Algebra Boole’a

1. Algebra Boole’a Zapoczątkowana w 1854 r. przez George’a Boole’a Algebrą Boole’a nazywamy system algebraiczny <K,o,i,+,· >, w którymKjest zbiorem,ooraziwyróżnionymi elementami tego zbioru,„+”oraz„·”operacjami (nazywanymi także działaniami lub operatorami) dwuargumentowymi określonymi w zbiorze K

2. Terminologia Zamiast terminów suma w odniesieniu do symbolu [+] używane są także terminy : alternatywa lub dysjunkcja A+B czytamy A lub B Zamiast terminu iloczyn [ ·]możemy używać zamiennie terminukoniunkcja A·B (możemy używać zapisu A*B) czytamy A i B

3. Zmienne logiczne Algebra Boole'aróżni się od zwykłej algebry tym, że zmienne w definicji określone jako wyróżnione elementy mogą przybierać tylko dwie możliwe wartości0 lub 1. Zmienne logiczne 0 i 1 mogą reprezentować

4. Operacje logiczne W algebrze Boole'a, dozwolone są trzy podstawowe operacje :OR(suma logiczna, suma boolowska dysjunkcja); np.:A+B=CAND (iloczyn logiczny, iloczyn boolowski, koniunkcja); np.:A*B=CNOT (negacja, inwersja);np.:A=C(czasem zapisujemy to w postaci A’= C)

5. Układy logiczne • Dowolny układ logiczny może mieć n wejść i co najmniej jedno wyjście. • Może realizować podstawowe, czy też bardziej złożone funkcje algebry Boole’a. • Niezależnie od konstrukcji wewnętrznej układu zależność pomiędzy stanem wyjścia układu, a stanami wejść można opisać za pomocą tablicy prawdy lub analitycznie za pomocą wyrażenia algebraicznego wejścia Układ logiczny wyjście

6. Co to jest tablica prawdy? Tablica prawdy przedstawia zależność pomiędzy stanem logicznym wyjścia układu logicznego, a stanami logicznymi na wejściach tego układu.Dla układu o n wejściach ma ona 2n wierszy uwzględniających wszystkie możliwe kombinacje sygnałów wejściowych i odpowiadające im stany wyjścia (lub wyjść). Np.:dla układu o 2 wejściach A i B oraz wyjściu Y realizującego funkcję sumy logicznej Y=A+B ma ona postać: A Y B

7. Własności funkcji logicznej Tablicę prawdy możemy określić na podstawie wyrażenia algebraicznego określającego funkcję logiczną podstawiając wartości argumentów. Np.:dla wyrażenia: Y= (A*B)+B otrzymamy Y=(0*0)+0=0 Y=(0*1)+1=1 Y=(1*0)+0=0 Y=(1*1)+1=1

8. Fizyczna realizacja • Fizyczną realizacją podstawowych operacji logicznych są układy nazywane bramkami. Są to układy scalone wykonane w technologii półprzewodnikowej. Produkowany jest bardzo szeroki asortyment układów od najprostszych do bardzo skomplikowanych. • Stanom logicznym 0 oraz 1 przyporządkowano napięcia elektryczne 0 logiczne – napięcia < 0,8 V 1 logiczna - napięcia > 2,4 V

9. Własności funkcji OR Y=A+B Tablica prawdy dla funkcji OR (sumy logicznej) Funkcja przyjmuje wartość 1 wtedy gdy co najmniej jedno z wejść przyjmuje stan 1 A Y B Symbol

10. Symulacja bramki OR

11. Własności funkcji EXOR Y=A + B Tablica prawdy dla funkcji EXOR (sumy modulo 2) Funkcja przyjmuje wartość 1 wtedy gdy tylko jedno z wejść przyjmuje stan 1 A Y B Symbol

12. Symulacja bramki EXOR

13. Własności funkcji AND Y=A*B Tablica prawdy dla funkcji AND (iloczynu logicznego) Funkcja przyjmuje wartość 1 tylko wtedy gdy oba wejścia przyjmują stan 1 A Y B Symbol

14. Symulacja bramki AND

15. Własności funkcji NOT Y=A Tablica prawdy dla funkcji NOT (negacji) Funkcja przyjmuje wartość przeciwną do stanu wejścia A Y Symbol

16. Symulacja bramki NOT

17. Jak działa półsumator

18. Sumator pełny

19. Porównujemy liczby binarne- komparator Komparatorem nazywamy układ logiczny wskazujący fakt równości lub nierówności dwóch binarnych słów wejściowych tego układu.