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Mit Zahlen spielen

Mit Zahlen spielen. Arithmetik als Prozess. Universität Kassel Wintersemester 2008/09 Prof. Bley Arithmetik als Prozess Referentin: Katherine Schmieder Datum: 20.10.2008. Gliederung. Mit Zahlen spielen ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) Gerade und ungerade Ziffern Ergebnisse und Resultate

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  1. Mit Zahlen spielen Arithmetik als Prozess Universität Kassel Wintersemester 2008/09 Prof. Bley Arithmetik als Prozess Referentin: Katherine Schmieder Datum: 20.10.2008

  2. Gliederung • Mit Zahlen spielen • ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Gerade und ungerade Ziffern • Ergebnisse und Resultate • Stellenwerttabelle • Neunerprobe • Funktionsweise der Neunerprobe • Herleitung Quersummenregel • Unentdeckte Fehler

  3. Gliederung • Immer 1089 • Vorstellung des Aufgabentyps • Zwei Rechenverfahren • Muster bei der Addition • Zifferntreppen • Stellenwerttabelle

  4. 1. Mit Zahlen spielen „Die Muster des Mathematikers müssen, wie die des Malers oder des Dichters, vor allem schön sein; die Ideen müssen sich, wie die Farben oder die Wörter, harmonisch zusammenfügen. Schönheit ist das allererste Kriterium. Auf der Welt ist kein dauerhafter Platz für häßliche Mathematik... Es mag sehr schwer sein, mathematische Schönheit zu definieren, aber das gilt auch für jede Schönheit anderer Art. Wir wissen vielleicht nicht, was wir mit einem schönen Gedicht meinen, aber das hindert uns nicht daran, ein solches zu erkennen, wenn wir es lesen.“ G. H. HARDY (in: DELVIN 1998)

  5. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Gerade und ungerade Ziffern • ANNA – Zahlen sind vierstellige Zahlen bestehend aus zwei verschiedenen Ziffern (0 – 9) • Zahlenmuster: ANNA = 6446 und 4664 • Zwischen den Ziffern einer Zahl besteht immer eine Differenz Beispiel:6446 – 4664  Zwischen den Ziffern 6 und 4 besteht eine Differenz von 2

  6. 2. ANNA – Zahlen(NANA – Zahlen) • Weitere Zahlen bestehend aus geraden Ziffern: 4224 – 2442 = 1782 (2) 6226 – 2662 = 3564 (4) 8448 – 4884 = 3564 (4) 8668 – 6886 = 1782 (2) • Zahlen bestehend aus ungeraden Ziffern: 5335 – 3553 = 1782 (2) 9559 – 5995 = 3564 (4) 7117 – 1771 = 5346 (6) 9339 – 3993 = 5346 (6)

  7. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Zahlen bestehend aus geraden und ungeraden Ziffern: 2112 – 1221 = 891 (1) 5225 – 2552 = 2673 (3) 7447 – 4774 = 2673 (3) 8338 – 3883 = 4455 (5)

  8. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Ergebnisse und Resultate • Differenz zwischen den Ziffern ist immer gerade: 2, 4, 6, 8 • Differenz zwischen den Ziffern ist immer ungerade, wenn die geraden und ungeraden Ziffern in einer Zahl „gemischt“ werden: 1, 3, 5, 7, 9

  9. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Sortierung der Aufgaben nach ihren Ergebnissen Ergebnis 1782: 3113 – 1331 5335 – 3553 8668 – 6886 Ergebnis 3564: 7337 – 3773 9559 – 5995 8448 – 4884 Ergebnis 5346: 7117 – 1771 9339 – 3993 8228 – 2882 Ergebnis 7128: 9119 – 1991 Ergebnis 4455: 6116 – 1661 8338 – 3883 9449 - 4994

  10. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Sortierung der Aufgaben nach ihren Ergebnissen lässt folgendes Resultat zu: Die Differenz zwischen den Ziffern ist jeweils der Faktor mit dem 891 multipliziert wird.

  11. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Stellenwerttabelle • Zahl1221 • Verschiebung der Plättchen in die größere Zahl 2112 1000 – 100 – 10 + 1 = 891

  12. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Differenz der Ziffern größer als 1 bedeutet eine mehrmalige Zunahme um 891. • Beispiel: 1441  4114 (Differenz = 3) +1000 – 100 +1 – 10 +1000 – 100 +1 – 10 +1000 – 100 +1 – 10  3* (+1000 – 100) + 3* (1-10) = 3*(990) + 3*(-9) = 2673

  13. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • NANA – Zahlen • Zahlenmuster: 2121 • Differenz zwischen den Ziffern wird mit 909 multipliziert • Ergebnis besteht genauso wie die Ausgangszahlen aus einem Ziffernwechsel: 2121 – 1212 = 0909 5252 – 2525 = 2727

  14. 2. ANNA – Zahlen (NANA – Zahlen) • Stellenwerttabelle Zahl: 2626 Spiegelzahl: 6262 4*(1000 – 100 = 900) 4*(10 – 1 = 9) also 4* (900 + 9 = 909)

  15. 3. Neunerprobe • Funktionsweise der Neunerprobe • Verfahren mit denen sich Subtraktion und Addition überprüfen lassen • Die Summanden durch 9 teilen: 67 + 25= 92 67 mod 9 = 4 entspricht: 67:9 = 7 Rest 4 25 mod 9 = 7 92 mod 9 = 2

  16. 3. Neunerprobe • Reste der Summanden werden addiert • Zweistelliges Ergebnis wird durch 9 geteilt 7 + 4 = 11 11 mod 9 = 2 92 mod 9 = 2✔ • Rechnung stimmt, da Rest der Summe der Summanden (2) gleich dem Rest des Ergebnisses der Summe (2) ist

  17. 3. Neunerprobe oder so: • Von den Summanden und der Summe werden immer 9 subtrahiert 92 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 = 2✔ 67 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 – 9 = 4 25 – 9 – 9 – 9 = 7 4 + 7 = 11 11 – 9 = 2✔ 2 4 7 2

  18. 3. Neunerprobe • Herleitung der Quersummenregel • Ziffern einer Zahl werden addiert • Erhaltene Quersumme der Zahl ist gleich dem Rest der Ausgangszahl bei Division durch 9 Beispiel: 322  3 + 2 + 2 = 7 322 : 9 = 35 Rest 7 = x * 9 + 7

  19. 3. Neunerprobe • Stellenwerttabelle Zahl: 322 Zahl 100 ist nicht durch 9 teilbar, aber 99. Somit: 100 = 1 * 99 + 1  3 * 99 + 3 * 1 = 297 + 3 Zahl 10 ist nicht durch 9 teilbar, aber 9. Somit: 10 = 1 * 9 + 1  2 * 9 + 2 * 1 = 18 + 2  3 + 2 = 5 5 + 2 = 7

  20. 3. Neunerprobe • Unentdeckte Fehler • Falsches Ergebnis 67 + 25 = 83 67  6 + 7 = 13 13 : 9 = 1 Rest 4 25  2 + 5 = 7 7 : 9 = 0 Rest 7 4 + 7 = 11 11 : 9 = 1 Rest 2 83  8 + 3 = 11 11 : 9 = 1 Rest 2  Neunerprobe erkennt das falsche Ergebnis nicht

  21. 3. Neunerprobe • Zahlendreher

  22. 4. Immer 1089 • Vorstellung des Aufgabentyps • Dreistellige Zahl deren Ziffern nicht alle gleich sind Zahl: 654 • Umkehrung der Zahl: 456 • Differenz der beiden Zahlen soll gebildet werden: 654 – 456 = 198 • Umkehrzahl des Ergebnisses bilden und hinzuaddieren: 198 + 891 = 1089

  23. 4. Immer 1089 • Zwei Rechenverfahren • Schriftliches Rechenverfahren

  24. 4. Immer 1089 • Halbschriftliches Rechenverfahren 735 – 537 = 200 – 2 = 198 700 – 500 30 – 30 Zehner fallen weg! 5 – 7 • Umkehrzahl von 198 ist die Zahl 891 • 198 = 200 – 2 891 = 900 – 9 • 198 + 891 = (200 + 900) – 2 – 9 = 1100 – 11 = 1089

  25. 5. Muster bei der Addition • Zifferntreppen • Bestehend aus 4-, 5- und 6stelligen Ziffern Beispiele: 1234 34567 234567 + 3087+41976+530865 4321 76543 765432 • Summe ist die Umkehrzahl des 1. Summanden • 2. Summand ist immer gleich im Rahmen der jeweiligen Zifferntreppe (4-, 5- , 6stellig)

  26. 5. Muster bei der Addition • Erklärung des Musters an der Stellenwerttabelle • Zifferntreppe „aufwärts“ (12345)

  27. 5. Muster bei der Addition • Zifferntreppe abwärts (54321)

  28. 5. Muster bei der Addition • Zifferntreppe „abwärts“ (54321) erhält man durch die Zifferntreppe „aufwärts“ 4 * (+10 000 – 1) + 2 * (+ 1000 – 10) = 39 996 + 1980 = 41976

  29. Mit Zahlen spielen Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit

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