Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Referencia bibliográfica: “BIOFISICA- Procesos de autoorganización en Biología” de Francisco Montero y Federico Morán Presentación a cargo de Victoria Gradin

2. Ejemplo: Proceso cinético ki : ctes. cinéticas A, B se mantienen fijas X, Y son variablesºº

3. Definiciones y conceptos básicos Ecuación que relaciona una función y sus derivadas * Ecuación diferencial (ED): t: variable dependiente x: variable dependiente i: parámetros que afectan a la función f La solución de una ED es una función x(t)

4. Orden de una ED: Es el orden de la derivada de mayor orden Orden 1 Orden 2

5. Ecuación diferencial lineal Es una ED donde la función f es lineal en la variable x Lineal No lineal

6. Ecuación diferencial autónoma Se da cuando la variable dependiente, t, no aparece de modo explícito en la función f. Autónoma No Autónoma

7. Número de variables dependientes Dimensión de un sistema de ED.: Sistemas de ecuaciones diferenciales Dimensión = 2

8. Cambio de variables Cualquier ED de orden mayor a 1 se puede transformar en un sistema equivalente de EDs de primer orden

9. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ED o sistemas de ED de primer orden cuyas variables y parámetros son números reales

10. Resolver el sistema de ED implica que a partir de ciertas condiciones iniciales podamos conocer el valor de las variables para cualquier valor del tiempo. X(t=0) Y(t=0) X(t) Y(t)

11. Teorema de existencia Si las funciones fi son continuas, dadas ciertas condiciones iniciales el sistema de EDO tiene solución

12. Teorema de unicidad Por cualquier punto solo pasa una solución o trayectoria.

13. Orbitas, espacio o plano de fase plano de fase órbita

15. Estabilidad de las soluciones de un sistema de EDO

16. Estabilidad según Liapunov Una solución es estable según Liapunov si las soluciones que pasan por puntos cercanos permanecen en los alrededores de la misma incluso a tiempo infinito.

17. Inestabilidad Una solución es inestable si cualquier otra que pasa por un punto muy próximo a ella se aleja de la misma.

18. Estabilidad asintótica Una solución es asintóticamente estable si cualquier otra que pase por un punto cercano se le aproxima en el infinito.

19. Estabilidad orbital (Válida para las soluciones periódicas) Una solución es orbitalmente asintóticamente estable sí y sólo sí su órbita es asintóticamente estable.

21. Estable Inestable Semiestable Ciclo límite Es una órbita periódica que ha de ser asintóticamente estable, inestable o semiestable.

22. SOLUCIONES ESTACIONARIAS

23. Nos conformamos con hallar ciertas soluciones particulares Estados estacionarios del sistema Resolver estos sistemas y hallar sus soluciones explícitamente en general es MUY DIFICIL!!!!

24. y t x Estados estacionarios Son aquellas soluciones en las cuales las variables del sistema no varían con el tiempo x(t) = x0 y(t)=y0

26. Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra x: población de presas y: población de predadores Hallamos los estados estacionarios: 1) x0=0 y0=0 2) x0=k3/k2 y0=k1A/k2

27. ¿Qué tan estables son los estados estacionarios? ¿Son asintóticamente estables? ¿Son estables según Liapunov? ¿Son inestables?

28. Perturbación x(t)=x0+x(t) y(t)=y0+ y(t)

29. Haciendo un desarrollo de Taylor de las funciones fx y fy y asumiendo perturbaciones pequeñas: Sistema que representa la evolución temporal de las perturbaciones en las proximidades del estado estacionario

31. Resolver este sistema es relativamente facil porque es un sistema lineal Jacobiano del sistema

32. c1, c2, d1, d2 son ctes. que dependen de las cond. iniciales w1 y w2 son los valores propios de la matriz jacobiana

33. Determinación de valores propios

35. NODO ESTABLE 1) >0 T<0 T2-4  0 w1 y w2 son reales negativos El estado estacionario es asintóticamente estable

36. 2) >0 T<0 T2-4 < 0 w1 y w2 son complejos con parte real negativa FOCO ESTABLE El estado estacionario es asintóticamente estable

37. 3) >0 T=0 T2-4 < 0 w1 y w2 son imaginarios puros de diferente signo CENTRO El estado estacionario es estable según Liapunov

38. 4) >0 T>0 T2-4  0 w1 y w2 son reales positivos NODO INESTABLE El estado estacionario es inestable

39. 5) >0 T>0 T2-4 < 0 w1 y w2 son complejos con parte real positiva FOCO INESTABLE El estado estacionario es inestable

40. 6) <0 T cualquiera T2-4 > 0 w1 y w2 son reales de diferente signo PUNTO SILLA El estado estacionario es inestable

41. CONCLUSION La condición necesaria y suficiente para que el estado estacionario sea asintóticamente estable es que todas las partes reales de los valores propios sean negativas. Basta que uno de los valores propios tenga una parte real positiva para que el estado estacionario sea inestable.

42. Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra x: población de presas y: población de predadores Hallamos los estados estacionarios: 1) x0=0 y0=0 2) x0=k3/k2 y0=k1A/k2

44. 1) Estado estacionario x0 = y0 = 0 w1 y w2 son reales y de diferente signo PUNTO SILLA

46. 2) Estado estacionario x0 = k3/ k2 y0= k1A/ k2 w1 y w2 son dos imaginarios puros CENTRO