1 / 32

FNT

FNT. AULA 6 FUNÇÃO SENO E COSSENO. CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA. Chama-se circunferência trigonométrica a circunferência de raio unitário (R=1), com centro na origem de um sistema cartesiano. +1 -1. R = 1. 360º = 2 π rad 180° = π rad 1º = π / 180 rad 1 rad = 180º/ π.

nissim-mercer
Download Presentation

FNT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FNT AULA 6 FUNÇÃO SENO E COSSENO

  2. CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Chama-se circunferência trigonométrica a circunferência de raio unitário (R=1), com centro na origem de um sistema cartesiano. +1 -1 R = 1 360º = 2π rad 180° = π rad 1º = π/ 180 rad 1 rad = 180º/π -1 +1

  3. SENO E COSSENO +1 -1 Tomando uma reta qualquer que vai da origem até um ponto qualquer da circunferência trigonométrica temos que cos(a) =x’ / R e sen(a) = y’ / R R = 1 -1 +1

  4. SENO E COSSENO Tem-se que: cos(a) = x’ / R cos(a) = cateto adjacente hipotenusa sen(a) = y’ / R sen (a) = cateto oposto hipotenusa P R = 1 y’ a O x’ Como na circunferência trigonométrica R =1, temos apenas que o valor de cos(a) como sendo a componente do ponto P em x e o valor de sen(a) como sendo a componente do ponto P em y.

  5. FUNÇÃO SENO Na figura abaixo, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY. +1 -1

  6. FUNÇÃO SENO Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função seno é periódica de período fundamental T=2π. -1 < sen(x) < 1

  7. PERÍODO E FREQUÊNCIA DE UM SINAL SENOIDAL PERÍODO E FREQUÊNCIA O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s) O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps V ou i V ou i 1 Hertz 2 Hertz ¾ (s) (s) ¼ ½ ¾ 1 ¼ ½ 1 f = 1 / T e T = 1 / f

  8. FUNÇÃO COSSENO O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

  9. FUNÇÃO COSSENO Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função cosseno é periódica de período fundamental T=2π. -1 < cos(x) < 1

  10. RESUMINDO SENO E COSSENO +1 -1 -1 +1

  11. RESUMINDO SENO E COSSENO 90° 270° 2º. Q 1º. Q 180° 0° 3º. Q 4º. Q

  12. RESUMINDO SENO E COSSENO SENO 1/2 2

  13. RESUMINDO SENO E COSSENO COSSENO 1/2 1/2

  14. EXERCÍCIOS 1. EXPRESSE EM GRAUS: 10π rad B) π rad C) π rad D) 4π rad 9 9 20 3 Resp.: A) 200° B) 20° C) 9° D) 240° 2. DETERMINE, EM RADIANOS, A MEDIDA DE MENOR ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ÀS 4 HORAS. 360° / 12 = 30° 90° (12 a 3) + 30° (3 a 4) = 120° Em radianos: π - 180° tem-se : x = 2π rad x - 120° 3

  15. EXERCÍCIOS 3. DETERMINE OS VALORES DE: A) y = 3cos540° - 2sen90° cos540° = cos180° = -1 sen90° = 1 y = 3 . (-1) – 2. (1) = (-3) – 2 = -5 B) y = 4sen900° - 2cos630° + cos720° sen900° = sen180° = 0 cos630° = cos270° = 0 cos720° = cos0° = 1 y = 4 . (0) – 2. (0) + 1 = 1

  16. EXERCÍCIOS 4. DETERMINE OS VALORES MÁXIMO E MÍNIMO DAS EXPRESSÕES: y = 4cosx +1 B) y = 2 – 5senx C) y = -3sen²x + 2 3 5 IMPORTANTE

  17. EXERCÍCIOS

  18. EXERCÍCIOS 5. SENDO x UM ARCO DO 2º. QUADRANTE E senx = 3/5, DETERMINE cosx

  19. APLICAÇÃO - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR: v(t) = Vp . sen ῳt e v(ϴ) = Vp . sen ϴ ONDE: v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v) Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v) ῳ = frequência angular (em rd/s) ϴ =ângulo (em rd) FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo. ϴ = ῳt , portanto quando ϴ = 2π, tem –se que t = T , então 2π = ῳT ῳ = 2π ou ainda ῳ = 2π.f T

  20. EXEMPLO APLICATIVO Vp = 5v ; Vpp = 10v T = 0,25s f = 4Hz ou 4cps ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s 5v 2,94 (s) 0,25 0,5 0,75 1,0 0,6 -5v v (t) = Vp . sen ῳt portanto v (t) = 5 . sen 8πt PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s: v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v

  21. IMPORTANTE NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE INCLUIR ESSA FASE INICIAL: v (t) = Vp . sen (ῳt + ϴ0) SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO SINAL ADIANTADO SINAL ATRASADO

  22. EXERCÍCIOS 1. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3) a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20000π / 2π f = 10000 Hz = 10kHz b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms T = 100μs c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd 10v 8,66v t (μs) x 100 x = π/3 rd -10v

  23. EXERCÍCIOS 2. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30°) a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 8000π / 2π f = 4000 Hz = 4kHz b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms T = 250μs c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°) v2 = -7,5v d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° ou π/6 rd v 15v 250 t(μs) -7,5v y -15v y = -30°

  24. DEFASAGEM É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE (DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA, TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA v1 (t) = 10000.sen(ῳt + π/2) volts v2 (t) = 5000.sen ῳt volts A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ∆ϴ = π/2 rd OU A DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ∆ϴ = -π/2 rd

  25. DEFASAGEM b) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + 90°) volts v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90°) volts A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS ESTÃO EM FASE

  26. DEFASAGEM c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts v2 (t) = 5 sen (ῳt + 180°) v A DEFASAGEM É DE 180°

  27. EXERCÍCIO t • Dado o gráfico das tensões senoidais, pedem-se para ambos os sinais: • O valor de pico e o valor de pico a pico • Período, frequência e frequência angular; • Defasagem entre as senóides; • Expressão matemática

  28. EXERCÍCIOS DE REVISÃO t 1) DETERMINAR OS VALORES DE : seno 4290° e desenhar no círculo trigonométrico onde está localizado este ângulo. cos 3555° e sen 3555° e desenhar no círculo trigonométrio onde está localizado este ãngulo. sen -17π / 6 cos 9π / 4

  29. EXERCÍCIOS DE REVISÃO t 2) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é o valor de sen(x)? 3) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1 e sen(x)=2m-5? 4) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício.  5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, qual altura o avião se encontra ?

  30. EXERCÍCIOS DE REVISÃO t 6) Para  as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) pedem-se: a)  freqüência angular (w),  freqüência (f),   período (T)  b) angulo de fase inicial c) obter a soma das duas tensões.         v1(t) =  15.sen(2π103.t ) volts     v2(t) =  20.sen(2π103.t  + π/2 ) volts ). Da expressão de v1 obtemos que  w1=2π103 rd/s  e como w=2πf,  obtemos f1=1000Hz=1KHz e  T1=1ms=0,001s. O  valor de pico desta tensão é Vp=15V, angulo de fase inicial   ϴ=0º b) Para v2 temos que  w=2π103 rd/s  e portanto f2=1000Hz=1KHz, e  T2=1ms=0,001s o  valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial  ϴ=90º=π/2. A defasagem entre os dois sinais é de 90º

  31. EXERCÍCIOS DE REVISÃO t 7) Representar as seguintes tensões senoidais: v1( t ) = 155 sen (120πt – π/4) volts v2 ( t ) = 155 sen (120πt) volts Tensão v1:  Vp=155V  , w1=120π rd/s ,    f1= 60Hz  logo T1=1/f1 =1/60=16,66ms,   angulo de fase inicial         ϴ= -45º= -π/4  t = 0   v1(0) = 155. sen (-π/4) = - 108,5 volts Tensão v2:    Vp =155V , w2=120π rd/s ,    f2=60Hz  logo T2=1/f2 =1/60=16,66ms ,    angulo de fase inicial   ϴ=0º. 

  32. EXERCÍCIOS DE REVISÃO t

More Related