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LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE

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LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE. 48%. 15%. 58%. Quelques résultats des évaluations (nationale, Apmep, Inrp). Faux Vrai 35 % 65 % 43 % 57 %. Vrai ou faux (en justifiant ) 2 ( x  y ) = 2 x  2 y 2  ( 5  x) = 10 x . Troisième.

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slide2

48%

15%

58%

Quelques résultats des évaluations (nationale, Apmep, Inrp)

Faux Vrai

35 % 65 %

43 % 57 %

Vrai ou faux (en justifiant)

2(x y) = 2x2y

2  (5x) = 10 x

Troisième

Calcul de (-3/2 a) x(-8a)

Seconde 97

Factoriser (x+5)² - 4

Seconde 97

Développer (5-x)(5+2x)

Fin de troisième 97

Le nombre 2 est-il solution de l’équation x² - x –2 = 0 ?

72,2 %

Seconde 95

slide3

Parmi les expressions suivantes:

3x+4 ; x(x+1); x(x+3)–4 ; x+(x-1)(x+2) ;(x+1)² ; 2x(x-3)+3(x-1)

reconnaître les sommes

reconnaître les produits

Seconde 97

Quelques résultats des évaluations (nationales, Apmep, Inrp)

4 sommes : 28% 3 sommes : 38,2%

56,3%

Seconde 96

52,4 %

diff rents statuts des lettres
Pour désigner un objet.

Pour désigner une variable.

Pour désigner une inconnue.

Pour désigner une indéterminée.

Différents statuts des lettres
exemples pour la lettre objet
Exemples pour la lettre objet.
  • La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres.
  • La lettre désigne une abréviation d’un objet mathématique : A = L X l

retour

exemples pour variable en 6 me
Exemples pour variable en 6éme
  • Quel nombre peut-on mettre à la place de t ?

1,2 < t < 1,5

  • Complète le tableau suivant :

retour

slide7

Exemple pour indéterminées

Pour tous les nombres k, a, b

k(a + b) = k a + kb

retour

diff rents statuts du signe gal
Différents statuts du signe égal
  • Annonce d’un résultat, déclencheur d’opérations. (EXE)
  • Égalité sous conditions : équations.
  • Égalité toujours vraie : identité.
  • Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel.
les autres signes op ratoires
Les autres signes opératoires
  • En arithmétique, les signes opératoires indiquent principalement les procédures.

Les résultats sont numériques.

  • En algèbre, les écritures indiquent la procédure et le résultat.
les critures en alg bre
Les écritures en algèbre
  • « x + 7 ».

Procédure (addition)

et / ou résultat (somme)

  • Cette difficulté est à l’origine de transformations « non cohérentes » en 7x ou en x + 7 = 0…
les critures en alg bre11
Les écritures en algèbre

6x² + 9x

Pour substituer 4

Aspect procédural

Aspect structural

Pour résoudre 6x² + 9x= 0

les principaux objectifs du calcul litt ral
Les principaux objectifs du calcul littéral
  • Outil qui permet la justification et l’explication des règles de calcul et des techniques de calcul.

Exemple : Application au calcul mental.

  • Outil performant pour la résolution de problèmes.
  • Outil de généralisation et de preuve.
r solution de probl mes
Résolution de problèmes

Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre.

Quelle est la mesure d’un côté du triangle ?

r solution de probl mes15
Résolution de problèmes

Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre.

Quelle est la mesure d’un côté du triangle ?

slide16

Outil de généralisation

  • Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :Calculer23 X 7 + 7 ; 23 X 8 + 7 ; 23 X 9 + 7 ; 23 X 10 + 723 X 11 + 7 ; 23 X 12 + 7 ; 23 X 13 + 7 ; 23 X 14 + 7Un camarade est absent. Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs. La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire.(Manuel Triangle, édition Hatier)
  • Les exercices du type programme de calcul.
slide18

Outil de preuve

  • LLorsqu’on ajoute trois nombres entiers consécutifs, peut-on affirmer que la somme obtenue est un multiple de 3 ?
  • CChoisis deux nombres dont la somme est 300 et calcule leur produit. Ajoute 7 à chacun d’eux, de combien augmente le produit ?
un apprentissage progressif
Un apprentissage progressif

de la sixième à la seconde

en sixi me

Par des activités numériques du type :0,4 = =

23,52 =2x10+3+5x +2x

En sixième

Développer les sens de l’égalité.

  • Dans une expression littérale, fixer toutes les variables sauf une qui prend successivement plusieurs valeurs.
en sixi me21
En sixième

Initiation aux écritures littérales :

  • tâches de substitution(formulaire pour les aires et périmètre du cercle)
  • mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.
  • trouver une formule exprimant le périmètre d’une figure en fonction d’une ou deux longueurs désignées par une ou deux lettres.
en sixi me22
En sixième

Initiation à la résolution d’équations : égalités à trous.

  • Absence de lettre pour marquer l’inconnue.
  • Procédures en référence au sens des opérations.
  • Procédure utilisant un schéma.
slide23

?

7

10

2

?

3

Longueur totale 9

Exemple d’utilisation d’un schéma.

Trouver la longueur manquante dans chaque cas :

en cinqui me
En cinquième
  • Introduction de la lettre comme indéterminée : kx(a+b) = kxa + kxb.
  • Conventions d’écriture
  • Écritures littérales :
    • tâches de substitution
    • transformations d’écriture
en cinqui me25
En cinquième
  • Fonctions :
    • dans une formule, variation d’une grandeur en fonction d’une autre
    • mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.
  • Suite du travail sur la résolution d’équations :
    • lettre pour marquer l’inconnue.
    • tests dans des égalités, des inégalités.
    • résolution basée sur le sens des opérations.
en quatri me
En quatrième
  • Mise en équation d’un problème.
  • Algorithme de résolution des équations en référence aux règles connues.
  • «  Double distributivité ».
  • Tests pour vérifier les transformations algébriques.
  • Égalité : d = v x t.
en troisi me
En troisième
  • Résolution de systèmes d’équations.
  • Identités remarquables.
  • Premières formalisations sur la notion de fonction.
  • Prise d’initiative lors des tâches portant sur le calcul littéral.
exemple en troisi me
Exemple en troisième
  • A = (2x + 3)(-4 + x) – 4x(x – 4)
    • Montrer que A = (x – 4) (3 – 2x)
    • Montrer que A = -2x² + 11x – 12
    • Résoudre A = - 12
    • Résoudre A = 0