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Controle Estatístico de Processo

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  1. CEP Controle Estatístico de Processo Versão: Jul Emitido GBP Aprovado CHJ Nº pag: 128

  2. ÍNDICE Assunto Página • Histogramas 03 • Distribuição de Probabilidade 17 Distribuição Binominal 21 Distribuição de Poisson 26 Distribuição Normal 30 • Teste de normalidade 38 • Teorema do Limite Central 43 Aproximação das Distribuições 45 • Cartas de Controle para Variáveis 47 Controle do Processo 48 Carta X - R 53 Carta X - S 69 Carta X - R 73 Carta X - AM 75 Carta MM - AM 79 Outras cartas (Tendência, CUSUM, EWMA) 83 Seleção de cartas para variáveis 84 • Cartas de Controle para Atributos 85 Carta p 86 Carta np 92 Carta c 96 Carta u 102 Seleção de cartas para atributos 109 • Uso das Cartas de Controle 110 • Capabilidade do Processo 116 ~

  3. HISTOGRAMAS

  4. HISTOGRAMAS • Exemplo de um histograma • Num grupo de 25 pessoas que passaram numa balança, seus pesos (em Kg) foram anotados, na seqüência: • 95 85 70 105 65 • 110 75 80 55 75 • 70 100 90 85 80 • 75 85 80 75 60 • 65 90 50 75 80 • A seguir, os pesos foram colocados na ordem: • 50 • 55 • 60 • 65 65 • 70 70 • 75 75 75 75 75 • 80 80 80 80 • 85 85 85 • 90 90 • 95 • 100 • 105 • 110 Pesos Nº de vezes

  5. HISTOGRAMAS • Os pesos são colocados num gráfico • Este gráfico é um HISTOGRAMA • Estatísticas • Para caracterizar este conjunto de valores, devemos medí-lo por duas “estatísticas”: • Medidas da “tendência central” • Medidas da “dispersão” Freqüência (nº de vezes) 5 X 4 X X 3 X X X 2 X X X X X X 1 X X X X X X X X X X X X X 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 Pesos

  6. Média = Soma de todos os valores (os pesos) Número de dados (número de pessoas) MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL • MÉDIA • No exemplo: • MODA • No exemplo: • MODA = 75 (ocorre 5 vezes) • MEDIANA • No exemplo: Moda = Valor que ocorre com maior freqüência Mediana = Valor acima e abaixo do qual ficam metade de todos os valores, quando estes estão ordenados 50,55,60,65,65,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,85,85,85,90,90,95,100,105,110 12 valores abaixo MEDIANA = 80 12 valores acima

  7. 45 + 55 2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL • Média, Moda e Mediana no Histograma • Observações: • As três medidas, às vezes, coincidem • Se o número de elementos (pessoas) do conjunto for par (no nosso exemplo é impar), a mediana é calculada como a média dos dois valores centrais. • Por exemplo no conjunto: • 30, 40, 45, 55, 70, 80 • a mediana é: = 50 • Pode existir mais de uma moda para um dado conjunto X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 80 (Mediana) 79 (Média) 75 (Moda)

  8. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Média = Mediana = Moda Média = Mediana X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Não Simétrico Simétrico MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL • Exemplos • Conjuntos Simétricos • Conjuntos não simétricos • Conjuntos com mais de uma moda

  9. MEDIDAS DE DISPERSÃO • Amplitude (R) • Exemplos: • Para Conjunto A : RA = 13 - 7 = 6 • Para Conjunto B: RB = 15 - 5 = 10 • OBSERVE QUE: • Os dois conjuntos são simétricos, com Média = Mediana = Moda = 10 • Os dois conjuntos têm amplitudes diferentes RA = 6 e RB = 10 Conjunto B Conjunto A X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R = Maior Valor - Menor Valor

  10. MEDIDAS DE DISPERSÃO • Variância (S²) e Desvio Padrão (S) • Passos para calcular a Variância e o Desvio Padrão: • Calcule a média ( X ) Conjunto A: X = 10 Conjunto B: X = 10 • Calcule a diferença de cada dado com a média • Conjunto A • Dado ( X ) Diferença ( X - X ) • 7 7 - 10 = -3 • 8 8 - 10 = -2 • 8 8 - 10 = -2 • 9 9 - 10 = -1 • 9 9 - 10 = -1 • 9 9 - 10 = -1 • 10 10 - 10 = 0 10 10 - 10 = 0 10 10 - 10 = 0 10 10 - 10 = 0 11 11 - 10 = 1 • 11 11 - 10 = 1 • 11 11 - 10 = 1 • 12 12 - 10 = 2 • 12 12 - 10 = 2 • 13 13 - 10 = 3 • Conjunto B • Dado ( X ) Diferença ( X - X ) • 5 5 - 10 = -5 • 6 6 - 10 = -4 • 7 7 - 10 = -3 • 8 8 - 10 = -2 • 9 9 - 10 = -1 • 9 9 - 10 = -1 • 10 10 - 10 = 0 10 10 - 10 = 0 10 10 - 10 = 0 11 11 - 10 = 1 • 11 11 - 10 = 1 • 12 12 - 10 = 2 • 13 13 - 10 = 3 • 14 14 - 10 = 4 • 15 15 - 10 = 5

  11. MEDIDAS DE DISPERSÃO • Calcule o quadrado de cada diferença • Conjunto A • Dado ( X ) Diferença ( X - X ) ² • 7 ( -3 ) ² = 9 • 8 ( -2 ) ² = 4 • 8 ( -2 ) ² = 4 • 9 ( -1 ) ² = 1 • 9 ( -1 ) ² = 1 • 9 ( -1 ) ² = 1 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 11 ( 1 ) ² = 1 • 11 ( 1 ) ² = 1 • 11 ( 1 ) ² = 1 • 12 ( 2 ) ² = 4 • 12 ( 2 ) ² = 4 • 13 ( 3 ) ² = 9 • Soma dos quadrados = 40 • Conjunto B • Dado ( X ) Diferença ( X - X ) ² • 5 ( -5 ) ² = 25 • 6 ( -4 ) ² = 16 • 7 ( -3 ) ² = 9 • 8 ( -2 ) ² = 4 • 9 ( -1 ) ² = 1 • 9 ( -1 ) ² = 1 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 10 ( 0 ) ² = 0 • 11 ( 1 ) ² = 1 • 11 ( 1 ) ² = 1 • 12 ( 2 ) ² = 4 • 13 ( 3 ) ² = 9 • 14 ( 4 ) ² = 16 • 15 ( 5 ) ² = 25 • Soma dos quadrados = 112

  12. Conjunto A Conjunto B MEDIDAS DE DISPERSÃO • Calcule a Variância Calcule a soma dos quadrados dividido por (n-1), onde n é o número de dados do conjunto • nA = 16 ; nB = 15 • Calcule o Desvio Padrão, que é igual à raiz quadrada da Variância. Conjunto A Conjunto B

  13. MEDIDAS DE DISPERSÃO • Observe que: • Como a variância e o desvio padrão medem a “dispersão”, é claro que o conjunto A (menos “disperso”) tem variância e desvio padrão menores que a variância e o desvio padrão do conjunto B • As fórmulas da variância e do desvio padrão podem ser escritas: onde  significa a “soma de todos os dados (de 1 a n)”, e então  ( X - X ) ² significa a “soma dos quadrados das diferenças de todos os dados (X) em relação à média ( X )”. • Nesta forma de apresentar a fórmula, podemos também dizer que:

  14. EXERCÍCIOS: • Exercício 1: • Calcule: n = nº de elementos • Média = X • Mediana • Moda • Amplitude = R • Variância = S² • Desvio Padrão = S • dos conjuntos abaixo 1º) 2º) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12 3º) 4º) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

  15. PASSOS PARA CONSTRUIR HISTOGRAMAS

  16. EXERCÍCIOS • Exercício 2 • Os tempos de espera numa fila de caixa de banco constituem um problema para o atendimento dos clientes. Foram levantados os seguintes dados • Construir um histograma

  17. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

  18. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE • O histogramaé usado para descrever as medidas de uma amostra. • Uma amostra é uma coleção de medidas selecionadas de uma população. • Uma distribuição de probabilidades é um modelo matemático que relaciona os valores das medidas (x) com a probalidade de ocorrência destes valores p(x) na população. Modelo Matemático

  19. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE • Distribuição Contínua • A variável (x) é expressa de forma contínua é a área hachurada. • Distribuição Discreta • A variável x é expressa de forma descontínua (assume valores x1, x2, x3, x4 e x5) e para cada valor de x existe uma probabilidade.

  20. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE • Numa distribuição de probabilidade, as medidas de tendência central e de dispersão são aquelas de uma população (parâmetros), e não de amostra (estatísticas), como definidas anteriormente.

  21. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição Binomial • Considere um processo que consiste na seqüência de “n” tentativas independentes, onde cada tentativa é um “sucesso” ou uma “falha”. Se a probabilidade de “sucesso” em qualquer tentativa é constante e igual a “p”, então o número de “sucessos” “x” tem uma distribuição binomial. • Modelo • Média • Variância e Desvio Padrão • Observações: • As cartas de controle “p” e “n p” são usadas para dados atributivos do tipo “sim/não”. A distribuição de probabilidade básica usada para o cálculo dos limites de controle destas cartas é a distribuição binominal.

  22. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição Binomial - Exemplo • Uma fábrica produz milhares de peças por dia. Na média, 1% destas peças é “não-conforme”. A cada hora um inspetor seleciona “casualizadamente” uma amostra de 50 peças e classifica cada peça como “conforme” ou “não- conforme”. Se x é a variável que representa o número de peças não-conforme na amostra, então a distribuição de probabilidade de x é: • Se quisermos calcular a probabilidade de encontrarmos uma peça não- conforme na amostra, temos: • em percentuais: 30,56% • Idem, para 0 peças não-conformes:

  23. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição Binomial - Gráficos • n = 15, p = 0,1 • n = 15, p = 0,5 • n = 15, p = 0,9

  24. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição Binomial - Gráficos • n = 10, p = 0,25 • n = 20, p = 0,25 • n = 40, p = 0,25

  25. EXERCÍCIOS • Exercício 3: • Os registros de uma montadora de veículos mostram que a probabilidade de um carro novo necessitar um reparo em garantia nos primeiro 90 dias é de 0,04. • Calcule: • a) A probabilidade dos três próximos carros vendidos: • 1) Não precisarem nenhum reparo em garantia • 2) Pelo menos um necessitar um reparo em garantia b) A média e o desvio padrão da distribuição de probabilidade acima.

  26. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição de Poisson • Modelo • Média • Variância • Observações • x! = x(x-1).(x-2).... 1 • e = 2,7182818.... (constante) • As cartas de controle “c” e “u” são usadas para dados atributivos do tipo “contagem de defeitos”. A distribuição de probabilidades básica usada para o cálculo dos limites de controle destas cartas é a distribuição de Poisson.

  27. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição de Poisson - Exemplo • O número de erros em lançamentos processados por um escritório de contabilidade é, em média, 2,3. Qual é a probabilidade que o próximo lançamento tenha: • nenhum erro? • menos do que 3 erros?

  28. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • Distribuição de Poisson - Gráficos •  = 8 •  = 12 •  = 16

  29. EXERCÍCIOS • Exercício 4: • Os defeitos em uma trefilaria são de aproximadamente 0,2 em média por metro de barra trefilada. Determine: • a) a média de defeitos em barras de 6 metros b) a probabilidade de encontrar menos do que 2 defeitos em barras de 6 metros

  30. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Distribuição Normal • Modelo • Média • Variância • Gráfico • Observações • Quando se conhece  e , a distribuição normal está completamente descrita • As cartas de controle e por “indivíduos” são usadas para dados variáveis. A distribuição de probabilidades básica para o cálculo dos limites de controle destas cartas é a distribuição normal. - Curva em forma de sino - Curva unimodal - Curva simétrica

  31. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Distribuição Normal • Efeitos da variação de  na forma da curva

  32. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Distribuição Normal • Probabilidades       

  33. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Distribuição Normal • Escala Efetiva e Escala Relativa • Os valores de x no modelo representam a escala efetiva e os valores de , representama escala relativa, onde z = nº de desvios padrão a contar da médiax = variável = média = desvio padrão • Por exemplo, se =100 e =10, no gráfico abaixo, temos: • Calculando, temos, por exemplo:

  34. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Distribuição Normal • Tabela Normal Padronizada • As áreas sob a curva de qualquer distribuição normal podem ser achadas com o uso da Tabela Normal Padronizada (ver pag 36), após fazer a conversão da escala efetiva para a escala relativa • Cálculo da área entre a média e z = + 1,25 • Cálculo da área alem de z = + 1,25 Como a área total é 1,0000, metade desta área é 0,5000 e a área, alem de z = +1,25, é 0,5000 - 0,3944 = 0,1056

  35. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Distribuição Normal • Tabela Normal Padronizada • Cálculo da área entre a média e z = -1,25 É igual a 0,3944, devido á simetria • Cálculo da área entre z = -1,25 e z = + 1,25É igual a 2 x 0,3944 = 0,7888 • Cálculo da área entre z = -2,00 e z = -1,25 • A (1,25 a 2,00) = A (0,00 a 2,00) - A (0,00 a 1,25) • Calculo da área entre z = -1,50 e z = +2,30 • A (- 1,50 a +2,30) = A (0,00 a 1,50) + A (0,00 a 2,30)

  36. DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA • Tabela Normal Padronizada

  37. EXERCÍCIOS • Exercício 5: • A renda média anual da população de uma cidade tem uma distribuição aproximadamente normal, com média R$ 15.000,00 e desvio padrão R$ 3.000,00. a) que porcentagem da população tem renda superior a R$ 18.600,00? b) numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham menos de R$ 10.500,00 de renda? • Exercício 6: • Uma fábrica produz tubos de diâmetro médio de 2,00” e desvio padrão 0,01” (distribuição normal). Os tubos com diâmetros que variem mais de 0,03”, a contar da média, são considerados não-conformes. a) qual a porcentagem de tubos defeituosos? b) qual a probabilidade de encontrar dois tubos defeituosos em seqüência? c) qual a probabilidade de encontrar dois tubos conformes em seqüência?

  38. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Testes de Normalidade • 1º Método: • Construir um histograma e compará-lo com a curva normal. Em geral são necessários muitos dados • 2º Método: • Construir um gráfico de probabilidade normal • 1º Passo: Dividir e agrupar em intervalos, pelo menos 50 medidas individuais (como em um histograma) • 2º Passo: Determinar, para estes dados, a freqüência de distribuição, a freqüência de distribuição cumulativa e a porcentagem cumulativa correspondente a cada intervalo • 3º Passo: Plotar, num papel de probabilidade normal, (ver pag. 42) a porcentagem cumulativa no eixo vertical e o limite superior do intervalo correspondente no eixo horizontal • 4º Passo: Se os pontos encontrados estiverem numa linha que se aproxime de uma reta, a distribuição é normal

  39. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Testes de Normalidade • Exemplo: • 80 medidas individuais (com os valores variando de 315,5 a 425,5) foram agrupados como segue: Freqüência Cumulativa: É o número de medidas que estão no intervalo, ou abaixo dele Porcentagem Cumulativa:

  40. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Testes de Normalidade • Exemplo (Continuação) • Foi construído um histograma: O histograma aparenta (mas não é muito claro) que a curva é normal. • No papel de probabilidade normal são plotados no eixo vertical as porcentagens cumulativas com os correspondentes limites superiores dos intervalos no eixo horizontal (ver próxima pag.) Conclue-se que a curva é normal, devido aos pontos se distribuírem, aproximadamente, numa linha reta.

  41. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • Testes de Normalidade • Exemplo (continuação)

  42. PAPEL DE PROBABILIDADE NORMAL

  43. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE • Teorema do Limite Central • Como observado anteriormente a maior parte das cartas de controle são baseadas em uma das três distribuições de probabilidades básicas: • Existem outras distribuições que não as três acima mencionadas. Por exemplo, distribuições contínuas distorcidas (“skewed”) são comuns em processos onde um parâmetro está sendo maximizado ou minimizado. • Isto não significa que não existem cartas de controle para estas situações; o que permite isto é o Teorema de Limite Central

  44. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE • Teorema de Limite Central • Este teorema pode ser estabelecido por: • O desvio padrão da distribuição das médias ( ) é relacionado com o desvio padrão dos indivíduos ( ) pela relação: • Em muitos casos, o tamanho de “n” não precisa ser muito grande. Usualmente sub-grupos de tamanho n=4 ou n=5 são suficientes para permitir que as médias sejam normalmente distribuídas. “Independentemente da forma de distribuição de uma população, a distribuição das suas médias (Xs), de sub-grupos de tamanho “n”, tirados da população, tendem a ser uma distribuição normal quando o tamanho “n” do sub-grupo torna-se grande”

  45. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES • Aproximações das Distribuições de Probabilidade • Em alguns casos é desejável que uma distribuição de probabilidade seja aproximada a outra, de outro tipo; por exemplo uma Binomial de uma de Poisson, etc. • As aproximações mais usuais, com as condições de aproximação, são abaixo mostradas: Binomial Quanto menor “p” e maior “n”, melhor é a aproximação             p < 0,1 np > 10 p  1/2 Poisson Quanto maior “” melhor é a aproximação         15 Normal

  46. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE • Outras Distribuições Discretas • Distribuição Hipergeométrica • Distribuição de Pascal • Outras Distribuições Contínuas • Distribuição Exponencial • Distribuição Gama • Distribuição de Weibull • Distribuição Uniforme

  47. CARTAS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS

  48. CONTROLE DO PROCESSO • Variação • Todo processo tem variação • Não existem dois produtos identicos ou duas características exatamente iguais • Os processos podem ser sensíveis a: • Mudanças de materiais • Mudanças ambientais • Pessoas que os conduzem • Flutuações econômicas • Etc. • Causas COMUNS de variação • São aquelas que geram variações sempre presentes. Em geral, são pequenas mudanças em umidade, temperatura, materiais, hora do dia, etc. • Estas causas são aquelas que explicam porque duas peças nunca são idênticas. • Para combater as causas comuns de variação, geralmente são necessárias modificações fundamentais no processo. • Causas ESPECIAIS de variação (ou ASSINALÁVEIS) • São aquelas que geram variações nem sempre presentes (e altamente indesejáveis). Elas criam um “deslocamento” no processo. Estas variações podem ser repentinas ou na forma de uma tendência.

  49. CONTROLE DO PROCESSO • Processo sob Controle • Somente causas comuns estão presentes • A “locação” e a “dispersão” permanecem inalteradas no tempo • Um processo em estado de controle pode não ser um processo “capaz”. TEMPO

  50. CONTROLE DO PROCESSO • Processo Fora de Controle • Quando causas especiais estão presentes • As saídas do processo são imprevisíveis • Os eventos não são repetidos Deslocamento na “locação” e na “dispersão” Deslocamento na “dispersão” Deslocamento na “locação”