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Cap. 4 Le combinazioni degli enti geometrici fondamentali e degli assiomi

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Cap. 4 Le combinazioni degli enti geometrici fondamentali e degli assiomi. Definizione di combinazione. Operazione che mette insieme due o più cose affini, secondo un determinato criterio e per ottenere un certo risultato

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Presentation Transcript
definizione di combinazione
Definizione di combinazione
  • Operazione che mette insieme due o più cose affini, secondo un determinato criterio e per ottenere un certo risultato
  • Nel nostro caso mettiamo insieme gli enti geometrici fondamentali e gli assiomi per ottenere altre entità geometriche
punti coincidenti

A

Punti coincidenti

Due punti si dicono

coincidenti se occupano

la stessa posizione

B

Per indicare che due punti coincidono usa il simbolo ≡

Punto A coincide con B

A ≡ B

definizione di linea geometrica
Definizione di linea geometrica
  • Ente geometrico che si caratterizza per presentare una sola dimensione: la lunghezza
  • Come tutte le definizioni è una proposizione pertanto risulta sufficientemente definito indipendentemente dalla sua rappresentazione materiale
  • Per indicarla si usa una lettere dell’alfabeto miniscolo

I punti A e B si dicono estremi della linea

B

a

A

Linea a

tipi di linea

C

b

H

a

Linea aperta intrecciata

A

B

D

Linea aperta semplice

Tipi di linea
  • Le linee possono essere semplici o intrecciate; aperte o chiuse

Una linea si dice rintracciata se si attraversa in uno o più punti

Una linea si dice chiusa se i suoi estremi coincidono

K

A≡B

Linea chiusa intrecciata

Linea chiusa semplice

la linea retta
La linea retta

Si definisce retta

un’insieme infinito e

illimitato di punti posti

uno dietro l’altro, senza

soluzione di continuità,

che mantengono

sempre la stessa

direzione

modello di retta
Modello di retta
  • Per modello si retta possiamo prendere in considerazione un filo teso fra due punti
  • Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più ridotte
retta e punto
Retta e punto
  • Consideriamo una retta r e un punto P su di essa
  • Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti
  • Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dall’operazione svolta)
semiretta
Semiretta

Si definisce semiretta ciascuna

delle due parti in cui una

retta è divisa da un suo punto

caratteristiche della semiretta
Caratteristiche della semiretta
  • In pratica una semiretta ha un punto di origine che la limita da una parte mentre dell’altra essa risulta formata da un numero infinito e illimitato di punti che si susseguono uno dietro l’altro, senza soluzione di continuità, mantenendo la stessa direzione
  • Il modello di semiretta è rappresentato da un laser
slide11
La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne rappresenta l’origine e un verso che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semiretta
  • Due o più semirette che hanno un’origine in comune condividono la stessa origine

r

verso

P

semiretta

t

s

H

k

r

Semirette con origine in comune

piano
Piano
  • Si definisce piano una superficie infinita che mantiene sempre la stessa pendenza
  • Se ciò non si verificasse si avrebbe una superficie curva
  • Un caso particolare di piano è quello orizzontale che ha pendenza nulla
  • Ha due dimensioni: lunghezza e larghezza
modello e rappresentazione del piano
Modello e rappresentazione del piano
  • Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta
  • Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscola

larghezza

lunghezza

piano e retta

a

a

a

Piano e retta
  • Piano e retta possono essere:
  • Complanari
  • Incidente
  • Parallelo

r

complanari

r

incidente

r

parallelo

osservazioni
Osservazioni
  • Una retta r complanare ad un piano a ha tutti i suoi punti in comune col piano
  • In questo caso si dice che la retta r giace sul piano a
  • Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo che una retta che giace sul piano a lo divide in due parti uguali dette semipiani
semipiano
Semipiano

Si definisce semipiano

ciascuna delle parti in cui

un pano risulta suddiviso

da una retta complanare

slide17

a

a

a

r

Riguardiamo le seguenti figure

complanari

r

incidente

r

Cosa succede de una retta ha 2 punti di contatto col piano?

parallelo

A quale caso può

corrispondere?

slide18

Se una retta ha

due punti di contatto

col piano a è ad

esso complanare

retta e punto1
Retta e punto

Per un punto

passano infinite rette

Le infinite rette che passano

per un punto costituiscono

un fascio proprio di rette

Il punto per cui passano

le rette è detto

centro del fascio

retta e due punti
Retta e due punti

Per due punti passa una

ed una sola retta

slide21

Rette per tre

punti

I tre punti

sono allineati

I tre punti non

sono allineati

Passa

una retta

Passano

3 rette

slide22

Per tre punti

allineati passa

una ed una

sola retta

Per tre punti

non allineati

passano 3 rette

slide23

Tre punti si dicono

allineati se giacciono

su una stessa retta

Una volta costatato che per tre punti allineati passa una sola retta quando 3 punti si dicono allineati?

intersezione di piani
Intersezione di piani

Consideriamo i seguenti due piani

La loro intersezione sarà data da una retta r

Posso tracciare un altro piano che contiene r?

Quanti piani conterranno la retta r?

Infiniti

slide25

Due piani che si

intersecano danno origine

ad una retta

Per una retta passano

infiniti piani

slide26

Un fascio

di piani

è un insieme

formato da

infiniti piani,

aventi una

retta in

comune

piani per due punti
Piani per due punti

Per due punti passano

infiniti piani

  • Quanti piani passano per 2 punti?
  • Questa domanda rimanda direttamente a quella di quante rette passano per due punti?
  • Secondo voi perché?
  • Per due punti passa una sola retta perciò ….
piani per tre punti allineati
Piani per tre punti allineati

Per tre punti allineati

passano infiniti piani

  • Vi ricordate la definizione di punti allineati?
  • Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta
  • Allora quanti piani passano per tre punti allineati?
piani per tre punti non allineati
Piani per tre punti non allineati

B

A

  • Consideriamo 3 punti non allineati
  • Per due punti passa una retta e perciò infiniti piani
  • Ma il terzo può appartenere contemporaneamente agli infiniti piani?
  • Se no può appartiene solo ad un piano particolare
  • ma allora …..

C

r

slide30

La retta r appartiene

Al piano a

Al piano b

Agli infiniti piani a cui r è complanare

Il punto C appartiene ad un solo dei piani del fascio di piani passanti per r

Perciò per tre punti passa ….

slide31

Per tre punti non

allineati passa uno

ed un solo piano

gli elementi di euclide
Gli elementi di Euclide

Da wikipedia

  • Gli Elementi di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dall’antica grecia.
  • Composti tra il IV e III secolo a.c. rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo.
  • L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre la geometria solida.
slide33
Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su 5 nozioni comuni, quelle che ora sono dette assiomi.
  • Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette parallele e i triangoli, il famoso postulato da cui si deduce che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°
  • «In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti. »
le geometria non euclidee
Le geometria non euclidee
  • La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee
  • In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette che non si intersecano perciò) i segmenti divergono anch’essi
  • Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non esistono rette parallele e i segmenti convergono anch’essi
i triangoli e le tre geometrie
I triangoli e le tre geometrie

Triangolo Euclideo: la somma degli angoli è di 180°

Triangolo iperbolico: la somma degli angoli è minore di 180°

Immagine che riassume le tre diverse geometrie

Triangolo ellittico: la somma degli angoli è maggiore di 180°