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Déroulement des séances

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Déroulement des séances. Séances d’1h30 ~ 30 min de cours ~ 1h d’exercices Avant de venir en cours, il faut Avoir lu la partie du cours qui va être traitée (donnée à la fin de la séance précédente) Avoir regardé (au minimum) les exercices correspondants En cours, il faut

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d roulement des s ances
Déroulement des séances
  • Séances d’1h30
    • ~ 30 min de cours
    • ~ 1h d’exercices
  • Avant de venir en cours, il faut
    • Avoir lu la partie du cours qui va être traitée (donnée à la fin de la séance précédente)
    • Avoir regardé (au minimum) les exercices correspondants
  • En cours, il faut
    • Avoir son fascicule de cours-TD ainsi que les notes des précédents cours
    • Poser autant de questions que vous le voulez
programme du semestre
Programme du semestre
  • Electromagnétisme
  • Unités, grandeurs, incertitudes
  • Mécanique
  • DS : 2 de 1h chacun (programmes données 15 jours avant)
    • 02/11/09
    • 12/01/10
electromagn tisme

Electromagnétisme

Module P1

Semestre 1

electromagn tisme s ance 1 pages 7 8
Electromagnétisme – séance 1- pages 7, 8

Aimant = source de champ magnétique

Champ et forces- sources de champ

  • Champ en physique: 2 aspects
  • Espace dans lequel est stockée une certaine forme d’énergie
  • Grandeur physique
  • Un champ est créé par des sources
  • Un champ agit sur un détecteur

Mêmes objets

Aiguille aimantée

= détecteur de champ magnétique

Nuage=

champ de température

slide6

Electromagnétisme – séance 1 – page 9

Cette force dépend de B, vecteur champ magnétique

Champ vectoriel et forces

Autour de l’aimant= espace champ magnétique. Il y a de l’énergie magnétique =>

Un détecteur s’oriente dans cet espace=> forces magnétiques, dépendant de la source de champ (S), du point de l’espace (M) et de la nature du détecteur (D)

Exemple : expérience d’Oersted

slide7

Electromagnétisme – séance 1 –page 12

Lignes d’un champ vectoriel

Permet de visualiser un champ

Ligne de champ = tangente en chacun de ses points au vecteur champ

En magnétisme: Lignes de champ fermées

Les sources de champ magnétique sont les courants, les aimants et les charges électriques en mouvement.

Vecteur champ magnétique B (unité = le tesla T)

slide8

Electromagnétisme – séance 1 (pages 9-10)

F

Bâton de bakélite électrisé= source

Boule isolante chargée

détecteur

Champ électr(ostat)ique

Sources de champ: les charges électriques fixes

Détecteur: les charges fixes

Electrostatique :

Ligne de champ ouvertes

Vecteur champ électr(ostat)ique E

(unité le volt/mètre V.m-1)

slide9

Electromagnétisme – séance 1 (pages 10-12)

Expressions mathématiques

Champ électrique E créé par des charges fixes

 Force de Coulomb F exercée sur une charge q

Champ magnétique créé par des charges mobiles B

 Force de Laplace exercée sur conducteur parcouru par un courant I, orthogonal à B (situation usuelle)

electromagn tisme s ance 1
Electromagnétisme – séance 1

Les constantes physiques de l’électromagnétisme

La charge (élémentaire) de l’électron

Page 8

La permittivité diélectrique du vide

Page 10 => régit l’électrostatique

La perméabilité magnétique du vide

Page 12

exercices

Exercices

TD-A1 – Calculs de forces magnétiques, de forces électrostatique et de champs

1 champ lectrique

M

1 – Champ électrique

Le champ électrique créé par une charge Q sphérique au point M

situé à la distance r du centre de la sphère est

r

Q

  • Représenter le vecteur champ électrique
  • Soit Q=1µC, calculer E(r) pour r= 1mm, r=1cm, r=1m
  • On place en M une charge q<0, représenter la force de Coulomb agissant sur celle-ci.
  • La charge q vaut -1µC. Calculer cette force pour r=1cm.
2 champ magn tique

M

I

2 – Champ magnétique

Le champ magnétique créé par un courant d’intensité I dans un fil rectiligne très long au point M situé à la distance r est donné par l’expression :

La ligne de champ passant par M est un cercle orthogonal au fil et centré sur le fil.

  • Représenter le vecteur champ magnétique en utilisant la règle des trois doigts 
  • Soit I=100A, r=10cm, calculer la valeur de B.
  • Un deuxième fil parallèle au précédent est placé en M. Il est parcouru par I’=200A. Représenter la force de Laplace et la calculer sur 1m de fil.
3 compl ments
3 - Compléments
  • Que pensez-vous de l’intensité de ces forces (Coulomb et Laplace) ? Comment l’augmenter ?
  • Un électroaimant porteur se caractérise par la surface S (1 m²) du plot porteur. Le champ magnétique B vaut 1,6 T. Quelle est la force de levage, sachant qu’elle est donnée par F=B²S/µ0 ?
pour la prochaine s ance
Pour la prochaine séance
  • Relire paragraphes 1 et 2
  • Paragraphe 3 – Champs et matière (p.14-17)
  • TDA2 – Matériau magnétique
slide17

Electromagnétisme – séance 2 page 14-16

Dans le vide, l’exemple du solénoïde: longueur , N spires parcourues par

Champs magnétiques et matière

Lignes de champ

Influence de la présence d’un noyau de fer dans le solénoïde

Amplification du champ et canalisation des lignes de champ

slide18

Electromagnétisme –séance 2 – page 16-17

Perméabilité magnétique

Considérons un solénoïde parcouru par I avec ou sans noyau de fer

Le champ B dans le fer est multiplié par µ par rapport au même champ dans l’air

µ = perméabilité absolue en H/m

µr= perméabilité relative, sans unité

Valeurs: µr vaut quelques centaines à quelques milliers

µr diminue lorsque I augmente: saturation magnétique

slide19

Electromagnétisme –séance 2 page 16

Aimantation

Faces Nord et Sud

aimantation

S

N

I

Matériaux amagnétiques: bois, plastiques, gaz, liquides,

Cuivre, aluminium

Matériaux magnétiques: fer, cobalt, nickel et

alliages « magnétiques »: acier, alnico, ticonal, ferrites….

slide20

Electromagnétisme –séance 2 page 16

B

Courbe B(H) d’un matériau magnétique

H

Deux champs magnétiques

  • Afin de différentier le champ magnétique dans l’air qui est créé par le courant I et celui dans le fer, on considère deux champs magnétiques  :
  • Le champ magnétique d’excitation noté H qui ne dépend que des sources de champs, ici I, N et

Unité de H : l’ampère par mètre : A.m-1.

(

  • Le champ magnétique d’induction B (ou champ magnétique seulement) qui dépend de H et aussi des propriétés d’aimantation du matériau.

Ou usuellement

exercices21

Exercices

TD-A2 – Matériau magnétique

1 saturation
1 - Saturation
  • Dans un solénoïde avec l=50cm, N=100, I=80A, on introduit un noyau de fer.
  • La perméabilité relative est 1600 pour H=0.
  • Calculer l’excitation magnétique H et déterminer le champ magnétique B si on admet la linéarité du matériau ferromagnétique.
  • En fait la valeur obtenue est irréaliste. Lors de l’aimantation le matériau s’est saturé. On peut espérer au mieux obtenir pour le même H, la valeur B=1,9T.
  • Interpréter le phénomène de saturation avec l’aide du professeur.
  • Déterminer la perméabilité relative du matériau à ce point de fonctionnement.
2 etude de h b
2 – Etude de H(B)
  • Une bobine industrielle conçue pour être une inductance possède un noyau magnétique en alliage fer-silicium à 3%.
  • La courbe du matériau est donnée par une équation
  • (pour ).
  • Exprimer la perméabilité relative du matériau en fonction de B.
  • Calculer cette perméabilité pour B=0,1T ; B=1T ; B=2T
  • Jusqu’à quelle valeur de B peut-on confondre H et 420B à 1% près.
pour la prochaine s ance24
Pour la prochaine séance
  • Relire paragraphe 3
  • Paragraphe 4 – Les lois du magnétisme – Les circuits magnétiques (p.17-22)
  • TDA3 – Circuits magnétique – Application du théorème d’Ampère
slide26

Electromagnétisme – séance 3 page 17-18

Circuits magnétiques

Le problème rencontré

Partie magnétique

mobile en

translation

Bobinage fixe

entrefer

Partie

magnétique

fixe

Les deux parties magnétiques (fer) + les entrefers (air) forment un circuit magnétique fermé

Déterminer le nombre de spires et/ou le courant I afin d’obtenir un champ B que l’on va faire travailler(force, transfo..), connaissant la perméabilité magnétique relative du matériau.

slide27

Electromagnétisme – séance 3 – page 19-20

N

S

Circuits magnétiques, 2 lois physiques

Une géométrie: un tore à section carrée S

Longueur moyenne du C.M.

L’électricité: N spires parcourues par le courant continu I

S

Le matériau magnétique du noyau:

Perméabilité µr

Un circuit simple:

coupe plane

Deux champs: H et B

Loi de H ou loi d’Ampère: circulation de H:

Loi de B ou loi du flux »conservatif »φ=B.S

slide28

Electromagnétisme –séance 3 – page 21-22

Circuits magnétiques: le jargon professionnel

ε=N.I: force magnétomotrice, f.m.m. en A ou A.tr

φ: flux dans une section du C.M.

Ψ=N. Φ: flux total ou totalisé

Réluctance en H-1

Perméance en H

Loi d’Hopkinson:

Inductance propre: relative à la bobine, composant électromagnétique= C.M.+C.Electrique

slide29

Electromagnétisme – séance 3 page 21

Circuits magnétiques: énergie stockée

La situation: une bobine à N spires parcourues par I et un noyau de perméabilité µ =>une inductance L

Si µ est constante (non saturation magnétique)

Section S, longueur moyenne: l

Densité d’énergie: en J/m3

exercices30

Exercices

TD-A3 – Circuits magnétique – Applications du théorème d’Ampère

1 th or me d amp re
1 – Théorème d’Ampère
  • Une bobine destinée à constituer une inductance comprend un circuit magnétique de forme torique. Cette géométrie a la particularité de donner un circuit magnétique parfait c'est-à-dire sans fuites. Les lignes de champ magnétique sont bien canalisées par le tore.
  • La section du tore est S=1,6 cm². La ligne de champ moyenne du tore, pour application du théorème d’Ampère est lm =62cm.
  • On désire obtenir B=0,6T dans la bobine avec un enroulement de N=500 spires. Le matériau magnétique est supposé linéaire de perméabilité relative µr= 4500.
  • On rappelle µ0=1,26.10-6 H/m.
  • Calculer le flux φ de B dans le tore. L’unité de flux magnétique est le weber (Wb)
  • Calculer H en A/m
  • Déduire du théorème d’Ampère et de la valeur de H la valeur de l’intensité excitatrice I.
2 jargon de l lectromagn tisme
2 – Jargon de l’électromagnétisme

On appelle force magnétomotrice, représenté par la lettre  le produit N.I en ampère ou comme le disent les professionnels en ampère-tours. L’abréviation fmm est autorisée.

  • Exprimer  en fonction du flux φ.
  • On montre ainsi que ,qui constitue la loi d’Hopkinson. Exprimer le coefficient  en fonction de la perméabilité et de la géométrie, appelé réluctance du circuit magnétique.
  • Calculer numériquement  et . L’unité de réluctance est le H-1.
  • Calculer numériquement perméance du circuit magnétique en henry (H)
3 inductance propre
3 – Inductance propre

L’inductance est le paramètre électromagnétique de la bobine.

Par définition, on appelle flux total dans la bobine et

inductance le rapport en henry H.

  • Déterminer  et L
  • Montrer que L = N²/ = N²P
  • Déterminer l’énergie magnétique stockée dans cette bobine : W = 0.5LI²
  • Déterminer la densité d’énergie en J/m3, notée fm=W/(S.Im). Montrer que fm = 0.5B.H
pour la prochaine s ance34
Pour la prochaine séance
  • Relire paragraphe 4
  • TDA4 – 1ère partie : Influence de l’entrefer, répartition de l’énergie entre l’entrefer et le noyau
  • TDA4 – 2ème partie : Circuits magnétiques – influence du matériau saturable
exercices36

Exercices

TD-A4 – Influence de l’entrefer, matériau saturable

1 entrefer dans une bobine
1 – Entrefer dans une bobine

Dans la même géométrie et le même matériau qu’au TD A3, on taille un entrefer étroit de largeur e=1cm. On suppose que l’entrefer perturbe un peu la canalisation des lignes de champ. En conséquence la section du circuit magnétique dans l’entrefer est Se=2cm². On désire conserver un champ B=0,6T dans le noyau

La f.m.m. doit maintenant magnétiser deux réluctances en série, celle de l’entrefer et celle du tore.

  • Quel est alors la valeur de B dans l’entrefer (conservation du flux de B)
  • Que vaut la réluctance de l’entrefer ?
  • Calculer la f.m.m. εe nécessaire pour magnétiser l’entrefer
  • Recalculer la réluctance du tore (diminué de son cm d’entrefer) et la f.m.m. ε nécessaire pour magnétiser le tore.
  • Calculer la fmm globale
  • Avec le même courant I et en augmentant le nombre de spires, calculer le nombre de spires nécessaire à magnétiser l’entrefer
  • Calculer le champ H dans le matériau et dans l’entrefer
  • Calculer les énergies stockées dans le matériau et dans l’entrefer
2 mat riau saturable
2 – Matériau saturable
  • Un circuit magnétique torique sans entrefer a les caractéristiques géométriques et magnétiques suivantes
    • section constante S = 12.4 cm²,
    • longueur moyenne lm = 64 cm,
    • nombre de spires de la bobine d’excitation N = 800,
  • Le matériau est saturable et la courbe du matériau est donnée par (pour B < 2 T).
  • Donner la perméabilité relative du matériau pour B = 0.2, 1.2 et 2 T à partir des courbes suivantes
  • Remplir le tableau en calculant
    •  le flux dans une section droite du circuit magnétique
    •  le flux total (N )
    • H l’excitation magnétique dans le matériau
    • Ni la force magnétomotrice
    •  la réluctance du circuit magnétique
    • L l’inductance de la bobine
    • I le courant dans la bobine
slide40

3. Lorsque B augmente, le matériau sature. Commenter la variation de

La réluctance et de la fmm

4. Commenter la variation de l’nductance

slide41

Electromagnétisme –séance 4

Exercices

  • Deux résultats:
  • Dans le cas de l’existence d’un entrefer mince (cas usuel), l’énergie est principalement stockée dans cet entrefer
  • En cas de saturation du noyau, due à une trop grande excitation, la réluctance du CM augmente et l’inductance de la bobine diminue
pour la prochaine s ance42
Pour la prochaine séance
  • Lire paragraphe 5 – Electromagnétisme (p. 26-28)
  • TD-B1 – Forces électromagnétique et induction magnétique
  • Lire paragraphe 6 – Compléments sur les matériaux magnétiques (p. 31-35)
slide44

Electromagnétisme –séance 5 – pages 26-28

Electromagnétisme – Conversion de l’énergie

Couplage électricité magnétisme

Energie électrique  Energie mécanique

  • Loi de Laplace: un conducteur de longueur l, parcouru par un courant I placé dans un champ B subit une force de Laplace; le conducteur se déplace à la vitesse v; l’énergie électrique se transforme en énergie mécanique.
  • Le conducteur présente une force(contre)électromotrice e=v.l.B
  • L’induction électromagnétique: un conducteur de longueur l, se déplace à la vitesse v dans un (espace) champ B est le siège d’une force électromotrice induite e=v.l.B; l’énergie mécanique se transforme en énergie électrique. Loi de Faraday
slide45

Electromagnétisme –séance 5 - pages 26-28

Electromagnétisme – Loi de Faraday et de Lenz

Expression algébrique de la f.e.m. pour tenir compte de tous les cas

e

u

La variation du flux magnétique totalisé dans un bobinage induit une force électromotrice dans ce bobinage opposé en valeur algébrique à la dérivée temporelle de ce flux (Faraday).

Si le bobinage constitue un circuit fermé, le courant dans ce circuit s’oppose à l’effet de la f.e.m.. (Loi de modération de Lenz)

slide46

Electromagnétisme –séance 5 - pages 28

La réversibilité électromécanique

Tout convertisseur d’énergie électrique-mécanique est réversible dans la même structure technologique et le passage réciproque mécanique-électrique est continu

exercices47

Exercices

TD-B1 – Forces électromagnétiques et induction électromagnétique

1 machine tournante stator

axe

M

M’

I

N

N’

1 – Machine tournante à stator

Un cadre rectangulaire fermé MNN’M’ est placé dans un champ magnétique B radial. Quelle que soit la position du cadre, les côtés MM’ et NN’, de longueur R sont hors du champ. Ce sont les têtes de spires précédentes. Le cadre est mobile autour d’un axe vertical, parallèle à MN et M’N’ et passant par le milieu de MM’ et NN’.

Le cadre est parcouru par un courant I continu. Les brins actifs MN et M’N’ sont soumis à des forces de Laplace. Leur longueur est .

1 machine tournante stator49
1 – Machine tournante à stator
  • Exprimer les intensités F des deux forces de Laplace sur les deux brins utiles MN et M’N’ en fonction de B, I et .
  • Montrer qu’elles agissent ensemble pour faire tourner le cadre autour de l’axe fixe
  • Déterminer l’expression du couple C=F.(2R)
  • Déterminer le couple en fonction de S surface du cadre (donc de la spire dans le problème réel).
  • Déterminer l’expression de la valeur absolue de la f.e.m.
  • AN : B=1,5T ; =0,1m ; R=0,1m. =150 rd/s . le cadre comprend N=100 spires.
  • 6. Calculer la fem.
2 bobine

On choisit le sens de i et la fem e=-Ndφ/dt est dans le sens du courant

i

u

e

2 – Bobine

Une bobine à N spires est reliée à une source de tension alternative, de pulsation  et de valeur efficace U : .

On néglige la résistance du fil. Pour traduire les lois de Lenz et de Faraday le schéma équivalent du circuit est le suivant :

  • Ecrire la loi de maille et relier u et e, puis et φ.
  • Intégrer et trouver la loi donnant φ(t).
  • On appelle φmax la valeur maximale du flux dans le circuit magnétique qui compose la bobine. Relier E, valeur efficace de e à φmax,  et N.
  • AN : E=230V ; =314rd/s ; N=500. Calculer φmax
  • Vérification de la validité du schéma équivalent
  • On introduit l’inductance L. Montrer que le schéma est conforme, lorsque i augmente puis lorsque i diminue.
pour la prochaine s ance51
Pour la prochaine séance
  • On change de sujet
  • Lire paragraphes 1 à 4 – Grandeurs physiques, Dimension, Unités, Présentation d’un résultat (p. 37-42)
  • TD-1A – Equation aux dimensions
  • TD-1B – Vérification d’une dimension
grandeur physique

Pages 37 à 38

Grandeur physique

Les grandeurs physiques prennent des valeurs numériques et entrent dans les lois.

Les lois sont des modèles mathématiques qui approche au plus près la réalité expérimentale.

Connaître expérimentalement la valeur numérique des grandeurs permet de valider le modèle ou d’en connaître ses limites et/ou de construire un modèle (une théorie) qui permettra de prévoir la valeur des grandeurs physiques, même inaccessible à nos sens.

Exemple Le météorologue utilise ses modèles de l’atmosphère (thermodynamique, mécanique des fluides…) pour prévoir le temps qu’il va faire et se sert des mesures réalisées par son instrumentation pour affiner ses modèles

grandeur physique mesurable

Pages 37 à 38

Grandeur physique mesurable

U=R.I

R=cte

Loi linéaire valable sur un domaine d’intensité et de tension limité

Un grandeur est mesurable si on peut définir l’égalité, le rapport, la somme, la différence, le produit: la plupart de nos grandeurs le sont.

Une grandeur est repérable si on ne peut en définir que l’égalité et la différence: exemple le plus usuel: température celsius

dimension unit

Pages 39 à 42

Dimension - unité

Toute grandeur est indépendante de sa mesure et de son éventuelle unité

La dimension est la nature d’une grandeur, indépendante de son unité

Exemple longueur: dimension notée [L]

Unité le mètre, l’année lumière ou l’angström

Quatre dimensions de bases à l’origine de toutes les autres: masse [M], temps [T], intensité électrique [I] et longueur [L]

Le système international d’unités MKSA utilise une unité pour chacune des quatre dimensions de base: le mètre, le kilogramme, la seconde, l’ampère

s ance de td
Séance de TD
  • Ecriture d’équations aux dimensions
  • Vérification d’une dimension
  • TD 1A et 1B
pr sentation conforme d un r sultat
Présentation conforme d’un résultat

Pages 37 à 42

Ecritures correctes

Notation scientifique avec exposant de 10 ou prefixe d’unité ici « méga »

Autre unité utilisable

incertitudes

P 42-43

Incertitudes

L’incertitude « absolue » sur une grandeur est la valeur absolue de la différence entre valeur mesurée Ga et la valeur « exacte » Ge (généralement inconnue). Notation DG.

En l’absence de données explicites, l’incertitude absolue est égale à la demi-unité de l’ordre du dernier chiffre exprimé

L=154m DL=0,5m écrire: L=154,0m ±0,5m

1,5 et 4 sont les chiffres significatifs

chiffres significatifs

P 43-46

Chiffres significatifs

L=0,5689m ±0,02m

5,6,8,9 sont les chiffres significatifs

L’incertitude a deux chiffres significatifs 0 et 2.

Donc écrire: L=0,57m ±0,02m; seuls le 5 et le 7 sont utiles

Combien de chiffres significatifs pour la réponse à un calcul donnée par la machine?

C’est la grandeur connue avec le minimum de chiffres significatifs qui impose le nombre de chiffres significatifs de la réponse

Etape tour de France L=246,30 ±0,05km; 4 chiffres significatifs

Temps: 24738,5s ±0,5s: 5 chiffres significatifs : 6,8718 heures

Calcul de la vitesse moyenne 35,84 km/h: 4 chiffres

causes d incertitudes

JUSTE ETFIDELE

NON JUSTE ETFIDELE

JUSTE ET NON FIDELE

Probabilité de lamesure

Valeur « vraie »

P 46-47

Causes d’incertitudes

Due principalement à l’instrumentation et aux capteurs

Qualités d’un instrument de mesures

td calcul de petites variations

P 49-51

TD- Calcul de petites variations

Le calcul de petites variations sert à calculer l’incertitude « relative » puis absolue sur une mesure

Objet: Quel est l’impact d’une petite variation des paramètres sur un résultat

Exemple: la résistance d’un conducteur cylindrique R varie avec la section et la longueur selon la formule ci-dessous. Comment varie relativement la résistance si la section augmente de 2% et la longueur augmente de 1%.

calcul de petites variations passage au calcul d incertitude
Calcul de petites variationspassage au calcul d’incertitude

Le calcul de petites variations permet une évaluation (d’ailleurs trop pessimiste de l’incertitude

Exemple de la résistance précédente. Si l’incertitude de mesure sur s est 2%, l’incertitude de mesure sur la longueur 1% alors l’incertitude de mesure sur R est 3% et non pas -1%

cin matique du point rep rage
Cinématique du point -Repérage

La cinématique d’un point est l’étude de son mouvement sans s’occuper des causes de ce mouvement qui est alors la dynamique

Connaîtrele mouvement d’un point c’est déjà le repérer dans l’espace. Il existe plusieurs mode de repérage. Pour repérer un point dans un plan, il faut deux nombres, dans l’espace, il en faut trois.

vecteur position.

est appelé vecteur déplacement.

variables cin matiques
Variables cinématiques

Le point matériel se déplace au cours du temps, il décrit une courbe appelée trajectoire.

La variable de base en mécanique est le temps t,

Position, déplacement, vitesse et accélération sont des fonctions vectorielles de la variable temps

La vitesse instantanée d’un point mobile

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire

L’accélération instantanée d’un point mobile

mouvements rectilignes
Mouvements rectilignes

La trajectoire est une droite ou un segment de droite. Le point M mobile est repéré par son abscisse x(t).

Le mouvement rectiligne uniforme : v=cte ; alors =0 et x=v.t

Le mouvement rectiligne uniformément varié

A l’instant origine 0, v=v0 et x=x0 =cte, alors v=t+v0.

Si les vecteurs vitesse et accélération sont de même sens, le mouvement est accéléré.

Si les vecteurs vitesse et accélération sont de sens contraire, le mouvement est décéléré.

mouvements circulaires

.

Mouvements circulaires

La trajectoire est circulaire de rayon R de centre O.

mais qui change de direction au cours du mouvement. C’est un vecteur variable

vitesse angulaire (en rd/s)

accélération angulaire (en rd/s²)

mouvement circulaire uniforme
Mouvement circulaire Uniforme
  • C’est le mouvement de tout point d’une machine tournante en régime permanent.
  • Dans le MCU, la vitesse angulaire est constante, donc la vitesse V=R aussi.
  • Mais le vecteur vitesse varie en direction, donc le mouvement est accéléré.
  • Dans le mouvement circulaire uniforme, le point décrit la trajectoire à vitesse v constante mais il est soumis à une accélération centripète (= dirigée vers le centre du cercle)
dynamique du point
Dynamique du point

La dynamique est la partie de la mécanique qui relie le mouvement à ses causes, les forces. Elle repose sur un système de 3 lois fondamentales formulées ou précisées par Isaac Newton.

  • Principe de l’inertie (de Galilée)
  • Principe fondamental de la dynamique du point
  • Principe de l’action et de la réaction

P.F.D. Lorsque un point est soumis à un système de forces dont la somme (on dit aussi résultante) est F, il est soumis à une accélération g . M est la masse du point. C’est le paramètre d’inertie.

Lorsque la résultante des forces appliquées au point est nulle (forces qui se compensent), l’accélération est nulle et le mouvement est rectiligne uniforme, ou le point matériel est au repos. 

Tout corps qui exerce une force sur un autre corps est soumis de la part de ce dernier à une force égale et de sens opposé. 

travail d une force nergie puissance
Travail d’une force, énergie, puissance

Il y a échange d’énergie, en mécanique, lorsqu’une force est appliquée à un point matériel en mouvement.

Travail élémentaire d’une force lorsque le point se déplace de dl (en joule (J)

Travail d’une force lorsque le point se déplace de M1à M2 sur sa trajectoire

Puissance d’une force F appliquée à un point matériel en mouvement à la vitesse v (produit scalaire) en watt, W

energie cin tique
Energie cinétique

C’est l’énergie d’un point en mouvement due à son inertie et à sa vitesse. L’énergie cinétique est toujours positive

La variation d’énergie cinétique d’un point matériel de masse m entre 2 instants t1 et t2 est égale au travail W de toutes les forces appliquées sur ce point entre les mêmes instants.

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique est égale à la puissance de la résultante de toutes les forces appliquées sur ce point

m canique du solide
Mécanique du solide
  • En mécanique, un solide est d’abord considéré comme indéformable.
  • La position, la vitesse et l’accélération sont des grandeurs définies en chaque point du solide. Le mouvement général d’un solide est complexe.
  • Une roue de locomotive tourne autour de son axe et est entraînée dans le mouvement de la locomotive, guidée par ses rails. En mécanique l’axe de rotation de la roue et les rails constituent des « liaisons mécaniques ».
  • Le mouvement d’un solide est la superposition
  • du mouvement de son centre d’inertie (ou de gravité), mouvement d’un point matériel à 3 degrés de libertés, appelé mouvement d’ensemble
  • et d’un mouvement autour de son centre de gravité appelé mouvement propre.
translation rotation autour d un axe fixe
Translation-rotation autour d’un axe fixe

Les liaisons entre les solides et leur environnement engendrent les mouvements particuliers de translation rectiligne et de rotation autour d'un axe.

Un solide est en translation rectiligne si, à chaque instant, chaque point mobile a même vecteur vitesse. La vitesse linéaire (en m/s) constitue la variable cinématique du solide en translation rectiligne.

Le solide est en rotation autour d'un axe fixe, si tous les points du solide ont même vitesse angulaire instantanée. Chaque point décrit un mouvement circulaire.

La vitesse angulaire est la variable cinématique du solide en rotation. Chaque point du solide a néanmoins une vitesse V. La vitesse de chaque point de l’axe est nulle.

est la vitesse d’un point situéà la distance r de l’axe de rotation.

m canismes de transmission ou de transformation de mouvement

Ω

V=R.Ω

V

V

Mécanismes de transmission ou de transformation de mouvement

Les systèmes permettant de transmettre ou de transformer un mouvement sont des mécanismes.

Une poulie est un transformateur simple et réversible de mouvement de rotation en translation.

où R est le rayon de la poulie.

R joue alors le rôle du coefficient de transformation du mécanisme.

m canismes 2
Mécanismes 2

Un transmetteur de mouvement de rotation

système roue-vis sans fin

Un transformateur de mouvement rotation-translation: système vis-écrou

dynamique du solide
Dynamique du solide

Un solide est soumis à une action mécanique, lorsque son mouvement est modifié, lorsqu’il est maintenu à l’équilibre statique ou lorsqu'il est déformé.

Une action mécanique réelle est due à un système de forces réparties sur le solide.

Mais elle peut être modélisée à l'aide d'un ou deux vecteurs seulement. Dans deux cas très fréquents, un seul vecteur est suffisant.

glisseur
Glisseur

Les glisseurs sont des systèmes de forces équivalents à une seule force, la résultante ou somme vectorielle du glisseur. La variable dynamique du système est alors la résultante.

Tout système de forces concourantes ou parallèles est un glisseur.

Dans ces cas simples, la puissance instantanée d’un glisseur de résultante F appliqué à un solide en translation rectiligne de vitesse instantanée V est :

couples

répulsions

attractions

N

N

S

S

S

S

N

N

.

Couples

Les couples sont des systèmes de forces de résultante nulle et équivalents à un système de deux forces parallèles, égales, mais non directement opposées

La variable dynamique associée au couple est son moment.

La puissance instantanée d’un couple de moment C appliquéà un solide en rotation autour d’un axe, de vitesse angulaire instantanée Ω est donné par:

Exemple de couple « électromagnétique »

inertie d un solide
Inertie d’un solide

L’énergie est une grandeur additive. L'énergie cinétique d’un solide est la somme des énergies cinétiques de ses composants.

Translation rectiligne:

Pour un solide en translation rectiligne, tous les points de masse mi ont même vitesse V instantanée.

L’inertie d’un solide en translation rectiligne est sa masse

Pour un solide en rotation autour d’un axe, tous les points de masse mi et situés à la distance ri, ont une vitesse

La vitesse angulaire « instantanée »est la même pour tous les points

L’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est son moment d’inertie

moment d inertie
Moment d’inertie
  • La dimension du moment d’inertie est [M].[L]2 ; l’unité SI le kg.m2.
  • Pour une machine tournante le moment d’inertie est donnée au catalogue.
  • Pour quelques formes géométriquement simples, le calcul intégral est possible.

Exemple: Cylindre plein homogène par rapport à son axe de révolution. (M désigne sa masse et R son rayon).

energ tique
Energétique

La variation d’énergie cinétique pour un ensemble (déformable ou rigide) de solides soumis à des forces qui travaillent est donnée par le théorème de l’énergie cinétique.

Entre deux états du système 1 et 2, si un travail mécanique W est échangé, l'énergie cinétique varie selon :

dynamique du solide88
Dynamique du solide

Le principe fondamental de la dynamique transposé à un solide conduit à l’équation mécanique. L’équation mécanique prend deux formes selon que le système étudié est en translation rectiligne ou en rotation autour d’un axe.

La variable dynamique F et la variable cinématique accélération sont reliées par le paramètre d'inertie de rotation M.

En translation rectiligne, le glisseur de résultante F engendre une accélération linéaire  telle que :

En rotation autour d'un axe, par analogie

La variable dynamique: moment de couple et la variable cinématique accélération angulaire G sont reliées par le paramètre d'inertie de rotation J.

s ance 12
Séance 12

Problème de synthèse