Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

1. TBF 122 - Genel Matematik IIDERS – 10 : Simpleks YöntemineGiriş  Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2.  Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri Bundan önceki dersimizin son kısmında üretim planlaması probleminin kısıtlamalarını veren eşitsizliklere aylak değişkenler katarak bir denklem sistemi elde etmiş ve bu denklem sistemi ile bağlantılı olarak temel değişken, temel olmayan değişken, temel çözüm ve uygun temel çözüm kavramlarını tanımlamıştık. Ayrıca, problemin uygun çözüm alanının köşe noktaları ile aylak değişkenler katıla-rak elde edilen denklem sisteminin uygun temel çözümleri arasında bire-bir eşleme olduğunu ve en iyi çözümün uygun temel çözümler arasında ortaya çıktığını görmüş-tük. Bu dersimizde, yine üretim planlaması problemi üzerinde tartışmalarımızı sürdüreceğiz ve üretim planlaması probleminin de içinde bulunduğu “ Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri”denilen problemlerin çözümünde, değişken sayısı ne olursa olsun, uygulanabilen simpleks yöntemini göreceğiz. Bir doğrusal programlama probleminin problem kısıtlarının tümü  olarak verilmiş ve amaç fonksiyonunun maksimum değeri isteniyor ise, bu probleme  kısıtlamalı maksimizasyon problemi denir.  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde problem kısıtlarını veren eşitsizlik-lerin hiç birinin sağ taraf sabiti negatif değilse, o probleme standart biçimde  kısıt-lamalı maksimizasyon problemi denir.

3. Amaç Fonksiyonu Problem Kısıtlamaları bi 0 Negatif Olmama Kısıtlamaları Simpleks yöntemi, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemlerine uygu-lanabilir. Böyle bir problemin görünümü aşağıdaki gibidir: K = c1x1 + c2x2+ . . . + cnxnfonksiyonunu . . . ai1x1 + ai2xi2 + . . . + ainxn bi, 1  im, bi 0 . . . x1 , x2, . . . , xn 0 kısıtlamaları altında maksimize ediniz.

4. KararDeğişkenleri AylakDeğişkenler Üretim Planlaması probleminin matematiksel modeli fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Daha önceki tartışmalarımızdan hatırlayacağımız üzere, bu denklem sisteminin uygun temelçözümleri, x1, x2, s1, s2 0olan temel çözümlerdir.

5. Başka bir deyimle, üretim planlaması probleminin çözümünde , aşağıdaki sistemin uygun temel çözümlerine bakıyoruz: Başlangıç Öncesi Sistem Bundan böyle bu şisteme başlangıç öncesi sistem diyeceğiz. Amaç fonksiyonunu-120x1- 70x2+ K = 0 biçiminde yazarak yukarıdaki sisteme eklersek Başlangıç Sistemi sistemi elde edilir. Bu sisteme başlangıç sisitemidiyoruz. Her doğrusal denklem sisteminde olduğu gibi başlangıç sisteminde de temel ve temel olmayan değişkenler seçilerek temel çözümler belirlenebilir. Burada temel değişken seçiminde önemli bir kısıtlama getirilecek: Temel değişkenler-den biri daimaKolacak.

6. Başlangıç Öncesi Sistem Başlangıç Sistemi • Başlangıç sistemindeki doğrusal denklem sisteminde 5 tane değişken ve 3 tane denk-lem bulunduğuna dikkat ediniz. Başlangıç sisteminin, temel değişkenlerden biri Kolmak üzere elde edilen bir temel çözümünde x1 , x2 , s1 , s2 den hiçbiri negatif değilse, o temel çözüme başlangıç siste-minin birK-uygun temelçözümüdenir. • Bundan böyle, başlangıç sisteminde amaç fonksiyonundaki K değişkeni, daima temel değişken olarak seçilecek, asla temel olmayan değişken olarak seçilmeyecektir. • Böyle bir seçim sonucu, başlangıç sisteminin bir temel çözümünde K yok sayılırsa, baş-langıç öncesi sisteminin bir temel çözümü elde edilir. Böyle bir temel çözümün K- uygun olması için gerek ve yeter koşul, bu çözümde K yok sayılınca başlangıç öncesi sistemin bir uygun temel çözümünün elde edilmesidir. • Başlangıç sisteminin bir uygun temel çözümünde negatif değer varsa, bu sadece K de-ğişkeninin bir değeri olabilir.

7. Başlangıç Sistemi Teorem. Standart biçimde,  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde amaç fonksiyonunun en iyi değerivarsa, bu en iyi değer, başlangıç sisteminin K-uygun temel çözümlerinde ortaya çıkar. Standart biçimde  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde aylak değişkenler ve K temel değişkenler (karar değişkenleri temel olmayan değişkenler) olarak alındığında elde edilen çözüm K-uygun temel çözüm olur. Eğer problem standartbiçimdedeğilse, buçözümK-uygun temel çözümolmaz. Standart biçimde  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde aylak değişkenler ve K temel değişkenler olarak alındığında elde edilen K-uygun temel çözüme başlangıç uygun temel çözümü denir. Üretimplanlamasıproblemininbaşlangıç uygun temel çözümü dır.

8. Simpleks yöntemi ile standart biçimde  kısıtlamalı bir maksimizasyon problemini çözmek için başlangıç uygun temel çözümü ile başlanır ve K-uygun temel çözümler taranarak en iyi çözümü veren K-uygun temel çözüme ulaşılmaya çalışılır. Bunun nasıl gerçekleştirildiğini, bir K-uygun temel çözümden en iyi çözümü vermeye daha yakın olan bir K-uygun temel çözüme nasıl geçildiğini aşağıda göreceğiz. • Üretim Planlamasıprobleminde bizim aldığımız başlangıç uygun temel çözümü hiç üretim yapılmaması, dolayısıyla, hiç kâr edilmemesine karşılık gelir. • Şimdi s1, s2temel değişkenlerinden birine x1, x2temel olmayan değişkenlerinden biri ile rol değiştirterek, simpleks yöntemi sürdürülecek ve kârın iyileştirilmesi yolunda bir adım atılacak. s1, s2den hangisivex1, x2den hangisi seçilecek? • x1, x2 değişkenleri arasında yapılan seçim, hangi değişken seçilmişse o değişkendeki birim artış Kyı en çok büyültecek biçimde yapılır.

9. Üretim Planlaması probleminde, K =120 x1 + 70 x2olduğundan, x1deki birim artış, K yi 120birim, x2deki birim artış, Kyı 70birim artıracağından, x1yeni temel değişken olarak seçilir. Simpleksyöntemindebirtemeldeğişkeninyerinealınanyeni temel değişkene giren değişken(entering variable)denir. Burada, giren değişkenin amaç fonksiyonunu belirleyen ifadede en büyük pozitif katsayıya sahip olan değişken olarak ortaya çıktığını görüyoruz. Şimdis1, s2den hangisix1yerine temel olmayan değişken olacak? Kyı iyileştirmek için x1 i artırıyoruz; ancak, bu artış keyfi değildir. x1 i artırırken s1ves2yi negatif yapmamalıyız. s1ves2yi negatif yapmadan x1i en çok ne kadar artırabiliriz? Bu sorunun yanıtı içinbaşlangıç sistemindex2= 0alınarak ifadelerinden x1nin en çok 8alınabileceği görülür ve bu değer s1 in sıfır değerine karşılık gelir. Dolayısıyla, s1 temel olmayan değişken yapılabilir.

10. Simpleksyöntemindegirendeğişkeninyerinialdığıeskitemeldeğişkeneçıkandeğişkendenir.Simpleksyöntemindegirendeğişkeninyerinialdığıeskitemeldeğişkeneçıkandeğişkendenir. Çıkan değişkeni pratik olarak belirlemek için başlangıç sisteminde her bir sağ taraf sabiti ait olduğu denklemdeki giren değişkenin katsayısı ile bölünerek bulunan değerlere bakılır; bu değerlerden en küçüğüne karşılık gelen denklemdeki aylak değişken (üretim planlaması probleminde s1 ) çıkan değişken olarak alınır. İleride göreceğimiz üzere, bu işlem yapılırken sadece giren değişkenin pozitif katsayıya sahip olduğu denklemlerin sağ taraf sabitleri dikkate alınır. Böylece, başlangıç sisteminde s2, x1ve Ktemel değişken seçilerek sistemininçözümüolan K-uyguntemelçözümüeldeedilir. Kiçindahaiyibirdeğerbulunmuşoldu. AcabaK nındeğeridaha da iyileştirilebilir mi? Bu soruyu yanıtlamadan önce, buraya kadar yaptıklarımızı yeniden değerlendirelim:

11. Üretim planlaması probleminin başlangıç sistemi olan denklemsistemindes1, s2veK değişkenlerinin temel değişken seçilmesiyle elde edilen uygun temel çözümü ile başladık. Burada, s1, s2veK nın temel değişken, x1, x2nin temel olmayan değişken seçilmeleri, sistemde x1 = 0, x2 = 0 alınınca temel çözümün hemen okunabilmesi imkanını sağla-maktadır. Yukarıda anlatıldığı biçimde, temel ve temel olmayan değişkenlere rol değiştirterek yeni temel değişkenleri belirledikten sonra, başlangıç sistemini kendisine denk bir sisteme dönüştürerek karşılık gelen temel çözümü bu dönüştürülmüş sistemde temel olmayan değişkenler yerine sıfır yazıldığı zaman hemen okunabilecek biçime getirebiliriz. Başka bir deyişle, bu sistemi yeni başlangıç sistemi olarak düşünebiliriz. Bu bağlamda, bir denklem sistemine denk sistem oluşturmanın en elverişli yolunun o denklem sisteminin ilaveli matrisi üzerinde satır işlemleri uygulamak olduğunu anım-sayalım.

12. Üretim planlaması probleminin başlangıç sistemi vebusisteminilavelimatrisi dır. Bu matrise sonlu sayıda satır işlemi uygulanırsa elde edilen matris, başlangıç sistemine denk (yani, onunla aynı çözüm kümesine sahip) olan bir sistemin ilaveli matrisi olur. Yukarıdaki ilaveli matrisin düşey çizgiye kadar olan sütunları, sırasıyla, x1, x2, s1, s2 ve K ya karşılık gelmektedir. Dikkat edilirse, • Başlangıç uygun temel çözümü için temel değişken olarak seçilmiş olan s1, s2ve Kdan her birine karşılık gelen sütunda sadece bir tane 1 bulunmakta olup diğer girdilerin tümü sıfırdır. • Her bir temel değişkene karşılık gelen 1 girdisi farklı bir satırda bulunmaktadır.

13. Her bir değişkeni ait olduğu sütunun üstüne, her bir temel değişkeni sütunundaki 1 girdisinin bulunduğu satırın soluna yazarak ve son satırı da diğerlerinden bir kesik çizgi ile ayırarak aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz: Başlangıç Simpleks Tablosu Bu tabloya başlangıç simpleks tablosu diyeceğiz. Başlangıç simpleks tablosundaki ilk iki satır problem kısıtlarını, son satır da amaç fonksiyonunu tamamen belirlediğinden, başlangıç simpleks tablosu problemin başlangıç sisteminin değişik bir ifadesi olarak düşünülebilir. Başlangıç simpleks tablosunda aşağıdaki hususun gerçeklendiğine dikkat ediniz: • Her temel değişkenin ait olduğu sütunda sadece bir sıfırdan farklı girdi vardır ve 1 e eşit olan bu girdi o temel değişkenin ait olduğu satırda bulunmaktadır.

14. Temel ve temel olmayan değişkenlere rol değiştirtme, yani giren ve çıkan değişkenleri belirleme sürecini başlangıç simpleks tablosu üzerinde yorumlayarak daha pratik hale getirebiliriz. Başlangıç Simpleks Tablosu

15. Giren değişken Çıkan değişken • Başlangıç simpleks tablosunda kesik çizginin altında, yani son satırda ve düşey çizginin solundaki girdilerden en küçük negatif girdinin bulunduğu sütuna ait değişken giren değişkendir. • Eğer sözü edilen girdiler arasında negatif olan yoksa, K nın başlangıç uygun temel çözümündeki değeri en iyi değerdir. • Giren değişken belirlendikten sonra, giren değişkenin sütunundaki girdisi pozitif olan her bir satırın sağ taraf sabiti giren değişkenin sütunundaki o girdiye bölünür; böylece elde edilen sayılardan en küçüğünü veren satıra karşılık gelen temel değişken, çıkan değişkendir. Girendeğişkeninsütununda, birsağtarafsabitininkarşısındapozitifolmayangirdivarsa, o girdi(ler) dikkatealınmaz. • Eğer giren değişkenin sütununda kesik çizginin üzerinde hiç pozitif girdi yoksa, o takdirde problemin çözümü yoktur. Çünkü, budurumdabaşlangıçsistemininhiçK-uyguntemelçözümüyoktur.

16. Giren değişken Anahtar satır Anahtar girdi Çıkan değişken Anahtar sdtun • Giren değişkenibelirleyensütuna anahtar sütun(pivot coulumn) denir. • Çıkandeğişkenibelirleyensatıraanahtar satır(pivot row) denir. • Anahtar satırla anahtar sütununortak girdisine anahtar girdi(pivot entry) denir.

17. Başlangıç sistemine denk olan öyle bir sistem bulmak istiyoruz ki, bu sistemde yeni temel olmayan değişkenler yerine sıfır yazıldığı zaman karşılık gelen temel çözüm hemen okunabilsin. Bunu, ilaveli matris ya da başlangıç simpleks tablosu üzerinde satır işlemleriyle, anahtar girdiyi 1 yapıp anahtar sütundaki diğer tüm girdileri sıfıra dönüştürmek suretiyle gerçekleştirebiliriz. Söz konusu satır işlemleri yapılırken sağ taraf sabitlerini negatif yapan satır işlemle-rinden kaçınmak gerekir. Anahtar girdiyi 1 yapmak için anahtar satır uygun bir sayı ile çarpılır, elde edilen satır uygun sayılarla çarpılıp diğer satırlara toplanmak suretiyle anahtar sütunda anahtar girdi dışındaki girdiler sıfıra dönüştürülürse, bu sağlanmış olur. Başlangıç simpleks tablosunda, yeni temel ve temel olmayan değişkenlere göre temel çözümü kolay okuyabilmek için yapılan satır işlemlerine anahtar işlemler denir.

18. Üretim planlaması probleminin başlangıç simpleks tablosunda yapılacak anahtar işlemler şunlardır: x1 0 1 -2 1 0 | 4 0 -10 60 0 1 |960 0 0 3/2 -1/2 0 | 6 x2 0 0 40 10 1 | 1000 Son satırdan, 40s1+ 10s2+ K = 1000denklemi elde edilir ve buradan görüyoruz ki, Kiçin bulunabilecek en iyi değer 1000 dür. Çünkü, s1 > 0 veya s2 > 0 için K < 1000olur. Böylece en iyi çözüm, x1 = 6, x2 = 4, s1=0, s2 = 0, K = 1000K-uygun temel çözümüne karşılık gelen çözümdür. Böyleceüretim planlamasıprobleminde, 6adetceketve4adetyeleküretilirse, maksimumkâreldeedileceğivemaksimumkârın1000TL olduğugörülür.

19. 0 0 16 36 0 (0,0) 8 00 4 960(8,0) 640 0 1000 (6,4) Geometrik Yorum: Üretim Planlaması Problemi için simpleks yönteminde karşılaştığımız uygun temel çözümler: x1 x2 s1 s2 K Köşe

20. Hayır ise Adım 2.Son satırda hiç negatif değer var mı? Adım 4.Anahtar sütunda çizgi üzerinde hiç pozitif değer var mı? Evetise Hayır ise Evet ise Simpleks Yönteminin özeti: Adım 1.Aylak değişkenleri katarak başlangıç sistemini ve ona karşılık gelen başlangıç simpleks tablosu yazılır. DUR En iyi çözüm bulunmuştur. Adım 3.Anahtar sütun seçilir. DUR Çözüm yok. Adım 5.Anahtar satır ve anahtar girdi seçilir; anahtar işlemler yapılırveyenibaşlangıçtablosuoluşturulur.

21. 2.5 Örnek.K = 15x1+ 10x2fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. 0.5 2.5 -2.5 1 0.5 0.5 0 0 | 7 1 0 0.6- 0.20 | 6 0 2.5 -- 0.5 1 0 | 5 0 1 -0.2 0.4 0 | 2 0 -2.5 7.5 0 1| 105 0 0 70.41 | 110 Maksimum değer x1 = 6, x2 = 2, s1 = 0, s2 = 0için K =110olur.

22. Örnek. K = 8x1+ 3 x2fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Anahtar sütunda çizgi üzerinde pozitif girdi yok. Çözüm yok.

23. Örnek.K = 10x1 -2x2 +4 x3fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Başlangıç sistemi ve başlangıç simpleks tablosu: Anahtar sütun, birincisütun; anahtar satır, birinci satır ve anahtar girdi 1dir. Anahtar işlemleri başlatalım ve simpleks yöntemini sürdürelim.

24. Son tabloda kesik çizginin altında ve düşey çizginin solunda negatif değer yoktur. O halde en iyi çözüme ulaşılmıştır. Yeni temel değişkenler x1, x2ve K olup karşılık gelen temel çözüm x1 = 15, x2 = 5, x3 = 0 , s1 = 0 , s2 = 0 , s3 = 0 , K = 140 dir. Amaç fonksiyonu Kmaksimum değerini x1 = 15, x2 = 5, x3 = 0olunca alır ve maksimum değer K(15,5,0)= 140 dır.

25. Problem. Bir inşaat şirketA, B ve C tipi olmak üzere üç tip villa yaparak satışa sunmak istiyor. Bir A tipi villa için 0.5dönümarsa, 4 bin iş saati ve 60 bin TL sermaye; bir B tipi villa için 0.5dönümarsa, 3 bin iş saati ve 60 bin TL sermaye; bir C tipi villa için 1 dönümarsa, 4 bin iş saati ve 80 bin TL sermaye gerekiyor. Şirket bu iş için 30 dönümarsa, 180 bin iş saati ve 3200 bin TL ayırıyor. Her A tipi villa 20 bin, her B tipi villa 18 bin ve her C tipi villa 24 bin TL kâr bıraktığına göre şirket maksimum kâr için her tip villadan kaçar adet inşa etmelidir? Çözüm. Önce bir veri tablosu yapalım ve problemin matematiksel modelini kuralım.

26. Şirketin x1 adet A tipi, x2adet B tipi ve x3adet C tipi villa inşa ettiğini kabul edelim (karar değişkenleri). Bu takdirde şirketin kârı K(x1, x2, x3) = 20x1 + 18x2 + 24x3 bin TL olur (Amaç fonksiyonu). Arsa, iş saati ve sermaye gereksinimleri ile bunların mevcut miktarlarından dolayı aşağıdaki kısıtlamalar ortaya çıkar. Arsa için: K(x1, x2, x3) = 20x1+18x2 + 24x3fonksiyonunu Sermaye için: İş saati için: Bu üç kısıta negatif olmama kısıtları da eklenerek problemin matematiksel mo-deli yandakigibioluşturulur. kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Bu, standartbiçimde kısıtlamalımaksimizasyonproblemidir. Probleminsimpleksyöntemiileçözümüizleyenslaytlardayapılacaktır.

27. Başlangıç sistemi ve başlangıç simpleks tablosu: Bu tabloda kesik çizginin altında vedüşey çizginin solunda negatif değer yoktur. O halde en iyi çözüme ulaşılmıştır. Yeni temel eğişkenler x3, x2, x1ve K olup karşılık gelen temel çözüm x1 = 20, x2 = 20, x3 = 10, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, K = 1000  dir. Amaç fonksiyonu K maksimum değerini x1 = 20, x2 = 20, x3 = 10 olunca alır ve mak-simum değer K (20,20,10)= 1000 dir.  Bu çözüme göre, şirketin maksimum kâr elde edebilmesi için 20 adet A tipi, 20 adet B tipi, ve 10 adet C tipi villa inşa etmesi gerekir. Bunu yaptığı takdirde, maksimum kâr 1000 bin TL yani, bir milyon TL olur. ■

28. Problem.Bir çiftçi 100 dönümlük çiftliğine üç çeşit tohum ekmek istiyor. A, B ve C türü tohumların dönüm başına maliyetleri, sırasıyla, 25 TL, 40 TL ve 50 TL dir. Çiftçi, tohumlar için en çok 3500 TL harcayabiliyor. A, B ve C türü tohumların ekimi, dönüm başına, sırasıyla, 8, 12 ve 14 iş saati gerektiriyor ve ekim için çiftçinin en çok 1050 iş saati var. Çiftçi, dönüm başına A ürününden 65 TL, B ürününden 100 TL ve C ürününden 120 TL kâr sağladığına göre, maksimum kâr için her bir tohum türünden kaç dönüm ekmelidir? A türü B türü C türü Ekilebilir Alan 100 Maliyet 25 40 50 3500 Zaman 8 14 1050 12 Kâr 65 120 100

29. A türü B türü C türü Ekilebilir Alan 100 Maliyet 25 40 50 3500 Zaman 8 12 14 1050 Kâr 65 100 120 A türü tohumun ekildiği alan x1dönüm, B türü tohumun ekildiği alan x2dönüm,C türü tohumun ekildiği alan x3dönüm olsun. Kâr : K = 65x1+ 100x2+ 120x3. Kısıtlamalar:

30. Matematiksel model: K = 65x1+ 100x2+ 120x3fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Maksimum kâr x1 =50, x2= 25, x3=25, s1=0, s2 =0, s3 =0için K =8750TL olur. Bu demektir ki, maksimum kâr için 50 dönüm A türü, 25 dönüm B türü ve 25 dönüm C türü tohum ekilmelidir. Maksimum kâr 8750 TL olur. ■