，然后再组合出结果。（3）根据这两点提高计算效率的方法，提出了多种不同的算法。如库利——图基算法（时间抽取基2FFT算法）；桑德——图基算法（频率抽取基2FFT算法）；WFTA算法（小N素数组合算法）；CZT算法（线性调频Z变换算法）；ZFFT算法（局部频谱细化算法）等等。

4.1 库利——图基算法（时间抽取基2FFT算法） 4.1.1 基本原理为了便于分解，设序列的长度N为2的整数次方，N=2K。

基本蝶形运算 2点DFT运算

x[0] X[0] X[1] x[4] W0 x[2] X[2] W0 x[6] X[3] W0 W2 x[1] X[4] W0 x[5] W1 X[5] W0 W2 x[3] X[6] W0 W3 x[7] W0 W2 X[7] N = 8基2时间抽取，可得出如下计算流程图：

4.1.2 计算量和算法特点 如：序号 n和混序号用3位二进制数表示，它们互为反转。（1）以碟形运算为基础进行组合计算，计算因子WK的指数K与运算所在的级数和组内位置有关。（2）中间数据的存储，可采用原位存储法。即每次碟形运算的结果可以存储在原数据的同一个存储单元。这样在高速硬件实现时，可节省存储器。（3）输入序列的混序。因为DFT输入序列是顺序采样的，所以在计算FFT 之前需要进行序列按混序要求排序。排序算法很多，较常用的计算混序号的方法有二进制序号反转算法。

n0 n1 n2 0 x(000) 0 x(100) 4 0 1 0 0 1 x(010) 2 x(110) 6 X(n2n1n0) 1 0 0 x(001) 1 x(101) 5 1 1 0 x(011) 3 x(111) 7 1 1 倒序重排的原理图－－码位颠倒树状图(N=8) 首先将序列x(n)分为偶数取样和奇数取样，偶数项出现在上半部分，奇数项出现在下半部分，其实我们就可以通过考察样本标号的最低为二进值码n0,如果为0，就在上半部分，为1在下半部分。第二次分解按倒数第二位进行判断，逐次分解逐次判断直到全部判决完为止。

4.2 桑德——图基算法（频率抽取基2FFT算法）

基本蝶形运算 2点DFT运算

x[0] X[0] x[1] X[4] W0 x[2] X[2] W0 x[3] X[6] W2 W0 x[4] X[1] W0 x[5] W1 X[5] W0 W2 x[6] X[3] W0 W3 x[7] X[7] W2 W0 N = 8基2频率抽取，可得出如下计算流程图：

4.2.2 计算量和算法特点 （1）以蝶形运算为基础进行组合计算，计算因子WK的指数K与运算所在的级数和组内位置有关。（2）中间数据的存储，可采用原位存储法。即每次蝶形运算的结果可以存储在原数据的同一个存储单元。这样在高速硬件实现时，可节省存储器。（3）输出序列为混序。因为DFT输出序列要求是顺序的，所以在计算FFT 之后需要进行序列按混序要求排序。输出序列混序与时间抽取方法的输入序列混序相同。所以排序算法相同。两种FFT算法的计算量相同，计算过程也类似。所以，在实际应用中两种算法可以任意选用。FFT算法大大地减少了DFT的计算量，使计算机数字信号处理得以广泛应用。

4.3.1 FFT的实现方法： 抽样 A/D 窗口截断 FFT 频谱分析抗混叠滤波器 x(t) x[n] X[k] 4.3 FFT的实现方法与应用（1）软件实现。用于各种多媒体系统。（2）单片信号处理微机（DSP）实现。如著名的TMS320系列信号处理机。具有固化的FFT程序，计算1024点浮点数据只需2mS；128阶FIR数字滤波器可处理10MHz的信号。用于实时多媒体系统，如可视电话，语言识别系统等。（3）阵列处理机实现。如信号处理阵列机；并行处理机等。用于大型图象信号处理，如气象卫星云图处理等。 4.3.2 FFT的应用 1、信号的频谱分析：主要误差的处理：混叠误差（抗混叠滤波，提高采样频率）；泄漏误差（窗口函数的修正）；栅栏效应（采样点数N的选定，延长采样时间t=NT）。 A/D变换器的精度要求要根据实际情况，使频谱X(k)满足分析要求。

|H(k)| tp -fs/2 fs/2 例：某FFT信号分析处理器采样频率为 5.12KHz。为了便于计算，取信号数据点数N是2的整数次方。问该处理器信号分析的频率范围是多少？若信号分析要求频谱的分辨率达10Hz，求信号采样持续时间至少为多长？信号数据点数应为多少？

2、快速卷积 FFT 计算（快速算法）：一般应用中，有M >> N。这时，可以采用分段计算方法，进一步减少计算量。分段计算，可以用重叠相加法和重叠保留法。

4.4 线性调频Z变换算法 DFT频谱是序列的Z变换在单位圆上的等间隔取样。但在一些应用中，需要计算某一段范围的较密集取样点的频谱；或非等间隔取样点的频谱；甚至可能要求频谱的取样点不在单位圆上，而在某一条螺旋线上。对于这样一些频谱计算要求，DFT计算无法满足。在这些情况下，采用线性调频Z变换算法（Chirp Z Trasnation CZT)是很有效的。 4.4.1 CZT算法的基本原理

(M-1) Z1 Z2 Z0 θ0 ZM-1 A0 Re 1.0

CZT计算流程

4.4.2 CZT算法的快速算法：

4.4.2 CZT算法的快速算法计算步骤：

4.4.3 CZT算法的计算量：

4.5 实数序列的FFT高效算法和高效卷积： 4.5.1实数序列的FFT高效算法 FFT计算为复数运算，所以输入序列 x(n)在运算时可以为复数数据。如果是实序列一般是把虚部置0。如果利用虚部数据可以提高计算效率。所以，通过组合后计算一次N点FFT可以得出2个N点实数序列的DFT频谱。

计算2N点的实序列 如果希望计算2N点实数序列的FFT，也可以采用组合方法提高计算效率。将2N点的实序列分成两个N点实序列（按偶数项和奇数项分组），在组合成复数序列进行FFT运算。即一个2N点的实序列的DFT可以用N点的FFT实现。

4.5.2 实数序列的FFT高效卷积算法 高效卷积可用于：一次快速卷积可计算两个信号分别输入一个LTI系统的两个输出；或一个信号分别输入两个LTI系统的输出。用于分段卷积可以一次计算两个分段。

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