Automatic Control Theory

1. 自 动 控 制 原 理 Automatic Control Theory 华北科技学院

2. 第 三 章线性系统的时域分析法

3. 本章主要内容 • 3-1 系统时间响应的性能指标 • 3-2 一阶系统的时域分析 • 3-3 二阶系统的时域分析 • 3-4 高阶系统的时域分析 • 3-5 线性系统的稳定性分析 • 3-6 线性系统的稳态误差计算

4. 3-1 系统时间响应的性能指标

5. y(t)  p 1 td 稳态误差 0.5 0 tr t tp ts 3.10 一、阶跃响应性能指标 动态性 1.延迟时间td：响应 曲线第一次达到其终值 一半所需时间。 2.上升时间tr：响应 从终值10%上升到终值 90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。 3. 峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。 4. 调节时间ts：响应到达并保持在终值内所需时间。

6. y(t)  p 1 td 稳态误差 0.5 0 tr t tp ts 3.10 5.超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比，即 ●稳态性能：由稳态误差ess描述。 华北科技学院

7. 3-2一阶系统的时域分析

8. R i(t) C C(s) E(s) R(s) 1/Ts (-) 一、一阶系统的数学模型 控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RC电路: • 微分方程: • 传递函数: • 结构图 ： 该系统称为一阶系统，其特点是具有一阶导数。

9. y(t) 初始斜率为1/T j S平面 1 0.982 0.95 0.865 0.632  0 h(t)=1-e-t/T P=-1/T 0 T 2T 3T 4T t (a) 零极点分布 (b)单位阶跃响应曲线 二、一阶系统的单位阶跃响应 输入r(t)=1(t) ，输出

10. 特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T； 3）无超调；稳态误差ess=0。 性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02)

11. g(t) 初始斜率为 0.368/T 0.135/T 0.05/T 0.018/T 0 t 2T T 3T 4T (c) 单位脉冲响应曲线 三、一阶系统的单位脉冲响应 输入 r(t)=(t)，输出 特点：1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 初始斜率为-1/T2； 3) 无超调；稳态误差ess=0 。

12. 四、一阶系统的单位斜坡响应 输入r(t)=t，输出 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等。 稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1 . 五、一阶系统的单位加速度响应 跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。

13. 结论：一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数 线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。

14. E(s) R(s) C(s) 100/s (-) 0.1 • (2) • 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即, 得 例3.1某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2）若要求 ts=0.1s,求反馈系数 Kh。 解: (1) 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s

15. 3-3二阶系统的时域分析

16. 一、二阶系统的数学模型 控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。 微分方程 ： •取拉氏变换，有 标准形式 •整理得传递函数

17. 二阶系统的数学模型 绘制系统结构图

18. 对应的微分方程 闭环传递函数 开环传递函数

19. 故得结构图 其中：ωn—自然频率；ζ—阻尼比。 二、二阶系统的阶跃响应 输出的拉氏变换为

20. c(t) 1.6 j 2 2 1.4 1 3 1.2 3 1 1.0  0.8 4 5 5 0.6 0 5 0.4 4 1 3 0.2 t 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (a) 闭环极点分布 (b) 单位阶跃 响应曲线 二阶系统特征方程： 则方程的根决定了系统的响应形式。 • 描述如下：

23. j s1 = jd ωn =cos   0 -n s2 1.欠阻尼二阶系统（0＜ζ＜１） • 系统有一对共轭复根： 阶跃响应为 •系统有一对共轭复根： 中其中 欠阻尼二阶系统的单位阶响应应由稳态和瞬态两部分组成： •稳态部分等于1，表明不存在稳态误差； 瞬态部分是阻尼正 弦振荡过程，阻尼的大小由 n (即σ，特征根实部）决定 • 振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由 阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。

24. = 2.临界阻尼二阶系统（即ζ=1 时） • 系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不 存在稳态误差。 3.无阻尼二阶系统 （即ζ=0 时） • 此时系统有两个纯虚根： s1,2 =±j n •阶跃响应： c(t)=1-cos nt •系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。 • 系统有两个相同的负实根：s1,2= -n •阶跃响应:

25. 4. 过阻尼二阶系统 （即ζ>1 时） • 此时系统有两个不相等负实根 • 阶跃响应： • 系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。

26. 2.0 =0 1.8 0.1 1.6 0.4 0.2 1.4 0.5 0.3 1.2 c(t) 0.6 1.0 0.7 0.8 0.8 1.0 0.6 2.0 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 nt ◇ 以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：

27. 3-3 欠阻尼二阶系统的动态性能指标

28. 一、动态性能指标计算 1、上升时间 tr 单位阶跃响应 阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。 令 有 2、峰值时间 tp 单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

29. 超调量 单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。 调节时间ts 单位阶跃响应进入± 误差带的最小时间。 • 根据定义

30. c(t) 1 （=2%时） 0 t (=5%) 工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。 欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图： 包络线 2.参数ζ对单位阶跃响应性能的影响 •阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； •ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差； •ζ=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。

31. C(s) R(s) (-) 例3.2 已知图中T=0.2,K=5,求系统单位阶跃响应指标 解：系统闭环传递函数为 • 化为标准形式 即有2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25 • 解得n=5, ζ=0.5

32. h(t) 1.3 1 0 0.1 t(s) 例3.3 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所 示，试确定其开环传递函数。 解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。

33. 3.具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响 二阶系统的闭环传函具有如下标准形式

34. 对应的性能指标为

35. cz(t) c(t) 2.0 c(t) cz(t) 1.8 r=1 1 1.6 r =1/2 1.4 1.2 t 1.0 0 0.8 r =1/4 0.6 0.4 t 0 r =0 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 nt (a) 闭环零点对系统暂态 响应的影响 (b) 单位阶跃响应曲线 (ζ=0.5)

36. 说明： 1.闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应过程(起始段)； 2.削弱系统阻尼，超调量大； 3.合理的取值范围为 。

37. 零输入响应 零状态响应 4. 初始条件不为零的二阶系统的响应过程

38. 二阶系统 一阶系统 高阶系统 c(t) 1.6 2 1.4 1 3 1.2 y(t) 1.0 1 0.8 0.6 5 0.4 4 0.2 0 t T 2T 3T 4T t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (b) 单位阶跃 响应曲线

39. C(s) R(s) Tds+1 (-) Go(s) 6、改善二阶系统性能的措施 1.比例-微分控制 开环传递函数： 开环增益： 闭环传递函数： 闭环系统具有零点,可以使上升时间提前，阻尼增大，超调减小。

40. 特点： （1）引入比例微分控制，使系统阻尼比增加从而 抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性； （2）零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，显著提高快速性。 （3）不影响系统误差，自然频率不变。

41. C(s) R(s) (-) (-) Kts 2.速度反馈控制 开环传递函数为： 闭环传递函数：

42. 由上所述可知： 1)速度反馈使增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性； 2)速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例——微分控制； 3)系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大， 因此应适当提高系统的开环增益。

44. 3-4 高阶系统的时域分析

45. 二、高阶系统的单位阶跃响应

46. Im s1 s3 Re s2 三、闭环主导极点 1、定义 在高阶系统的诸多闭环极点中， （1）把无闭环零点靠近； （2）离虚轴最近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上； 则称其为闭环主导极点。

47. (1)各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决定。系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。 (3)若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。 (2)系数 和 不仅与S平面中的极点位置有关，并且与零 点有关。 a.零极点相互靠近，且离虚轴较远， 越小，对 影响 越小； b.零极点很靠近，对 几乎没影响； c.零极点重合（偶极子）， 对 的影响可以忽略； d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影响大。

48. j p2 j1.2 p1  0 -0.75 -5 -j1.2 p3 (a)闭环极点分布图 • 分析方法1)可由系统主导极点估算高阶系统性能。 • 2) 忽略偶极子的影响。 c(t) t (b)单位阶跃响应曲线

49. 四、利用主导极点估算系统的性能指标 （1）主导极点在动态过程中起主要作用； （2）在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统进行分析。 偶极子：如果闭环零、极点相距很近，则这样 的零、极点称为偶极子。

50. 例4-5某系统的闭环传递函数为 试近似计算系统的动态性能指标 。 解：这是三阶系统，有三个闭环极点 其开环零、极点分布如图所示。