Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Ogólnokształcących w Śremie • ID grupy: 98/16_MF_G1 • Opiekun: mgr Edyta Nowak-Polska • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Geometria trójkąta • Semestr/rok szkolny: semestr II - 2010/2011

3. KONSTRUKCJE • TRÓJKĄTÓW • Z DANYCH

4. A. DWA KĄTY I ODCINEK

5. Trójkąt zbudowany z dwóch kątów i odcinka. Rysowanie odcinka Aby skonstruować trójkąt o danych 2 kątach i odcinku należy najpierw narysować odcinek. W tym przypadku wynosi on 4 cm.

6. Rysowanie pierwszego kąta. Etap 1 Jeśli chcemy narysować kąt o danej mierze, należy wybrać punkt na ramieniu kąta oraz wierzchołek i podać miarę. Na rysunku kąt 70 stopni.

7. Rysowanie drugiego kąta. Etap 2 Rysując następny kąt, należy również wybrać punkt na odcinku i wierzchołek, a następnie podać miarę. Drugi kąt wynosi 55 stopni.

8. Trójkąt Kończenie pracy Aby zakończyć pracę, należy połączyć wierzchołki trójkąta.

9. B. KĄT I DWA ODCINKI

10. Umieszczamy na rysunku odcinek AB

11. Na odcinku AB wyrysowujemy kąt.

12. Punkty C i B łączymy tak, aby powstał trójkąt

13. C.TRZY ODCINKI

14. RYSUJEMY ODCINEK AB.

15. NA ODCINKU AB UMIESZCZAMY ODCINEK CD.

16. PUNKTY A I C ŁĄCZYMY ODCINKIEM FE I POWSTAJE GOTOWY TRÓJKAT.

17. GOTOWE TRÓJKĄTY: Trójkąt zbudowany z dwóch kątów i odcinka. Trójkąt zbudowany z dwóch odcinków i kąta. Trójkąt zbudowany z trzech odcinków.

18. ODCINKI • W • TRÓJKĄCIE:

19. 1. Wysokość TRÓJKĄTA

20. Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka. • Wysokość jest zawsze prostopadła do prostej zawierającej podstawę. Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu prostokątnego wierzchołka na podstawę.

21. 2. DWUSIECZNA KĄTA TRÓJKĄTA

22. Dwusieczna kąta trójkąta – półprosta, o początku w wierzchołku kąta trójkąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające. • Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii. • Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

23. BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

24. BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

25. BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

26. BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

27. BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

28. BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny • Rysujemy trójkąt różnoboczny. • Konstruujemy dwie dwusieczne kątów wewnętrznych. • Wyznaczamy punkt przecięcia dwusiecznych. • Konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z boków trójkąta. • Rysujemy okrąg wpisany w trójkąt o promieniu r, który łączy punkt przecięcia dwusiecznych z dowolnym bokiem. • W każdy trójkąt da się wpisać okrąg.

29. 3. SYMETRALNA ODCINKA TRÓJKĄTA

30. Symetralna odcinka trójkąta – prosta prostopadła do danego odcinka trójkąta i przechodząca przez jego środek. • Punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

31. TRÓJKĄT ABC Właściwości trójkąta: -różnoboczny-ostrokątny

32. TRÓJKĄT ABC Z SYMETRALNĄ ODCINKA

33. TRÓJKĄT ABC Z SYMETRALNYMI DWÓCH ODCINKÓW

34. OKRĄG OPISANY SKONSTRUOWANY NA TRÓJKĄCIE ABC

35. OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE ABC ZE SKONSTRUOWANYM PROMIENIEM

36. W skrócie… • Aby opisać okrąg na trójkącie należy skonstruować symetralne co najmniej dwóch boków trójkąta. • Następnie w miejscu przecięcia się symetralnych wbijamy igłę cyrkla i bierzemy rozwartość pomiędzy punktem przecięcia symetralnych a wierzchołkiem trójkąta. • Kreślimy okrąg.Na każdym trójkącie da się opisać okrąg!

37. 4. ŚRODKOWA TRÓJKĄTA

38. Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. • Trójkąt ma trzy różne środkowe. • Punkt przecięcia środkowych jest środkiem ciężkości trójkąta.

39. PROSTA EULERA • Prosta Eulera – prosta, która przechodzi przez: • ortocentrum (punkt przecięcia wysokości) danego trójkąta, • środek okręgu opisanego na trójkącie, • środek ciężkości trójkąta • środek okręgu dziewięciu punktów. • Istnienie takiej prostej udowodnił jako pierwszy Leonard Euler.

40. PROSTA EULERA • Prosta Eulera przechodzi przez: • punkt przecięcia wysokości (wyznaczony przez odcinki niebieskie), • środek okręgu opisanego (linie zielone), • punkt przecięcia środkowych trójkąta (linie pomarańczowe), • środek okręgu dziewięciu punktów.

41. OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW • Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków dowolnego trójkąta. • Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości oraz przez punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum.

42. OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW Punkty niebieskie – środki boków trójkąta Punkty czerwone – spodki wysokości trójkąta Punkty zielone – dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki trójkąta z jego ortocentrum

43. Trójkąt egipski I pitagorejski

44. Trójkąt Pitagorejski • Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: a2+b2=c2. Będą to trójkąty prostokątne. Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25). Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie.

45. Trójkąt egipski pitagorejski • Najwcześniej znanym trójkątem pitagorejskim był trójkąt egipski. Posiada wszystkie własności trójkąta pitagorejskiego jednak długości jego boków muszą wynosić odpowiednio 3,4,5.

46. Zastosowanie w starożytnym egipcie • Trójką egipski służył kiedyś do praktycznego wyznaczania kątów prostych w terenie. • Odgrywało to poważną rolę w życiu ówczesnego Egiptu. Regularne wylewy Nilu, niosąc olbrzymie ilości żyznego mułu, zacierały granice pomiędzy poszczególnymi gospodarstwami. Gdy wody zaś opadły, należało na nowo je wyznaczyć. • Dlatego też sprawa umiejętności odmierzania kątów prostych była Egipcjanom bardzo potrzebna

47. Wyznaczanie kątów prostych przez egipcjan • Do wyznaczenia kąta prostego w terenie potrzebny im był tylko sznur i kawałek patyka, przy czym sznur ten miał węzły w jednakowych odstępach i posiadał długość 5 takich odstępów – jednostek. Najpierw wyznaczano w terenie za pomocą sznura odcinek BC = 3 jednostkom. Następnie z punktu C, jako środka, zakreślano łuk promieniem równym 4 jednostkom, trzymając przy tym patyk przy czwartym węźle i kreśląc tym patykiem przy naprężonym sznurze. W taki sam sposób wykreślano łuk z punktu B promieniem równym 5 jednostkom. Końcowa czynność polegała na wytyczeniu kierunku CA .

48. Zastosowanie trójkąta egipskiego we współczesnym budownictwie • Murarze stawiając ściany domu, muszą stale sprawdzać, by wznosiły się one prostopadle, to jest zachowywały pion, oraz stykały się w narożnikach pod katem prostym. Na ogół, aby sprawdzić, czy kat prosty jest w tym przypadku zachowany, stosuje się tzw. kątownicę, którą od czasu do czasu przykłada się do narożnika i w miarę potrzeby wyrównuje cegły. • Murarz odmierza za pomocą miary wzdłuż jednej ściany odległość 30 cm, wzdłuż drugiej 40 cm, po czym sprawdza, czy odległość między końcami tych odłożonych wzdłuż ścian odcinków wynosi 50 cm. Jeżeli tak jest – narożnik tworzy kąt prosty.

49. Własności trójkąta równobocznego • Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość. Taki trójkąt ma następujące własności: • - wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°,- wysokość trójkąta równobocznego h=(a pierwiastka z 3):2 - wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne,- wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta,- wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2,- punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

50. Własności trójkąta równoramiennego • Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego 2 boki mają taką samą długość. Ma on następujące właściwości: • -kąty przy podstawie są równe • -wysokość dzieli postawę i kąt przy wierzchołku na dwie równe części • -kąty przy podstawie są przystające a ich miara jest mniejsza od miary kąta prostego.