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  1. Lösung 2.1 Information • Wieviele Fragen benötigen Sie beim „Zahlenraten“ • 7 • nächste_ganze_Zahl_größer( ld n) • Eine Nachrichtenquelle sendet Zeichen aus dem AlphabetX = {a,b,c,d} mit den Wahrscheinlichkeiten p(a)=1/4, p(b)=p(c)=1/8 • H(x) = p(x) *h(x) = ((1/4*2)+(1/8*3)+(1/8*3)+(1/2*1)) bit = 1,75 bit • (2+3+3+1) bit = 9 bit • 4 * 1,75 bit = 7 bit • 1000 * 1,75 bit = 1750 bit • 1000 * H(x) = 1000 * (4 * (1/4 * 2 bit)) = 2000 bit

  2. p(x)(in %) h(x) (in Bit) p(x) * h(x) a 6,51 3,94 0,2566 b 1,89 5,73 0,1082 c 3,06 5,03 0,1539 d 5,08 4,30 0,2184 e 17,40 2,52 0,4390 f 1,66 5,91 0,0982 g 3,01 5,05 0,1521 h 4,76 4,39 0,2091 j 7,55 3,73 0,2814 j 0,27 8,53 0,0230 k 1,21 6,37 0,0771 l 3,44 4,86 0,1672 m 2,53 5,30 0,1342 n 9,78 3,35 0,3280 o 2,51 5,32 0,1334 p 0,79 6,98 0,0552 q 0,02 12,29 0,0025 r 7,00 3,84 0,2686 s 7,27 3,78 0,2749 t 6,15 4,02 0,2474 u 4,35 4,52 0,1967 v 0,67 7,22 0,0484 w 1,89 5,73 0,1082 x 0,03 11,70 0,0035 y 0,04 11,29 0,0045 z 1,13 6,47 0,0731 Lösung 2.2 Huffmann • siehe Tabelle rechts: h(x) • mittlerer Informationsgehalt:H(x) = 4,06 bitRedundanz bei 8bit-Kodierung(z.B. ASCII mit Parity-Bit):R = L-H = 8 bit - 4,06 bit = 3,94 bitr = R/L = 0,49

  3. Lösung 2.2 Huffmann p(x) (in %) a 6,51 b 1,89 c) Beispiele: a 0101 b 000010 c 01000 d 1111 e 001 f 000001 ... c 3,06 d 5,08 q x o w m g e 17,40 qx (0,05) y ow (4,40) u gm (5,54) t h d f 1,66 g 3,01 qxy (0,09) j ouw (8,75) n gmt (11,69) dh (9,84) h 4,76 ... ... ... ... i 7,55 jqxy (0,36) v nouw (18,53) dghmt (21,53) j 0,27 o 1 k 1,21 jqvxy (1,03) p z k dghmntouw (40,06) l 3,44 m 2,53 jqpvxy (1,82) f b kz (2,34) n 9,78 o 2,51 fjqpvxy (3,48) bkz (4,23) c l p 0,79 1 bfjkqpvxyz (7,71) i cl (6,50) a r s q 0,02 ... o r 7,00 bfijkqpvxyz (15,26) e acl (13,01) rs (14,27) s 7,27 ... ... ... o t 6,15 befijkqpvxyz (32,66) aclrs (27,28) u 4,35 1 o v 0,67 abcefijklqprsvxyz (59,94) o w 1,89 x 0,03 Die Bezeichnung der Kanten mit 0 oder 1 ist willkürlich y 0,04 z 1,13

  4. p(x) (in %) l(x) p(x)*l(x) a 6,51 4 0,2604 b 1,89 6 0,1134 c 3,06 5 0,1530 d 5,08 4 0,2032 e 17,40 3 0,5220 f 1,66 6 0,0996 g 3,01 5 0,1505 h 4,76 4 0,1904 j 7,55 4 0,3020 j 0,27 9 0,0243 k 1,21 7 0,0847 l 3,44 5 0,1720 m 2,53 5 0,1265 n 9,78 3 0,2934 o 2,51 5 0,1255 p 0,79 7 0,0553 q 0,02 11 0,0022 r 7,00 4 0,2800 s 7,27 4 0,2908 t 6,15 4 0,2460 u 4,35 4 0,1740 v 0,67 8 0,0536 w 1,89 5 0,0945 x 0,03 11 0,0033 y 0,04 10 0,0040 z 1,13 7 0,0791 Lösung 2.2 Huffmann • H(x) = 4.,06 bitL = 4,1 bitR = L-H = 0,04 bit • r = R/L = 0,01

  5. Lösung 2.3 Hamming • Hamming-Distanz bei ASCII-Code • D=1 • (D-1) = 0 • (D-1)/2 = 0 • Hamming-Codierung für 0000 - 1111 • D=3 (durch Vergleich der Distanz zwischen allen Codes) • 2-bit Fehler können erkannt werden • 1-bit Fehler können korrigiert werden 0000000 10010110000111 10011000011001 10100100011110 10101010101011 11000010101100 11001100110011 11110000110100 1111111

  6. Lösung 2.3 Hamming • Betrachten Sie den mit der Hamming-Methode codierten Code für „1000“ • 1001011P-Bits falsch => Fehler bei bit1001010 1 11001001 2 21001111 1,2 31000011 4 4 1011011 1,4 51101011 2,4 60001011 1,2,4 7 • Kippen von Bit 1 und Bit 6:1101010 1,2,4 7es wird ein Fehler erkannt (gut !).Allerdings wird der Fehler bei Bit 7 erkannt, wobei der Code bei derKorrektur also fälschlicherweise zu 0101010 korrigiert wird, statt zu 1001011

  7. Lösung 3.1 Zahlensysteme • Die Duodezimalindianer haben zwölf Finger • Berechnen Sie nach dem Zahlensystem der Duodezimalindianer die wichtigsten Werte des täglichen Lebens: • 21012g Pizza • Eine Flasche Bier (0,612 bzw. ca. 0,3B62A68781B05912 Liter) • ALDI ca. 2,B4972497249724 € • Bin: 100101100 0,1 0,01010100011110101110000 10,111100Okt: 454 0,4 0,25075341217270243 2,74631Hex: 12C 0,8 0,547AE147AE145 2,F333333

  8. Lösung 3.1 Zahlensysteme • Grundrechenarten 568110 : 1910 = 299 1011000110001 : 10011 = 100101011 3810011188 0001100117110011 171 001101017110011 000 1110010011 1001110011 00000100101011 * 10011 100101011 100101011 100101011 1011000110001

  9. Lösung 3.1 Zahlensysteme • 0,1102 · 0,1 = 0,2 --> Ziffer: 02 · 0,2 = 0,4 --> Ziffer: 02 · 0,4 = 0,8 --> Ziffer: 02 · 0,8 = 1,6 --> Ziffer: 12 · 0,6 = 1,2 --> Ziffer: 12 · 0,2 = 0,4 --> Ziffer: 02 · 0,4 = 0,8 --> Ziffer: 02 · 0,8 = 1,6 --> Ziffer: 1...Also: 0,000110011001100... • 44 65 72 20 42 61 6C 6C 20 69 73 74 20 72 75 6E 64 2EASCII: Der Ball ist rund.LongInt 1147499040 1113681004 543781748 544372078 1680736256 (mit 0en aufgefüllt)......

  10. Lösung 3.1 Zahlensysteme • Subtraktion durch Addition des Zweierkomplementes 0 -1 -2 -3 0000 1111 1110 11014 0100 0100 (1)0011 (1)0010 (1)00013 0011 0011 (1)0010 (1)0001 (1)00002 0010 0010 (1)0001 (1)0000 11111 0001 0001 (1)0000 1111 11100 0000 0000 1111 1110 1101-1 1111 1111 (1)1110 (1)1101 (1)1100 -2 1110 1110 (1)1101 (1)1100 (1)1011-3 1101 1101 (1)1100 (1)1011 (1)1010-4 1100-5 1011-6 1010

  11. Lösung 3.2 Gebrochene Zahlen •  = 3,14159265358979311...10 = 11,00100100001111110110101010001000100001011010001100...2Mantisse Exponent0,1100100100001111110110102 * 22VEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM01000000010010010000111111011010 • Maximalwerte (bei bias = 126):größte negative 1 11.10 111...11  - 1 * 2127kleinste negative 1 00..0 000...01 = - 2-23 * 2-126 = - 2-149kleinste positive 0 00..0 000...01 = 2-23 * 2-126 =2-149größte positive 0 11.10 111...11  1 * 2127Number sign exponent mantissa normalized number 0/1 01 to FE any value denormalized number 0/1 00 any value

  12. Lösung 3.3 IEEE 754