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Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. CAPÍTULO 3. Contenidos. 3.1 Ecuaciones Lineales: teoría básica 3.2 Reducción de Orden 3.3 Ecuaciones Lineales Homogéneas con coeficientes constantes 3.4 Coeficientes Indeterminados 3.5 Variación de Parámetros 3.6 Ecuación de Cauchy-Euler

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  1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior CAPÍTULO 3

  2. Contenidos • 3.1 Ecuaciones Lineales: teoría básica • 3.2 Reducción de Orden • 3.3 Ecuaciones Lineales Homogéneas con coeficientes constantes • 3.4 Coeficientes Indeterminados • 3.5 Variación de Parámetros • 3.6 Ecuación de Cauchy-Euler • 3.7 Ecuaciones No lineales • 3.8 Modelos Lineales: Problemas de Valor Inicial • 3.9 Modelos Lineales: Problemas de Valor en la Frontera • 3.10 Modelos No Lineales • 3.11 resolución de Modelos de Ecuaciones Lineales

  3. 3.1 Ecuaciones Lineales: teoría Básica • Problemas de valor inicialUn problema de valor inicial de n-ésimo orden esResolver: Sujeta a : (1)con n condiciones iniciales.

  4. TEOREMA 3.1 Existencia de una solución única Sea an(x), an-1(x), …, a0(x),y g(x)continuas en I, an(x)  0para todo x de I. Si x = x0 cualquier punto de Este intervalo, entonces existe una solución y(x)de (1) En el intervalo y s única.

  5. Ejemplo 1 • El problema posee la solución trivial y = 0. Como es una ED con coeficientes constantes, por el Teorema 3.1, y = 0es la única solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1.

  6. Ejemplo 2 • Compruebe que y = 3e2x + e–2x– 3x, es una solución de Esta ED es lineal y los coeficientes, como g(x),son todos continuos, y a2(x)  0 en cualquier intervalo que contenga x = 0.Esta ED tiene una solución única en I.

  7. Problemas de Valor en la Frontera • Resolver:Sujeta a : se llama un problema de valor en la frontera (PVF).(Fig 3.1)

  8. Fig 3.1

  9. Ejemplo 3 • En el ejemplo 4 de la Sec 1.1, vemos la solución de esx = c1 cos 4t + c2 sin4t (2) • Suponemos que x(0) = 0,entonces c1 = 0, x(t) = c2 sen 4t Además, x(/2) = 0,obtenemos 0 = 0,de ahí (3) tiene infinitas soluciones. (Fig 3.2) (b) Si(4) tenemos que c1 = 0, c2= 0, x = 0es solución única.

  10. Ejemplo 3 (2) (c) Si (5) tenemos que c1 = 0, y 1 = 0 (contradicción).De ahí que (5) no tiene solución.

  11. Fig 3.2

  12. La siguiente ED (6)se dice que es homogénea; (7)con g(x)no nula, es no homogénea.

  13. Operadores Diferenciales • Sea dy/dx = Dy. Este símbolo D se llama operador diferencial. Definimos a un operador diferencial de n-ésimo orden u operador polinominal como (8)Además, tenemos que (9)por tanto el operador diferencial L es un operador lineal. • EcuacionesDiferencialesPodemos escribir las DEs simplemente como L(y) = 0yL(y) = g(x)

  14. TEOREMA 3.2 Sean y1, y2, …,yksoluciones de ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden(6) en un intervalo I. Entonces la combinación linealy = c1y1(x) + c2y2(x)+ …+ckyk(x)donde ci, i = 1, 2, …, k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo. Principio de Superposición – Ecuaciones Homogéneas

  15. COROLARIOS Corolarios del Teorema 3.2 (A) y = cy1 también es solución si y1es una solución. (B) Una ED lineal homogénea siempre posee la solución trivial y = 0.

  16. DEFINICIÓN 3.1 Depedencia Lineal e Independenciay Un conjunto de f1(x), f2(x), …, fn(x)es linealmente dependiente en un intervalo I, si existen ciertas Constantes c1, c2, …, cn no todas nulas, tales quec1f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0Si el conjunto no es linealmente dependiente, es linealmente independiente. Ejemplo 4 • Las funciones y1= x2, y2= x2 ln x ambas son soluciones de Luego y = x2+ x2 ln x también es una solución en (0, ).

  17. En otras palabras, si el conjunto es linealmente independiente, cuando c1f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0entonces c1 = c2 = … = cn= 0 • Con respecto a la Fig 3.3, ninguna función múltiplo constante de las demás, luego estas dos funciones son linealmente independientes.

  18. Fig 3.3

  19. Ejemplo 5 Las funciones f1 = cos2 x, f2 = sin2x, f3 = sec2x, f4 =tan2x son linealmente dependientes en el intervalo(-/2, /2) porquec1 cos2 x +c2 sin2x +c3 sec2x +c4 tan2x = 0caundo c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 = 1.

  20. Ejemplo 6 • Las funciones f1 = x½+ 5,f2 = x½ + 5x, f3 = x – 1, f4 = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, ), porque f2 = 1 f1 + 5 f3 + 0 f4

  21. DEFINICIÓN 3.2 Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x) posee al menos n – 1 derivadas. El determinantese llama el Wronskiano de las funciones. Wronskiano

  22. TEOREMA 3.3 Sean y1(x), y2(x), …,yn(x) soluciones de la ED homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I. Este conjunto de soluciones es linealmente independiente si y sólo si W(y1, y2, …,yn)  0 para todo x en el intervalo. Criterio para soluciones Linealmente independientes DEFINITION 3.3 Cualquier conjunto y1(x), y2(x), …, yn(x) de n soluciones linealmente independientes se llama conjunto fundamental de soluciones. Conjunto Fundamental de Soluciones

  23. TEOREMA 3.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ED lineal (6) en un intervalo I. TEOREMA 3.5 Sea y1(x), y2(x), …,yn(x) un conjunto fundamental de Soluciones de la ED lineal homogénea (6) en un intervalI. Entonces la solución general esy = c1y1(x) + c2y2(x) + … +cnyn(x) donde ci son constantes arbitrarias. Solución general, ecuaciones homogéneas

  24. Ejemplo 7 • Las funciones y1 = e3x, y2 = e-3xson soluciones de y” –9y = 0on (-, )Ahora para todo x. Así que y = c1y1 + c2y2es la solución general.

  25. Ejemplo 8 • La función y = 4sinh 3x - 5e3x es una solución del ejemplo 7 (Copruébelo). Observe = 4 sinh 3x – 5e-3x

  26. Ejemplo 9 • Las funcionesy1= ex,y2 = e2x , y3 = e3xson soluciones de y’’’ –6y” + 11y’ –6y = 0on (-, ). Comoparatodo valor realdex. y = c1ex + c2e2x + c3e3xes la solución general en (-, ).

  27. TEOREMA 3.6 Sea ypcualquiersolución particular de (7) en un intervaloIiscalled a particular solución. Y sea y1(x), y2(x), …,yk(x) un conjunto fundamental de soluciones de (6), entonces la solución general de la ecuación en el intervaloes y= c1y1 + c2y2 +… + ckyk + yp(10) Dondelasci, i= 1,2,….,n son constantesarbitrarias Solución General –Ecuaciones No homogéneas • FunciónComplementariay = c1y1 + c2y2 +… +ckyk +yp= yc + yp = funcióncomplementaria+ unasolución particular

  28. Ejemplo 10 • La función yp= -(11/12) –½ xes una solución particular de (11)Por las conclusiones anteriores, la solución general de (11) es

  29. TEOREMA 3.7 Dados (12)donde i = 1, 2, …, k. Si ypidenota una solución particular de la ED (12) Correspondiente, con gi(x), tenemos (13)es una solución particular de (14)

  30. Ejemplo 11 • Deducimos queyp1 = -4x2 es una solución particular deyp2 = e2xes una solución particular de yp3 = xexes una solución particular de Del Teorema 3.7, es una solución de

  31. Observación: • Si ypi es una solución particular de (12), entonces también es una solución particular de (12) donde el miembro de la derecha es

  32. 3.2 Reducción de Order • Introducción:Sabemos que la solución general de (1)es y = c1y1 + c2y1. Suponemos que y1(x)denota una solución conocida de (1). Aceptamos que la otra solución y2es de la forma y2= uy1.Nuestro objetivo es encontrar una u(x)y este método se llama reducción de orden.

  33. Ejemplo 1 Dada y1 = ex , una solución de y” – y = 0,hallar la segunda solución y2 por el método de reducción de orden. SoluciónSi y = uex, entonces Y Como ex  0, se permite que w = u’,entonces

  34. Ejemplo 1 (2) Así(2)Escogiendo c1= 0, c2= -2, tenemos y2= e-x. Porque W(ex, e-x)  0para todo x, son independientes.

  35. Caso General • Escribimos (1) en la forma estándar (3)Sea y1(x)una solución conocida de (3) e y1(x)  0 para todo x en el intervalo. • Si definimos y = uy1, tenemos

  36. Esto implica queo(4)donde se permite que w = u’. Resolviendo (4), tenemosó

  37. luegoSea c1 = 1, c2 = 0,obtenemos (5)

  38. Ejemplo 2 La función y1= x2es una solución de Hallar la solución general en (0, ). Solución:La forma estándar esDe (5)La solución general es

  39. 3.3 Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes • Introducción: (1)donde ai son constantes, an 0. • Ecuación Auxiliar :Para n = 2, (2)Si sustituimos y = emx, (3)se llama una ecuación auxiliar.

  40. De (3) las dos raíces son:(1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas.(2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales.(3) b2 – 4ac < 0: números conjugados complejos.

  41. Caso 1: Raíces reales y distintasLa solución general es(4) • Caso 2: Raíces reales repetidasy de (5) de Sec 3.2, (5)la solución general es (6)

  42. Caso 3: Raíces complejas conjugadasEscribimos, una solución general es De la fórmula de Euler: y(7) y

  43. Como es una solución luego el conjuntoC1= C1 = 1y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos do soluciones: Así, ex cos x y exsen x un conjunto fundamental de soluciones, esto es, la solución general es(8)

  44. Ejemplo 1 • Resolver las EDs siguientes: (a) (b) (c)

  45. Ejemplo 2 Resolver Solución:(Fig 3.4)

  46. Fig 3.4

  47. Dos ecuaciones que ale la pena conocer • para la primera ecuación :(9)Para la segunda ecuación :(10)Sea Luego(11)

  48. Ecuaciones de Orden Superior • Dada (12)tenemos (13)es una ecuaciónauxiliar .

  49. Ejemplo 3 Resolver Solución:

  50. Ejemplo 4 Resolver Solución:

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