第四章插值法 ( Interpolation Method)

第四章插值法(Interpolation Method) 邹秀芬教授数学与统计学院

举例已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温这就是本章要讨论的“插值问题”

插值问题的定义 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间[a,b]上一系列节点 x0 … xm处测得函数值 y0= f(x0), …, ym= f(xm)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)，满足条件 g(xj) = f(xj) (j = 0, … m) (*) 这个问题称为“插值问题” 这里的 g(x)称为f(x) 的插值函数。节点 x0 … xm称为插值节点, 条件（*)称为插值条件，区间[a,b]称为插值区间

x3 x4 x2 x0 x1 x g(x) f(x)

插值函数的类型有很多种 代数多项式最常用的插值函数是 …? 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值本章主要讨论的内容插值法插值函数插值问题

一、插值问题解的存在唯一性？ • 二、插值多项式的常用构造方法？ • 三、插值函数的误差如何估计？代数插值

4.2 代数插值问题解的存在惟一性 给定区间［a,b］上互异的n+1个点｛xj｝nj=0的一组函数值f(xj)，j =0，…, n，求一个n次多项式pn(x)∈Pn，使得 pn(xj)=f(xj)，j=0,1,…，n. …... (1) 令 pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …... (2) 只要证明Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an存在唯一即可

为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组a0+a1x0+…+anx0n=f(x0)为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组a0+a1x0+…+anx0n=f(x0) a0+a1x1+…+anx1n= f(x1) ……………………. a0+a1xn+…+anxnn= f(xn) ……(3)

而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an存在且唯一。

为此我们必须从其它途径来求Pn(x)： • 不通过求解方程组而获得插值多项式通过解上述方程组(3)求得插值多项式pn(x)的方法并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病态方程组）,当阶数n越高时，病态越重。

基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 0(x),1(x),…, 3（x),使 pn(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+…+an 3（x) 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 Lagrange插值 Newton插值

求 n次多项式 使得已知 x0, x1; y0,y1，求 - y y = + - 1 0 P ( x ) y ( x x ) - 1 0 0 x x 1 0 1 = y0+ y1  = l ( x ) y i i = 0 i l0(x) l1(x) - - x x x x 0 1 - - x x x x 0 1 1 0 4.3 Lagrange插值使得 n = 1 可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0) 和 ( x1, y1) 两点的直线。

（2） 与节点有关，而与f无关 • 构造基函数 j=0,1,…，n （1）这里每个lj(x)都是n次多项式，且由(1)式容易验证 lj(x）满足

可以证明函数组l0(x)，l1(x)，…, ln(x) 在插值区间［a,b］上线性无关，所以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数对任意的pn(x)∈Pn，都有 pn(x)=c0 l0(x)+c1 l1(x)+…+cn ln(x) 其中c0 ,c1 ,…,cn 为组合系数

由Lagrange插值基函数满足(2)式可知，方程组变成由Lagrange插值基函数满足(2)式可知，方程组变成因此得到插值多项式 pn(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x) 称Ln(x)为n次Lagrange插值多项式记为Ln(x)＝ f(xj)lj(x)

The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their things, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!" The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, ..."

插值余项 /* Remainder */ 存在使得 Rolle’s Theorem的推论: 若充分光滑，且定理4.3.1 若在[a , b]内存在, 则在[a , b]上的n+1个互异的点，对 f（x)所作的n次Lagrange插值多项式Ln (x) 有误差估计

证明：由于Rn(xi) ＝0 ，i=0,1,…，n 任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察 (t)有 n+2个不同的根 x0 … xnx

例：已知 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50，并估计误差。 利用解： n = 1 分别利用x0, x1以及 x1, x2计算

利用 计算得：sin 50  0.76008, sin 50 = 0.7660444… 利用x0, x1作为插值节点的实际误差  0.01001 利用x1, x2作为插值节点的实际误差 0.00596

n = 2 sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差  0.00061

计算实习： Lagrange Polynomial 1 输入n,x,y,x* 2 赋初始值Pai=1.0，Slag=0.0 3for i=0，1，…，n 3.1Pai*(x*-xi)→Pai end for(i)  4for j=0,1,…，n 4.1Tai=1.0 4.2for i=0,1，…，n 4.2.1if　i≠j then Tai*(xj-xi)→Tai end if end for(i)  4.3Slag+((yj*Pai)/(x*-xj)*Tai)→Slag end for(j)  5 输出Slag 6end 基函数lj(x)的分子插值节点个数基函数lj(x)的分母存放在插值点x*处的计算结果 xi,yi(i=0,1，…,n)

第四章插值法 ( Interpolation Method)