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  1. Loi normale et calculatrice

  2. Exercice 1: Courbes de croissance et normalité ! • Objectifs visés : • Utilité de la loi normale dans un problème qui concerne directement les élèves, lié à la svt (biostatistique). • Lecture graphique de la plage de normalité . • Utilisation de la calculatrice • Regard critique sur le modèle utilisé.

  3. Quelques lectures graphiques :- Taille moyenne d’un garçon de 16 ans.- Comment lire l’écart type de la série concernant les garçons âgés de 16 ans? - Zone de normalité = [m – 2  ;  m– 2  ] Que peut-on dire d’un garçon de 16 ans pesant 48kg?- Observer l’écart type de la série lorsque l’âge de l’enfant augmente ? Expliquer. m + 2 m +  m 58 kg 10 kg 5 kg 16 ans

  4. Quelques calculs à présent:On considère que le poids X d’une population de garçons de 16 ans suit une loi N(μ,σ²).Précisez la loi de probabilité suivie.On choisit au hasard un garçon de 16 ans.- Calculer la probabilité qu’il pèse entre 46 et 70 kg ?- Calculer la probabilité qu’il pèse moins de 50 kg ?

  5. Pour Calculer P(a<X<b): • Menu DISTRIBUTION Sélectionner 2 : normalcdf( • Compléter les paramètres. Exemple : Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type  = 6. P(46<X<70) = normalcdf (46,70,58,6) ≈ 0,954

  6. 50 58 aire sous la courbe = 1 • Pour Calculer P(X<b): Soit on calcule une valeur approchée en calculant P(a<X<b) avec a = – 1099 par exemple. Soit on utilise les propriétés de symétrie de la courbe de gauss. si b<m , P(X<b) = 1/2 – P(b<X<m) si b>m, P(X>b) = 1/2 + P(m<X<b) • Exemple : • Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 kg et • d’écart type  = 6 kg. • P(X<50) = normalcdf (-10^99,50,58,6) ≈ 0 ,091 • ou P(X<50) = 1/2 - normalcdf (50,58,58,6)

  7. Et encore un calcul !« 3/4 des garçons âgés de 16 ans pèsent moins de x kg .» Déterminer x.

  8. Pour Calculer P(X<a) = k (où k est un nombre donné entre 0 et 1.) • Menu DISTRIBUTION Sélectionner 3 : invNorm( • Compléter les paramètres. Exemple : X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type  = 6. • Déterminer a tel que P(X<a) = 0,75. • a = InvNorm(0,75,58,6) ≈ 62 kg

  9. - Pensez-vous que cette répartition des poids soit représentative du poids des garçons de 16 ans en 2013 ? Voici les courbes issues du carnet de santé, mis à jour en 2006. 97 % 75 % 25 % 3 %

  10. Exercice 2: Degré d’usure d’un câble… • Objectifs visés : • Compréhension de l’influence de l’écart type sur une loi normale • Utilisation de la loi normale pour résoudre un problème concret.

  11. Ci-dessous, sont représentées les mesures effectuées : - la première semaine d’utilisation - après trois mois d’utilisation intensive. - Quelle courbe représente les mesures effectuées la première semaine ?

  12. - Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm.Quelle est la probabilité que le câble casse la première semaine ? Et lorsque l’on se décide à changer le câble? - Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm.Quelle est la probabilité d’abimer le treuil au bout d’une semaine d’utilisation ? Et lorsque l’on se décide à changer le câble ? Loi normale de paramètres m = 45 mm et = 1mm. On change le câble lorsque l’écart type initial est multiplié par 5.

  13. L’ingénieur décide de changer le câble lorsque le risque de casse ou d’endommagement atteint 10%. - Quelle est la valeur que l’écart type ne doit pas dépasser ?On cherche le plus petit écart type s tel que :P( 38<X<50) < 0,9 Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm.

  14. Précisions sur le tableur: Pour Calculer P(X<B)  Lorsque l’argument est FAUX (au lieu de VRAI), on obtient la valeur de la fonction de densité

  15. On cherche le plus petit écart type s tel que P( 38<X<50) < 0,9 • P( 38<X<50) = P(X<50) – P(X<38)

  16. Saisir le pas XStocker la valeur X dans STant que P(38<X<50) ≥0,9 Stocker S + X dans SFin du tant queAfficher la valeur de l’écart type S. Autre méthode, un algorithme simple :

  17. Autres fonctionnalités de la calculatrice :Pour représenter graphiquement une loi normale :Penser à régler la fenêtre d’affichage !Afficher l’écran d’édition puis dans le menu DISTR sélectionner normalpdf(Pour représenter graphiquement P(a<X<b):Dans le menu DISTR, sélectionner DRAW ou DESSIN, puis Ombre Norm(

  18. Exercice 3: Plus théorique cette fois… • Objectifs visés : • Déterminer la valeur de ce u dont l’existence vient d’être démontrée. • Retrouver les valeurs 1,96 et 2,58 connues par l’élève.

  19. Pour α ∈]0,1[, il existe un unique réel positif uαtel que P(− uα ≤ X ≤ uα )=1−α lorsque X suit la loi normale N (0,1). Par exemple, déterminer le nombre u tel que : P(– u < X< u) = 1 – 0,05 = 0,95 C’est-à-dire : P(X < – u) = 0,05/2 = 0,025

  20. Soit loi normale inverse: P(X<-u)=0,025 • Soit le tableau de valeurs de la fonction • u → P(-u<X<u) • On cherche l’antécédent de 0,95

  21. - Loi normale,- Loi binomiale,- Calculatrice (TI et CASIO), - Tableurs (EXCEL),- Exercices détaillés corrigés et fichiers Excel associés.http://www.irem.univ-mrs.fr/-Lycee-Statistique-probabilite-et-