Chapitre 5 Volumes de solides de révolution

1. Chapitre 5Volumes de solides de révolution Objectifs Être capable d’utiliser l’intégrale définie afin de calculer Un volume de solides de révolution : Méthode des disques Méthode des beignes ou anneaux Méthode des tubes

2. 3.1 Volume d’un solide de révolution • Définition d’un solide de révolution • Solide engendré par la rotation d’une région plane autour d’un axe de révolution. Volume à visualiser • Méthode • Observation • représentation de la région, de l’axe de révolution et d’un rectangle type. • Ce rectangle type engendrera un disque, un tube ou un anneau (beigne) selon sa disposition par rapport à l’axe de révolution. • Le volume de chaque disque, tube ou anneau type donne une approximation du volume d’une portion du solide de révolution. • Mathématisation • Calcul d’un volume élémentaire ΔVi . • Calcul de l’élément différentiel dV. • Calculs • Recherche des bornes d’intégration • Calcul du volume en utilisant le théorème fondamental du calcul.

3. 3.2 Méthode des disques f ΔE f(ci) ΔE x ci r ri a b x a b • Introduction • L’axe de révolution est une frontière de la région plane. • La longueur du rectangle type est perpendiculaire à l’axe de révolution et elle correspond au rayon du disque • Méthode dans le cas • Observation ri=distance entre la courbe et l’axe de rotation ΔE= épaisseur = (Δx ou Δy) • Mathématisation • Comme ΔVi = π·ri2 · ΔE alorsdV= π·r2 ·dE • Calculs:

4. Exemple f Δx f(ci) r x ci 1 3 Soit la rotation autour de l’axe des x de la surface bornée par:

5. E R h E R h Méthode des tubes Les rectangles sont parallèles à l’axe de rotation La révolution du rectangle autour de l’axe de rotation génère alors un tube

6. Volume du solide E R h où R: rayon du tube (distance entre le rectangle et l’axe de rotation) h: hauteur du tube (hauteur du rectangle) dE: élément différentiel d’épaisseur du tube (dx ou dy)

7. R H dE Exemple Soit la rotation autour de l’axe des y de la surface bornée par: