DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu / Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie • ID grupy: 98_14/mf_g1 / 98/74_mf_g1 • Opiekun: Jolanta Kurzawa – Zeidler / Aneta Borowska • Kompetencja: matematyczno – fizyczna • Temat projektowy: Historia liczby • Semestr/rok szkolny: 3 semestr - 2010/2011

3. MENU Historia Liczby

4. SYSTEMY LICZBOWE PRZYKŁADOWY SPOSÓB NA PRZELICZENIE SYSTEMU DZIESIATKOWEGO NA INNY RĘKA JAKO MASZYNA DO LICZENIA WYNALAZEK CYFR HISTORIA I POCHODZENIE SOROBANU ZAGADKI QUIPO WYKONAWCY ZAKOŃCZ

5. MENU SYSTEM LICZBOWY • SYSTEM LICZBOWY to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

6. MENU SYSTEMY LICZBOWE : • NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY POZYCYJNE (LICZBOWE) : • SYSTEM RZYMSKI • SYSTEM INDYJSKI • SYSTEM EGIPSKI • SYSTEM MAJÓW • SYSTEM BABILOŃSKI

7. MENU NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY POZYCYJNE • Poza systemem dziesiątkowym, gdzie podstawą jest liczba 10 i występują cyfry od 0 do 9, są jeszcze inne systemy liczbowe. Inne systemy niż dziesiętny zapisujemy koło liczby w indeksie dolnym np. 210 102 118

8. MENU System Rzymski

9. MENU Historia System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym. Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur ↁ oznaczający 5000, oraz ↂ oznaczający 10000. Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki „ | ” oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez 1000.

10. MENU Rzymski system zapisywania liczb Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego, który wyewoluował. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki.

11. MENU ZNAKI RZYMSKIE W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie : I = 1    V = 5    X = 10    L = 50    C = 100    D = 500    M = 1000

12. MENU Zapisywanie Liczb System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900 do opisu których używa się odejmowania.

13. MENU ZASADY ZAPISYWANIA LICZB Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

14. MENU RZYMSKIE UŁAMKI Rzymski zapis ułamków jest na ogół mało znany. Rzymskie ułamki opierały się na dwunastkach ("uncia", jedna z jednostek niższego rzędu). Jednostka była zwykle dzielona na dwanaście mniejszych jednostek i wszystkie wielokrotności tych mniejszych jednostek miały swoje nazwy i oznaczenia.

15. MENU SPOSÓB ODCZYTU Cyfry jednakowe są dodawane, cyfry mniejsze stojące przed większymi są odejmowane od nich, cyfry mniejsze stojące za większymi są do nich dodawane. MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + 5(V) – 1(I) = 1164 Można spotkać zapis, w którym minimalizuje się (ogranicza) liczbę znaków. Przykładowo 1999 to normalnie MCMXCIX, ale można również napisać MIM, choć to drugie jest już jednak modyfikacją.

16. MENU DZISIEJSZE UŻYCIE LICZB RZYMSKICH Do dziś jest jednak używany zwyczajowo do zapisywania liczb w pewnych szczególnych przypadkach. Na przykład w Polsce zapisuje się cyframi rzymskimi: numery liceów (ale nie szkół podstawowych i gimnazjów), numery klas i lat studiów, wieki, tomy dzieł, numery pięter, wydziałów w instytucjach. Zwyczajowo zapisuje się czasami również: miesiące, rok powstania budowli (na ich frontonach) oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach).

17. MENU SYSTEM INDYJSKI

18. MENU INDYJSKI SYSTEM LICZENIA • System liczbowy Indii tworzył podstawę obecnie stosowanych europejskich systemów liczbowych. Jednakże nie przeszły one bezpośrednio z Indii do Europy, lecz najpierw znalazły zastosowanie w cywilizacjach arabskich oraz islamskich i dopiero od nich zawitały w Europie. Historia przyjęcia przez Europę tego systemu liczbowego nie była jednak prosta. Wschodnie i zachodnie części świata arabskiego w różny sposób rozwijały indyjski system liczbowy i w niewielkim stopniu  integrowały się między sobą. Zachodnia część arabskiego świata to Północna Afryka i Hiszpania. Głównie drogą poprzez Hiszpanię do Europy zawitał nowy system liczbowy.

19. MENU PRZYKŁADY LICZB INDYJSKICH • Oto przykłady wczesnych liczb indyjskich używanych we wschodniej części arabskiego imperium. Pochodzą z traktatu matematyka al-Sijzi z 969 r. n.e.

20. MENU Największa zmiana polegała na tym, iż liczby 2 oraz 3 uległy obróceniu o 900. • Spowodowane to było sposobem w jaki skrybi pisali. Mianowicie pisali na zwoju, który zwijali od prawej ku lewej strony, wzdłuż swojego ciała, gdy siedzieli ze skrzyżowanymi nogami. Dlatego skryba, zamiast pisać od prawej ku lewej (normalny sposób w tekstach arabskich), pisał w liniach od góry do dołu. Rękopis był obracany po przeczytaniu zwoju i wtedy znaki miały prawidłową orientację. tekst od lewej do prawej „Przykład tekstu pisanego od lewej do prawej.” tekst od prawej do lewej „.jewarp od jewel do ogenasiputsketdałkyzrP” tekst pisany od prawej do lewej i od góry do dołu „ jewel. od jewarp od ogenasiputsketdałkyzrP”

21. MENU Przykłady • Prawdopodobnie skrybi nie mieli dużego doświadczenia w pisaniu indyjskich liczb i pisali 2 i 3 w prawidłowej orientacji, zamiast pisać je odwrócone o 900, aby mogły powrócić z powrotem do prawidłowej orientacji po odwróceniu zwoju w celu jego odczytania. Oto przykład jak skryba powinien był napisać: • A oto jak skryba w rzeczywistości napisał:

22. MENU SYSTEM EGIPSKI

23. MENU SYSTEM EGIPSKI • Starożytne cyfry egipskie były używane w Egipcie aż do wczesnych lat pierwszego tysiąclecia naszej ery. Był to system dziesiętny, często zaokrąglany w górę, zapisywany przy użyciu hieroglifów. System zapisu przez hieratykę wymuszał skończony zapis liczb.

24. MENU 153=? Sprawdź3.322=? Sprawdź2.210.200=? Sprawdź

25. MENU SYSTEM MAJÓW

26. MENU • Majowie - grupa ludów indiańskich mówiących językami z rodziny maja, zamieszkujących południowo-wschodni Meksyk (półwysep Jukatan i stan Chiapas), Gwatemalę, Belize i zach. Honduras; w węższym znaczeniu nazwa „Majowie” odnosi się wyłącznie do grupy zamieszkującej półwysep Jukatan (tzw. Majowie jukatańscy)

27. MENU Majowie rozwinęli pismo hieroglificzne i dwudziestkowy system zapisu matematycznego, prowadzili obserwacje astronomiczne i posługiwali się precyzyjnymi systemami rachuby czasu. Po hiszpańskim podboju nastąpił całkowity upadek cywilizacji Majów; w okresie kolonialnym, a także po zdobyciu niepodległości przez Meksyk i inne kraje na pocz. XIX w.Pozycyjny system liczbowy Majów był systemem dwudziestkowym. Nasz system dziesiętny dzieli się na pozycje: 1, 10, 100, 1000, 10000 itd., a system Majów na pozycje: 1, 20, 400, 8000, 16000 itd. W systemie dziesiętnym istnieje dziesięć możliwych cyfr dla każdej pozycji liczbowej [0 – 9]; w systemie Majów istnieje ich 20 [0-19]. Np. w systemie dziesiętnym 31 = 10 x 3 + 1, natomiast u Majów 31 = 20 + 11. Majowie odkryli i używali liczby zero.

28. MENU A teraz czas na zagadkę… 24=? SPRAWDŹ 100=? SPRAWDŹ 385=? SPRAWDŹ 160=? SPRAWDŹ System majów ma pozycje 1,20,400 itd. Więc co za tym idzie, dolna cyfra w jest mnożona przez 1, każda wyżej przez kolejne 20.

29. MENU KALENDARZ MAJÓW

30. MENU SYSTEM BABILOŃSKI

31. MENU SYSTEM BABILOŃSKI Ważną regułę numeracji stworzyli na początku II tysiąclecia p.n.e. uczeni mezopotamscy. Bazą była liczba 60. W tej numeracji istniały tylko dwa znaki: "gwóźdź" pionowy oznaczający 1 i tzw. "piątka " oznaczająca 10. Liczby od 1 do 59 były reprezentowane na zasadzie dodawania, tj. przez powtarzanie każdego z tych znaków tyle razy, ile trzeba. Np. liczbę 19 przedstawiano jako jedną "piątkę" + dziewięć "gwoździ". Ale powyżej 59 notacja była pozycyjna. Np. liczbę 69 przedstawiało się jako jeden "gwóźdź" i dziewięć "gwoździ". Żeby napisać liczbę 75 pisano jeden "gwóźdź" oraz jedną "piątkę " z pięcioma "gwoździami" (=1*60+15).

32. MENU A więc numeracja babilońska była analogiczna do naszego współczesnego systemu, różniła się tylko bazą i sposobem tworzenia cyfr. Gdy stosujemy zasadę pozycyjną, przychodzi moment, kiedy trzeba mieć do dyspozycji jakiś znak oznaczający, że jednostek pewnego rzędu w danej liczbie nie ma. Np. gdy chcemy napisać liczbę 10 w naszej pisowni pozycyjnej decymalnej. Dziesięć to baza systemu, trzeba więc napisać jedynkę na drugim miejscu, żeby oznaczała jedną dziesiątkę. Ale jak zaznaczyć, gdy na pierwszym miejscu nic nie można napisać? Stopniowo uświadamiano sobie, że to owo nic trzeba koniecznie czymś wyrazić. To coś co ma wyrażać nic to właśnie zero.

33. MENU Z początku Babilończycy próbowali pokonać tę trudność zostawiając puste miejsce tam, gdzie w rozkładzie liczby wg bazy 60 brak było jakiejś potęgi sześćdziesiątki. Ale problem nie był przez to w zupełności rozwiązany, ponieważ mniej orientujący się lub mniej dokładni pisarze często zapominali o tym pustym miejscu. Poza tym trudno było wyrazić brak jednostek w dwóch kolejnych rzędach. Ostatecznie wszystkie wieloznaczności znikły w III w. p.n.e., ponieważ wprowadzono znak podwójnego "gwoździa" na oznaczenie braku jednostek jakiegoś rzędu "sześć dziesiątkowego". I tak narodziło się pierwsze zero babilońskie, pierwsze w historii.

34. MENU POWSTANIE SYSTEMU DZIESIĘTNEGO W północnych Indiach około V wieku naszej ery narodził się system, który był przodkiem naszego i powstały podstawy pisanego rachunku, jakim dziś się posługujemy. Miał jednak ten system pewną cechę wspólną z naszym nowoczesnym, mianowicie jego dziewięć pierwszych cyfr, oznaczających liczby od 1 do 9, nie miało nic wspólnego z żadną intuicją wzrokową. Ich kształty przypominały obecne cyfry, które w kilka wieków później miały powstać z tamtych i które dziś nazywamy arabskimi.

35. MENU Bazą tego systemu była dziesiątka, a liczby pisano na zasadzie dodawania. Więc osobnymi cyframi oznaczane były nie tylko liczby od 1 do 9, ale także wszystkie wielokrotności dziesiątki, aż do liczby 90, wielokrotności setki, aż do 900, wielokrotności tysiąca, aż do 9000, wielokrotności dziesięciu tysięcy, aż do 90000. Ponieważ nie mogli wyrażać dużych liczb cyframi, wcześnie wpadli na pomysł pisania ich słowami. Nazwy liczb odpowiadały bazie 10, a więc swoje osobne nazwy miały potęgi dziesiątki, a z nich powstawały określenia złożone dla innych liczb. Żeby wyrazić jakąś liczbę, należało umieścić nazwę dziesięciu między słowem oznaczającym liczbę jedności a słowem oznaczającym liczbę dziesiątek, następnie nazwę stu między słowami oznaczającymi odpowiednio liczbę dziesiątek i liczbę setek, potem nazwę tysiąca między słowami oznaczającymi liczbę setek i liczbę tysięcy itd. Chcąc skrócić wysławianie matematycy i astronomowie indyjscy przestali wysławiać nazwy potęg bazy, a w nazwach przedstawiali tylko współczynniki tych potęg. Dzięki temu uproszczeniu uczeni indyjscy stworzyli ustny system pozycyjny.

36. MENU Ale i tu pojawił się problem zera - czyli cyfry oznaczającej, że nie ma dziesiątek. Uczeni indyjscy poradzili sobie z tym wprowadzając słowo "pusty" na oznaczenie zera. Wobec tego mieli już wszystko co trzeba dla ustanowienia nowoczesnej numeracji: dla liczb od 1 do 9 mieli osobne cyfry wyglądem nie związane z odpowiednimi liczbami, znali zasadę pozycyjną odkryli zero. Jednak ta reguła pozycyjna dotyczyła na razie tylko słów - do cyfr (pisanych) jeszcze jej nie stosowano, a zero miało tylko ustną nazwę. Odkrycie reguły pozycyjnej i zera nastąpiło w V wieku naszej ery.

37. MENU Uczeni indyjscy, na długo zanim wynaleźli prototyp naszej współczesnej pisowni liczb, poradzili sobie z rachowaniem używając środków pomocniczych. Posługiwali się abakami lub "tabliczkami do liczenia". Najczęściej używali abaków o kolumnach wykreślonym w miałkim piasku. Pierwszej kolumnie odpowiadały jedności, drugiej dziesiątki, trzeciej setki, itd. Zamiast kamyków i żetonów używali oni pierwszych dziesięciu cyfr swej starej numeracji. Cyfry te rysowali ostrzem na piasku w odpowiednich kolumnach i zacierali je w miarę rachowania, pozostawiając tylko wyniki kolejnych działań.

38. MENU W VI w. n.e. rachmistrzowie indyjscy wpadli na pomysł, żeby wynik nie zapisywać słowami, które symbolizowały liczby, ale cyframi, jakie rysowali na abaku, stosując do nich zasadę pozycyjną i dołączając osobny znak zera. Zniknęły kolumny abaków i oto dziewięć pierwszych cyfr dawnej numeracji indyjskiej otrzymało wartości zależne od ich pozycji w napisie przedstawiającym liczbę. Zero było zaznaczane punktem lub małym kółkiem. W ten sposób urodziło się współczesne zero.

39. HISTORIA I POCHODZENIE SOROBANU MENU Soroban pochodzi z Dalekiego Wschodu, a dokładnie z Japonii. Jednak jego początków należy szukać (jak większości ważnych odkryć) w Chinach. Około roku 1200, chińczycy zaczęli używać liczydła zbudowanego na systemie 2/5. W górnej części liczydła, znajdowały się 2 koraliki, każdy o wartości 5. W dolnej części liczydła, znajdowało się 5 koralików, każdy o wartości 1. Liczenie odbywało się w systemie dziesiętnym. Górna "5" upraszczała obliczenia. W XVII wieku liczydło rozpowszechniło się w Korei i Japonii. Przy czym pojawiła się jego nowa wersja 1/5, w której na górze był 1 koralik o wartości 5, a na dole 5 koralików każdy o wartości 1.

40. MENU Stąd już tylko krok do dzisiejszej postaci 1/4, czyli takiego, w którym w góry znajduje się jeden koralik o wartości 5, a dole 4 koraliki, każdy o wartości 1. Dokonano tego około roku 1930 w Japonii. Soroban stał się tam tak popularny, że jeszcze w połowie lat dziewięćdziesiątych, był obowiązkowym wyposażeniem wszystkich japońskich urzędników, a dawniej biznesmeni sprawdzali na nim poprawność obliczeń komputerowych.

41. MENU Po co nam dziś soroban? Soroban może być potrzebny w szkole na początku nauki matematyki. Małe dziecko rozpoczyna naukę liczenia na konkretach. Nie ma jeszcze wykształconego abstrakcyjnego pojęcia liczby. Nie może posługiwać się znakiem na papierze. Musi dotknąć, obejrzeć z każdej strony, wziąć do ręki, itd. Dopiero później następuje ten wielki krok polegający na porzuceniu fizycznych interpretacji i skupieniu się jedynie na cyfrach. Liczenie na sorobanie odbywa się za pomocą koralików, które dziecko może dotknąć. Można na nim wykonywać dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. A co najważniejsze, algorytmy tych działań są prawie identyczne z pisemnym dodawaniem odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem jakiego uczymy się w szkole

42. MENU PRZYKŁADOWY SPOSÓB NA PRZELICZENIE SYSTEMU DZIESIĄTKOWEGO NA INNY • Dzielimy liczbę w systemie dziesiętnym (w tym przykładzie to liczba 100) przez cyfrę/liczbę która jest podstawą systemu na jaki zmieniamy (w tym przykładzie to 6) 100:6=16 r 4 16:6=2 r 4 2:6=0 r 2 Następnie czytamy cyfry z reszt od dołu czyli 244

43. MENU Te sznureczki z węzełkami starannie przechowywano, żeby można było pamiętać rezultaty przeliczeń. Służyły do spisów różnych warstw społecznych, do rejestrowania urodzeń, ślubów, zgonów, do spisywania mężczyzn zdolnych do noszenia broni. Były używane jako archiwa budżetowe lub rejestry dochodów dla różnych jednostek administracyjnych.

44. MENU WYNALAZEK CYFR Dzięki wynalezieniu pisma oraz cyfr można było w sposób zupełnie ujednolicony pisać dowolne liczby oraz umożliwiało to każdemu wykonywanie rachunków bez takich środków pomocniczych jak ręka, liczydło, czy tabliczka do liczenia.

45. MENU Historia wynalezienia cyfr zaczęła się ponad 5000 lat temu w niektórych społeczeństwach wysoko rozwiniętych i silnie ekspansywnych, gdzie trzeba było notować operacje ekonomiczne zbyt liczne i różnorodne, by je powierzać pamięci ludzkiej. I dlatego społeczeństwa te wpadły na pomysł przedstawiania liczb znakami graficznymi , czyli wynalazły cyfry. System numeryczny w Elamii i Sumerii Kamyki odegrały ważną rolę w tej historii. Dla bazy 10 zaczęto używać kamyków różnej wielkości, zależnie od rzędu dziesiętnego, np. u Sumerów wyglądały one tak:

46. MENU Kamyki nazwano słowem calculi . Te gliniane żetony o umówionej wartości zamykano w kulistym lub owoidalnym ("jajowatym") naczyniu, na którego powierzchni obtaczało się walcowate pieczęcie, żeby zaświadczyć pochodzenie i kompletność dokumentu. Na podstawie odciśniętej pieczęci można było rozpoznać hodowcę, rolnika, rzemieślnika, garncarza, młynarza, piekarza itd. Natomiast ilość istot lub przedmiotów, których dotyczyła dana transakcja, była dokładnie wyrażona w tych dokumentach za pomocą tychże żetonów. A więc nie można było podstępnie wyprzeć się długu lub zmienić jego wartości: wierzyciel posiada naczynie do rachuby należące do dłużnika, naznaczone jego pieczęcią i zawierające określoną liczbę "calculi".

47. MENU Opisany system nie był wygodny, gdyż trzeba było za każdym razem stłuc naczynie, gdy się chciało obliczyć jego wartość. Rachmistrzowie sumeryjscy i elamiccy, około roku 3300 p.n.e., wpadli na pomysł, żeby kamyki zamknięte w naczyniach do rachuby oznaczać symbolami, którymi były rozmaite znaki różnej wielkości i kształtu wyżłobione na zewnątrz na ściankach naczyń. Te znaki to w rzeczywistości znaki numeryczne, ponieważ każdy z nich jest symbolem graficznym przedstawiającym liczbę. Stanowią one prawdziwy system pisania liczb. W ten oto sposób narodziły się pierwsze w historii cyfry.

48. MENU System numeryczny w Egipcie Egipcjanie wynaleźli pismo i pisaną numerację. Stało się to około roku 3000 p.n.e.. Wprowadzili oni hieroglificzne symbole liczb. Egipcjanie ryli lub rzeźbili swoje znaki dłutem i młotkiem na kamiennych pomnikach, lub rysowali je na odłamkach skał, na skorupach garnków, lub na liściach papirusu za pomocą trzciny ze zgniecionym końcem umoczonej w materii barwiącej.

49. MENU PROSTSZA NOTACJA I WYNALAZEK ZERA Żeby napisać liczbę 3577, trzeba było użyć aż 22 znaków, ponieważ trzeba było napisać 3 razy cyfrę oznaczającą tysiąc, 5 razy cyfrę oznaczającą sto, 7 razy cyfrę dziesięć i 7 razy cyfrę jeden. Dlatego pisarzy egipscy starali się jak najbardziej uprościć budowę i pisownię cyfr i tak doszli do notacji zwanej hierarchiczną. Nowe kształty cyfr ledwo już przypominały swoje prototypy.

50. MENU