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BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------. TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN BAØI 1: CHUOÃI SOÁ (PHAÀN 2) TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (3/2006).
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BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK------------------------------------------------------------------------------------- TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN • BAØI 1: CHUOÃI SOÁ (PHAÀN 2) • TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (3/2006)
NOÄI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5- TIEÂU CHUAÅN D’ALAMBERT (TYÛ SOÁ), COÂSI 6- CHUOÃI DAÁU BAÁT KYØ. T/CHUAÅN HOÄI TUÏ TUYEÄT ÑOÁI 7- CHUOÃI ÑAN DAÁU. TIEÂU CHUAÅN LEBNITZ
Daõy toång rieâng {Sn}: Chuoãi döông un, un > 0 n N0 döông hoäi tuï khi vaø chæ khi bò chaën: Daáu hieäu so saùnh 1: un, vn vôùi 0 < un vn, n N0 vn (chuoãi lôùn) htuï un (nhoû) htuï: un (nhoû) ph.kyø vn (lôùn) ph.kyø: VD: Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi CHUOÃI DÖÔNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
“Ñoaùn” tính hoäi tuï cuûa chuoãi: Chuoãi ñieàu hoaø (Rieman) Chuoãi Rieman hoäi tuï > 1 So saùnh vôùi chuoãi Rieman CHUOÃI ÑIEÀU HOAØ (CHUOÃI RIEMAN)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính toång rieâng. Laäp baûng giaù trò {n Sn} Tính chaát hoäi tuï:
Chuoãi döông un, vn (töø chæ soá N0). Neáu toàn taïi giôùi haïn :2 chuoãi cuøng baûn chaát hoäi tuï k=0 un < vn n N1 & k= un > vn: Aùp duïng so saùnh 1 VD: Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi: Nguyeân taéc: Duøng töông ñöông, so saùnh un vôùi chuoãi 1/n (töông töï tích phaân suy roäng!). Moät soá tröôøng hôïp coù theå aùp duïng khai trieån Mac – Laurint theo x = 1/n vôùi un DAÁU HIEÄU SO SAÙNH 2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuoãi döông un coù giôùi haïn tyû soá: a/ d < 1: Hoäi tuï b/ d > 1: Phaân kyø c/ d = 1: Chöa keát luaän! Daáu hieäu D’Alambert duøng cho nhöõng chuoãi coù tyû soá un+1/un “ñôn giaûn”: chuoãi chöùa giai thöøa hoaëc muõ VD: Khaûo saùt un: • d = 1 hoaëc Khoâng lim un+1/un: chuoãi coù theå hoäi tuï laãn phaân kyø. Ví duï: TIEÂU CHUAÅN D’ALAMBERT (TYÛ SOÁ) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- • d = 1 & un+1/un 1 n N0: chuoãi un phaân kyø (ñkieän caàn!)
Chuoãi döông un vaø giôùi haïn caên: q < 1: Hoäi tuï q > 1: Phaân kyø q = 1: chöa keát luaän TC Coâsi: Chuoãi chöùahaøm muõ (hoaëc luyõ thöøa baäc n) VD: q = 1 hoaëc Khoâng lim (un)1/n : khoâng theå keát luaän q = 1 vaø (un)1/n 1: Chuoãi phaân kyø (ñieàu kieän caàn)! TIEÂU CHUAÅN COÂSI (TIEÂU CHUAÅN CAÊN)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuoãi soá un, un – daáu baát kyø Khoâng ñöôïc pheùp aùp duïng tieâu chuaån so saùnh 1 – 2, D’Alambert laãn Coâsi hay bò chaën! Chuoãi |un| hoäi tuï Chuoãi un hoäi tuï & goïi laø hoäi tuï tuyeät ñoái VD: (): Sai. |un| phaân kyø nhöng un vaãn hoäi tuï: Baùn hoäi tuï • |un| hoäi tuï un hoäi tuï: hoäi tuï tuyeät ñoái Keát luaän: • |un| phaân kyø, un hoäi tuï: baùn hoäi tuï • un phaân kyø |un| phaân kyø CHUOÃI DAÁU BAÁT KYØ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|un| phaân kyø (D’Alambert) un phaân kyø (ñkieän caàn!) |un| phaân kyø (vôùi TC Coâsi) un phaân kyø (ñkieän caàn!) Khaûo saùt |un| , neáu aùp duïng tieâu chuaån D’Alambert (Coâsi) • |un| hoäi tuï unhoäi tuï tuyeät ñoái • |un| phaân kyø un phaân kyø (ñieàu kieän caàn) TIEÂU CHUAÅN D’ALAMBERT (COSI) VÔÙI CHUOÃI DAÁU ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(–1)n-1bn = b1 – b2 + b3 – … (bn > 0): chuoãi ñan daáu Tchuaån Lebnitz: Neáu daõy {bn} giaûm: b1 > b2 > … > bn > … vaø tieán veà 0: limbn = 0 chuoãi ñan daáu (–1)n-1bn hoäi tuï. Kyõ thuaät haøm soá chöùng minh daõy giaûm. VD: CHUOÃI ÑAN DAÁU-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b1 -b2 +b3 -b4 +b5 -b6 s3 s1 s2 s5 s4 s6 s 0 MINH HOAÏ HOÄI TUÏ LEBNITZ-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Daõy {bn}: b1 > b2 > … > … Trò tuyeät toång rieâng Sn | b1 |: | b1 – b2 + b3 – … + bn | | b1 | & Sn cuøng daáu b1. Töông töï, öôùc löôïng phaàn dö: |Rn| = |bn+1–bn+2 + …| |bn+1 | VD: Chöùng minh chuoãi sau hoäi tuï veà toång S. Tính gaàn ñuùng S vôùi sai soá 10-1 • Chuoãi ñan daáu. Xaùc ñònh coâng thöùc bn vaø kieåm tra daõy • Thieát laäp lim bn = 0 Hoäi tuï theo tieâu chuaån Lebnitz • Xaáp xæ S Sn, sai soá Rn coù | Rn | bn+1 = 10-1 n ? ÖÔÙC LÖÔÏNG TOÅNG CHUOÃI ÑAN DAÁU--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHUOÃI an: TOÅNG VOÂ HAÏN = limn TOÅNG RIEÂNG Sn giôùi haïn: HOÄI TUÏ ÑIEÀU KIEÄN PHAÂN KYØ: Chuoãi an PHAÂN KYØ DÖÔNG: an, an 0 [Hoäi tuï Bò chaën] So saùnh 1, 2. D’Alambert, Coâsi DAÁU BAÁT KYØ: Hoäi tuï tuyeät ñoái: |an| hoäi tuï an hoäi tuï ÑAN DAÁU:(1)nbn, bn > 0 {bn} giaûm, lim bn = 0 Hoäi tuï OÂN TAÄP CHUOÃI SOÁ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------