END 503 Doğrusal Programlama

1. END 503 Doğrusal Programlama Sınırlandırılmış Değişken Tekniği İ.Kara,2007

2. Sınırlandırılmış Değişken Tekniği Bir doğrusal karar modeli, j= xj nin alabileceği en küçük değer, j= xj nin alabileceği en büyük değer, : (1, 2, …, n)T alt sınırlar vektörü,  : ( 1,  2, …,  n)T üst sınırlar vektörü olmak üzere, İ.Kara,2007

3. ALT ve ÜST SINIRLAR AX=b ≤X≤ k.a. Enb x0=CX şeklinde verilsin. Bu modelin, bilinen simpleks algoritmasıyla çözülebilmesi için, Xa aylak değişkenler ve Xa artık değişkenler vektörü olmak üzere, modelin aşağıdaki şekle dönüştürülmesi gerekir. İ.Kara,2007

4. STANDART BİÇİM AX=b X+Xa= X-Xa=  X,Xa, Xa ≥ 0 k.a. Enb x0=CX İ.Kara,2007

5. BOYUTLAR Bu haliyle modelde m+n+n=m+2n tane kısıt, n+n+n=3n tane değişken olup, modelin boyutları çok büyümüştür. O halde, AX=b kısıtları üzerinde işlem yapılarak, ≤X≤ olduğunu da göz önüne alıp, modeli çözmek mümkün müdür? İ.Kara,2007

6. Alt Sınır Eğer karar değişkenlerinin yalnız alt sınır değerleri söz konusu ise, yani model, AX=b X≥ k.a. Enb x0=CX şeklinde ise, X-=Y dönüşümü yapılıp, kısıtlarda, xj yerine xj=j+yj konularak, model, AY=b-A  Y ≥ 0 k.a. Enb x0=CY haline dönüşür ve mxn lik bir karar modeli olarak çözülür. İ.Kara,2007

7. Yalnız Üst Sınır Karar değişkenlerinin yalnız üst sınır değerlerinin söz konusu olması halinde, alt sınırda olduğu gibi, AX=b üzerinde simpleks algoritmasının uygulanabileceği şekle dönüştürülemez. X≤ kısıtları, Xa aylak değişkenler vektörüyle X+Xa=  şekline getirilebilir ki, model (m+n) kısıt ve (n+n) değişkenli olmak zorundadır. İ.Kara,2007

8. Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm Karar modeli, Amxn olmak üzere, AX=b ≤X≤ k.a. Enb x0=CX şeklinde verilsin. İ.Kara,2007

9. Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm Değişkenleri sınırlandırılmış bir karar modelinde, m değişken temel değişken olmak üzere, temel dışı değişkenler alt sınır veya üst sınır değerlerini alıyorken, temel değişkenlerin değerleri verilen sınırlar içinde bulunabiliyorsa, buna “genişletilmiş temel uygun çözüm” denir. İ.Kara,2007

10. Örnek 1 Karar modeli, x1 + 2x2 + x3 ≥ 10 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 12 1≤x1≤4 x2 ≥ 2 x3≤ 3 x3 ≥ 1 k.a. Enk x0 = 2x1 + 3x2 + x3 şeklinde verilsin. İ.Kara,2007

11. Örnek 1 x1 ve x2 temel değişkenler iken, karşı gelen genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırınız. Yukarıdaki model, x4 ve x5 artık değişkenler olmak üzere, x1 + 2x2 + x3 – x4 = 10 2x1 + x2 + 3x3 – x5 = 12 1≤x1≤4 2≤x2≤∞ 1≤x3≤3 0≤x4≤∞ 0≤x5≤∞ şeklinde yazılarak, genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırılabilir. İ.Kara,2007

12. Örnek x1 ve x2 temel değişkenler iken, 1 2 -1/3 2/3 B= ve B-1= 2 1 2/3 -1/3 olup, İ.Kara,2007

13. Örnek 1 -1 0 R= 3 0 -1 olduğundan, XB=B-1b – B-1RXR eşitliğine bağlı olarak, x1 -1/3 2/3 10 -1/3 2/3 1 -1 0 x3 = - x4 x2 2/3 -1/3 12 2/3 -1/3 3 0 -1 x5 yazılır. Buradan, İ.Kara,2007

14. Örnek x1 = 14/3 - 5/3x3 - 1/3x4 + 2/3x5 ve x2 = 8/3 - 1/3x3 - 2/3x4 + 1/3x5 olarak bulunur. Bu eşitlikler göz önüne alınarak, temel dışı değişkenlerin alt veya üst sınır değerlerini almalarına göre, genişletilmiş temel uygun çözümler aşağıdaki gibi bulunur. İ.Kara,2007

15. Örnek İ.Kara,2007

16. En İyilik Koşulları XB temel değişkenler olmak üzere, BA iken |B|≠0 olsun. Temel dışı değişkenlerden alt sınır değerini alanlar , J1 kümesiyle ve XR1 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R1 matrisiyle; üst sınır değerini alanlar J2 kümesiyle ve XR2 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R2 matrisiyle gösterilsin. Böylece, AX=b sistemi: İ.Kara,2007

17. En İyilik Koşulları XB B R1 R2 XR1 = b XR2 eşitliğine bağlı olarak, BXB + R1XR1 + R2XR2=b……………(1) olarak yazılır. İ.Kara,2007

18. En İyilik Koşulları Benzer şekilde, x0-CX=0 eşitliği de, x0 – CBXB – CR1XR1 – CR2XR2 = 0…………(2) şekline dönüşür. (1) soldan B-1 ile çarpılıp, XB için çözülürse, XB = B-1b – B-1R1XR1 – B-1R2XR2………….(3) bulunur. İ.Kara,2007

19. En İyilik Koşulları Eğer XR1 ler alt sınır ve XR2 ler üst sınır değer iken, (3) nolu denklemden bulunan değerler, ilgili değişkenlerin alt ve üst sınırları arasında kalıyorsa, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunmuştur. XB nin bu değeri (2) de yerine konursa, x0 + (CBB-1R1 – CR1)XR1 + (CBB-1R2 – CR2)XR2 = CBB-1b elde edilir. İ.Kara,2007

20. En İyilik Koşulları Buradan, amaç fonksiyonu x0 ın temel değişkenlerle, alt ve üstsınır değerini almış değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesi, …(4) şeklinde bulunur. İ.Kara,2007

21. En İyilik Koşulları XB temel değişkenler iken, karşı gelen çözüm genişletilmiş bir temel uygun çözüm olsun. Bu durumda, (4) nolu eşitlikten, Enb x0 araştırılıyorken, Zj-Cj≥0 , jЄJ1 ve Zj-Cj≤0, jЄJ2 sağlanıyorsa; İ.Kara,2007

22. En İyilik Koşulları Enk x0 araştırılıyorken, Zj-Cj≤0 jЄJ1 ve Zj-Cj≥0 jЄJ2 sağlanıyorsa en iyi çözüme erişildiği görülür. İ.Kara,2007

23. Temele Girecek ve Çıkacak Değişken En iyi çözüme ulaşılamadığı zaman, öncelikle temele girecek değişken bulunmalıdır. Enb x0 araştırılıyorsa; Enb{(enb|Zj-Cj|,jЄJ1) ; (enb{Zj-Cj},jЄJ2)} ilişkisine, Enk x0 araştırılıyorsa; Enb{(enb{Zj-Cj},jЄJ1) ; (enb|Zj-Cj|,jЄJ2)} ilişkisine karşı gelen değişken işleme girecektir. İ.Kara,2007

24. Temele Girecek ve Çıkacak Değişken Böylece, ya alt sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona alt sınır üstünde değer verilecek, ya da üst sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona üst sınır altında değer verilecektir. O halde, temelden çıkacak değişkenin belirlenmesi için yapılacak işlemler, temele alınabilir değişkenin daha önce alt sınır değerli veya üst sınır değerli oluşuna göre belirlenmelidir. İ.Kara,2007

25. Temele Girecek ve Çıkacak Değişken Temele alınabilecek değişkende oluşacak farklılaşma (artış veya azalış) ∆K’nın değeri araştırılırken, uygunluk koşullarının korunabilmesi için bundan etkilenecek olan değişkenlerin, • Alt sınırın altına inmemesi, • Üst sınırın üstüne çıkmaması sağlanmalıdır. İ.Kara,2007

26. Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında xk alt sınır değerli bir değişken iken temele alınabilecek değişken olsun. xk nın alt sınırından itibaren artmaya başlamasıyla birlikte, izleyen genişletilmiş temel uygun çözümde, xk, ya üst sınır değerini alarak yine temel dışında kalacak, ya da üst sınır değerinin altında bir değer alacaktır. Bu arada temeldeki değişkenler kendi alt ve üst sınırları arasında değer alırken, xk artarken alt sınıra veya üst sınıra gelen bir değişken, temelden çıkabilecektir. İ.Kara,2007

27. Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında O halde, ∆K, xk da yapılabilir artış, xs temeldeki değişkenlerin sayısal değerleri ve ysk ,xk sütununda s inci temel değişkene karşı gelen değer olmak üzere, ∆K’nın alabileceği değer için, İ.Kara,2007

28. Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında xs + ysk∆k = xs , s ve s≤xs≤s , s ilişkileri göz önüne alınacaktır. Temeldeki değişkenler alt sınır değerlerinin altına inmeyeceklerinden, xs = xs - ysk∆k≥ s, s olmalıdır. İ.Kara,2007

29. Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında ysk≤0 ise, ∆k ≥ 0 için, daima xs ≥ s olacağından, ∆k olabilir. Eğer ysk>0 ise, ∆k > 0 için xs azalmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆k için çözülürse, ∆k ≤ (xs-αs)/(ysk), s ysk>0 elde edilir. İ.Kara,2007

30. Uygunluk Koşulları O halde, temeldeki değişkenlerin alt sınır değerlerinin altına düşmemeleri için, sağlanmalıdır. İ.Kara,2007

31. Uygunluk Koşulları Temeldeki değişkenler üst sınır değerlerini geçemeyeceklerinden, xs = xs - ysk∆k≤ βs, s olmalıdır. İ.Kara,2007

32. Uygunluk Koşulları ysk>0 ise, ∆k > 0 için daima xs≤ βs olacağından, ∆k istenildiği kadar büyütülebilir. Eğer ysk<0 ise, ∆k > 0 için xs artmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆k için çözülürse, ∆k ≤ (βs- xs)/(-ysk), s ysk<0 elde edilir. İ.Kara,2007

33. Uygunluk Koşulları O halde, temeldeki değişkenlerin üst sınır değerlerini aşmamaları için, olmalıdır. İ.Kara,2007

34. Uygunluk Koşulları xk nın alabileceği değer kendi sınırları içinde olacağından, ∆k ≤ βk - k sağlanmalıdır. İ.Kara,2007

35. Uygunluk Koşulları Yukarıdaki eşitsizlikler birlikte ele alınması gerektiğinden, xk da yapılabilir artış olan ∆k ∆k = enk{1, 2, βk - k} olarak bulunur. İ.Kara,2007

36. Temelden Çıkacak Değişken ∆k = 1 ise, karşı gelen değişken alt sınır değeriyle temelden çıkar, xk temele girer, izleyen çözüm bulunur. ∆k = 2 ise, karşı gelen değişken üst sınır değeriyle temelden çıkar, xk temele girer, izleyen çözüm bulunur. ∆k = βs - k ise, xk üst sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır. ∆k ise modelin sınırsız çözümü var demektir. İ.Kara,2007

37. Temele Girebilecek Değişken Üst Sınırında xk, üst sınır değerinde iken temele alınabilecek bir değişken olsun. xk üst sınırından itibaren azalmaya başladığından, yeni genişletilmiş temel uygun çözüm elde edecek şekilde xk’nın ne kadar azaltılabileceği tespit edilmelidir. O halde, İ.Kara,2007

38. Uygunlu Koşulları xs + ∆kxk= xs, s ve s≤xs≤s ilişkileri göz önüne alınarak, bir önceki durumdakine benzer işlemlerle, ∆k,xk da meydana gelecek azalma olmak üzere; İ.Kara,2007

39. Uygunlu Koşulları ∆k ≤ βk - k eşitsizlikleri sağlanmalıdır ki, buradan ∆k = enk{1, 2, βk - k} bulunur. İ.Kara,2007

40. Uygunlu Koşulları ∆k = 1 veya 2 ise, karşı gelen değişken temelden çıkar, xk temele girer ve izleyen genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur. ∆k = βk - k ise, xk alt sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır. ∆k ise sınırsız çözüm olup, durulur. İ.Kara,2007

41. Yeni Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm xk temele girebilecek değişken iken, üst sınırına erişecek veya alt sınırına inerek yine temel dışında kalıyorsa; x0 = x0 – (Zk - Ck) ∆k xs = xs – ysk ∆k , s eşitliklerinden, tablonun STS sütununun yeni değerleri hesaplanarak, en iyilik sınamasına geçilir. İ.Kara,2007

42. İzleyen Çözüm xk temele girebilecek değişken iken ∆k = 1 veya 2 değerini aldığında, karşı gelen xr temelden çıkacaktır. Bu durumda tablonun STS sütunu dışındaki kısımları anahtar elemana göre satır işlemlerine tabi tutulur. STS sütununun yeni değerleri, x0 = x0 – (Zk - Ck) ∆k xs = xs – ysk ∆k , s işlemleriyle bulunur. İ.Kara,2007

43. İzleyen Çözüm Temelden çıkan xr değişkeninin yeni değeri ya alt sınırı ya da üst sınırıdır. Temele giren xk ‘nın aldığı değer ise, xk = k+ ∆k , (alt sınırla girmişse) veya xk = βk- ∆k , (üst sınırla girmişse) olur. İ.Kara,2007

44. Örnek 2 Karar modeli, x1 + 2x2 + x3 ≤ 10 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 1 ≤ x1 ≤ 3 2 ≤ x2 0 ≤ x3 ≤ 2 k.a. enb x0 = 3x1 + 2x2 + x3 şeklinde verilsin. İ.Kara,2007

45. Örnek 2 x1, x2, x3 alt sınır değerleriyle temel dışı değişkenler; x4 ve x5 (aylak değişkenler) temel değişkenler olmak üzere modelin başlangıç Simpleks tablosu aşağıdaki gibi bulunur. İ.Kara,2007

46. Örnek 2 İ.Kara,2007

47. Örnek 2 Tablonun STS sütununda x0 ın değerinin x0 = CBB-1b – Σ(Zj - Cj)xj eşitliğine bağlı olarak, x0=0-(-3*1-2*2-1*0)=7 şeklinde hesaplandığına ve temel değişkenlerin değerlerinin de , xj lerin almış oldukları değerler göz önüne alınarak, xs = B-1b – Σysjxj eşitliğiyle hesaplandığına dikkat edilmelidir. İ.Kara,2007

48. Örnek 2 Modelde enb x0 istendiğinden ve temel dışı değişkenlerin tamamı alt sınır değerinde iken, tüm j’ler için Zj-Cj≥0 olmadığından en iyi çözüme erişilmemiştir. enk{Zj-Cj}=-3 olup, x1 temele girebilecek alt sınır değerli değişken olur. İ.Kara,2007

49. Örnek 2 eşitliğine bağlı olarak, x1 sütununda tüm ysk>0 olduğundan, 1=enk{(5-1)/1,(11-1)/2}=4 olarak bulunur. İ.Kara,2007

50. Örnek 2 eşitliğine bağlı olarak, tüm ysi>0 olduğundan, 2 olur. x1 in üst sınırı 3 olduğuna göre, x1 deki artış, ∆1 =enk{1, 2, β1-α1}=enk{4, , 3-1}=2 olup, x1 üst sınırı değerini alacak demektir. İ.Kara,2007